พีชคณิตแบบบูล

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง ในคณิตศาสตร์และคณิตตรรกศาสตร์ พีชคณิตแบบบูล (หรือเรียกชื่ออื่นว่า พีชคณิตบูลเลียน หรือ แลตทิซแบบบูล) (แม่แบบ:Langx) คือโครงสร้างเชิงพีชคณิตซึ่งเป็นการรวบรวมแก่นความหมายของการดำเนินการทางตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต โดยชื่อพีชคณิตแบบบูลนั้นตั้งตามจอร์จ บูล ผู้พัฒนาพีชคณิตแบบนี้

พีชคณิตบูลีนเป็นสาขาของพีชคณิตซึ่งค่าของตัวแปรคือค่าความจริง จริงและเท็จ โดยปกติจะแสดงเป็น 1 และ 0 ตามลำดับ แต่ต่างจากพีชคณิตขั้นพื้นฐาน ที่ค่าของตัวแปรเป็นตัวเลขและการดำเนินการเฉพาะคือการบวกและการคูณ การดำเนินการหลักของพีชคณิตบูลีน (ตัวดำเนินการตรรกะ) คือ การรวม (และ) แสดงเป็น ∧ การไม่แยก (หรือ) แสดงเป็น ∨ และการปฏิเสธ (ไม่) แสดงเป็น ¬ เป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับอธิบายการดำเนินการเชิงตรรกะ ในลักษณะเดียวกับที่พีชคณิตขั้นพื้นฐานที่ใช้อธิบายการดำเนินการเชิงตัวเลข

พีชคณิตแบบบูล คิดค้นขึ้นโดย จอร์จ บูล (George Boole) ในหนังสือเล่มแรกของเขาเรื่อง The Mathematical Analysis of Logic (ค.ศ.1847) และมีเนื้อหาครบถ้วนมากขึ้นใน An Investigation of the Laws of Thought (ค.ศ.1854) พีชคณิตบูลีนเป็นหลักคณิตศาสตร์พื้นฐานในการพัฒนาอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัล และ ใช้ประยุกต์ในการเขียนภาษาโปรแกรมสมัยใหม่ทั้งหมด นอกจากนี้ยังมีการใช้พีชคณิตแบบบูลในทฤษฎีเซตและสถิติศาสตร์

ประวัติ

จอร์จ บูล นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ที่ยูนิเวอร์ซิตีคอลเลจ คอร์ก ผู้ที่นิยามพีชคณิตดังกล่าวขึ้นมาเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของระบบทางตรรกศาสตร์ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 19 พีชคณิตแบบบูลนำเทคนิคทางพีชคณิตมาใช้กับนิพจน์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ในปัจจุบันพีชคณิตแบบบูลได้ถูกนำไปประยุกต์อย่างแพร่หลายในการออกแบบทางอิเล็กทรอนิกส์ ผู้ที่นำไปใช้คนแรกคือคลาวด์ อี. แชนนอน นักวิทยาศาสตร์แห่งห้องทดลองเบลล์ (Bell Laboratory) ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 โดยนำมาใช้ในการวิเคราะห์วงจรเน็ตเวิร์กที่ทำงานต่อกันหลายภาค เช่น วงจรของโทรศัพท์ เป็นต้น เมื่อมีการพัฒนาวงจร คอมพิวเตอร์ขึ้นก็ได้มีการนำเอาพีชคณิตบูลีนมาใช้ในการคำนวณ ออกแบบ และอธิบายสภาวะการทำงานของสถานะวงจรภายในระบบคอมพิวเตอร์ โดยพีชคณิตบูลีนเป็นพื้นฐานสำคัญในการออกแบบวงจรตรรกของระบบดิจิทัล

นิยาม

พีชคณิตแบบบูล คือ เซต A ที่ประกอบด้วยการดำเนินการทวิภาค คือ $\wedge$ (AND) กับ $\vee$ (OR) , การดำเนินการเอกภาค คือ $\mathrm{\neg }$ / ~ (NOT) และสมาชิกคือ 0 (FALSE) กับ 1 (TRUE) ซึ่งสำหรับสมาชิก a, b และ c ของเซต A จะมีคุณสมบัติเป็นไปตามสัจพจน์เหล่านี้

สมบัติของ $\vee$	สมบัติของ $\wedge$	ชื่อเรียก
$a\vee (b\vee c)=(a\vee b)\vee c$	$a\wedge (b\wedge c)=(a\wedge b)\wedge c$	การเปลี่ยนหมู่
$a\vee b=b\vee a$	$a\wedge b=b\wedge a$	การสลับที่
$a\vee (a\wedge b)=a$	$a\wedge (a\vee b)=a$	absorption
$a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c)$	$a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c)$	การแจกแจง
$a\vee \mathrm{\neg }a=1$	$a\wedge \mathrm{\neg }a=0$	ส่วนเติมเต็ม

สำหรับสมาชิก a และ b ใน A มันจะมีเอกลักษณ์ดังต่อไปนี้

สมบัติของ $\vee$	สมบัติของ $\wedge$	ชื่อเรียก
$a\vee a=a$	$a\wedge a=a$	นิจพล (idempotency)
$a\vee 0=a$	$a\wedge 1=a$	มีขอบเขต (boundedness)
$a\vee 1=1$	$a\wedge 0=0$
$\mathrm{\neg }0=1$	$\mathrm{\neg }1=0$	0 และ 1 เป็นส่วนเติมเต็มกัน
$\mathrm{\neg }(a\vee b)=\mathrm{\neg }a\wedge \mathrm{\neg }b$	$\mathrm{\neg }(a\wedge b)=\mathrm{\neg }a\vee \mathrm{\neg }b$	กฎเดอมอร์แกน (de Morgan's laws)
$\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }a=a$		อวัตนาการ (involution)

ตัวดำเนินการของบูลในรูปแบบต่าง ๆ

ตัวดำเนินการของบูล

ตรรกศาสตร์	ทฤษฏีเซต	วงจรดิจิทัล
$true$	$U$ (เอกภพสัมพัทธ์)	$1$
$false$	$\mathrm{\varnothing }$ (เซตว่าง)	$0$
$\vee$	$\cup$	$+$
$\wedge$	$\cap$	$\cdot$

การนำไปใช้

• เรานำพีชคณิตแบบบูลไปใช้ในตรรกศาสตร์ได้ โดยตีความให้ 0 หมายถึง เท็จ, 1 หมายถึง จริง, ∧ แทนคำว่า และ, ∨ แทนคำว่า หรือ, และ ¬ แทนคำว่า ไม่
• พีชคณิตแบบบูลที่มีสมาชิก 2 ตัวนั้น นำไปใช้ประโยชน์ในการออกแบบวงจรไฟฟ้าในงานวิศวกรรมไฟฟ้าได้ โดย 0 และ 1 แทนสถานะที่แตกต่างกันของบิตในวงจรดิจิทัล นั่นก็คือสถานะศักย์ไฟฟ้าสูงและต่ำ