ปัญหาวันเกิด

ปัญหาวันเกิด หรือ ปฏิทรรศน์วันเกิด ในเรื่องทฤษฎีความน่าจะเป็น เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นที่กลุ่มคนซึ่งถูกเลือกโดยการสุ่ม n คน จะมีบางคู่ในกลุ่มที่มีวันเกิดตรงกัน หากพิจารณาตามหลักรังนกพิราบ ความน่าจะเป็นดังกล่าวจะเป็น 100% ถ้าจำนวนคนในกลุ่มมี 367 คน (เนื่องจากวันที่เป็นไปได้ทั้งหมดมี 366 วัน รวม 29 กุมภาพันธ์ด้วย) อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็น 99% จะเกิดกับกลุ่มคนเพียง 57 คน และความน่าจะเป็น 50% จะเกิดกับกลุ่มคนเพียง 23 คน การสรุปเหล่านี้ใช้พื้นฐานบนสมมติฐานว่า แต่ละวันของปีมีความเป็นไปได้ที่จะเป็นวันเกิดอย่างเท่าเทียมกัน (ยกเว้น 29 กุมภาพันธ์)

คณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังปัญหานี้นำไปสู่ปัญหาการโจมตีทางวิทยาการเข้ารหัสลับอันเป็นที่รู้จักเรียกว่า การโจมตีวันเกิด ซึ่งใช้ตัวแบบความน่าจะเป็นนี้ลดความซับซ้อนในการเจาะฟังก์ชันแฮช

กราฟแสดงความน่าจะเป็นโดยการคำนวณ ที่คนอย่างน้อยสองคนจะมีวันเกิดตรงกัน ในระหว่างกลุ่มคนตามจำนวนที่แน่นอน

ความเข้าใจในตัวปัญหา

ปัญหาวันเกิดถามว่า คนหนึ่งคนใดในกลุ่มที่กำหนด มีวันเกิดตรงกับคนอื่นคนใดหรือไม่ มิได้ถามเฉพาะเจาะจงว่าตรงกับคนหนึ่งเพียงคนเดียวหรือไม่

ตัวอย่างที่ให้มาก่อนหน้านี้คือกลุ่มคน 23 คน การเปรียบเทียบวันเกิดของคนแรกกับวันเกิดของคนอื่นจะมีโอกาส 22 ครั้งเพื่อหาว่าวันเกิดตรงกันหรือไม่ วันเกิดของคนที่สองกับวันเกิดของคนอื่นก็จะมีโอกาส 21 ครั้ง วันเกิดของคนที่สามก็จะมีโอกาส 20 ครั้ง เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ เพราะฉะนั้นโอกาสรวมทั้งหมดที่จะเปรียบเทียบคือ 22 + 21 + 20 + ... + 1 = 253 ครั้ง ดังนั้นการเปรียบเทียบทุก ๆ คนกับคนอื่นทั้งหมดจะทำได้ 253 วิธีที่แตกต่างกัน (การจัดหมู่) หรือกล่าวได้ว่า กลุ่มคน 23 คนสามารถจับคู่ได้ทั้งหมด $(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2})=\frac{23\cdot 22}{2}=253$ คู่

สมมติว่าวันเกิดทั้งหมดสามารถเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน ความน่าจะเป็นที่วันที่ตั้งขึ้นมาจะเป็นวันเกิดของใครสักคน ซึ่งเลือกมาโดยการสุ่มจากประชากรทั้งหมดอยู่ที่ แม่แบบ:เศษ (ไม่พิจารณาอธิกวารคือ 29 กุมภาพันธ์) ถึงแม้การจับคู่ภายในกลุ่มคน 23 คน ไม่เทียบเท่าเชิงสถิติศาสตร์กับการเลือกคู่โดยอิสระ 253 คู่ ปฏิทรรศน์วันเกิดจะแปลกประหลาดน้อยลง ถ้ากลุ่มคนถูกพิจารณาว่าเป็นจำนวนคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด มากกว่าที่จะเป็นจำนวนรายคน

การคำนวณความน่าจะเป็น

ปัญหาคือการคำนวณความน่าจะเป็นโดยประมาณว่า ในกลุ่มคน n คน จะมีอย่างน้อยสองคนที่มีวันเกิดตรงกัน สำหรับกรณีง่ายสุดคือไม่สนใจความแปรปรวนในการแจกแจง เช่นปีอธิกสุรทิน ฝาแฝด ความแปรปรวนเชิงฤดูกาลหรือวันในสัปดาห์ และสมมติว่าวันเกิดที่เป็นไปได้ 365 วันอย่างเท่าเทียมกัน การแจกแจงวันเกิดในชีวิตจริงไม่เป็นเอกรูปเพราะทุกวันมิได้มีโอกาสอย่างเท่าเทียมกัน

ถ้าให้ P(A) คือความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองคนในกลุ่มมีวันเกิดตรงกัน เราอาจคำนวณง่ายขึ้นจาก P(A′) คือความน่าจะเป็นที่ไม่มีสองคนใดเลยที่มีวันเกิดตรงกัน เนื่องจาก A และ A′ เป็นความน่าจะเป็นเพียงสองประการที่จะเกิดขึ้นได้และเป็นเหตุการณ์ไม่เกิดร่วม ดังนั้นเราจะได้ P(A) = 1 − P(A′)

คำตอบของปัญหาที่เผยแพร่อย่างกว้างขวางสรุปว่า กลุ่มคน 23 คนก็เพียงพอที่จะทำให้ P(A) มีค่ามากกว่า 50% การคำนวณ P(A) ต่อไปนี้จะใช้กลุ่มคน 23 คนมาเป็นตัวอย่าง

เมื่อเหตุการณ์เป็นอิสระซึ่งกันและกัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น เพราะฉะนั้น P(A′) จึงสามารถแยกได้เป็นเหตุการณ์อิสระ 23 เหตุการณ์ และคำนวณได้จาก P(1) × P(2) × P(3) × ... P(23)

เหตุการณ์อิสระ 23 เหตุการณ์นี้สอดคล้องกับจำนวนคน 23 คนและสามารถนิยามไปตามลำดับ แต่ละเหตุการณ์สามารถนิยามว่าคนนั้นจะไม่มีวันเกิดตรงกับคนอื่นคนใดที่ได้วิเคราะห์ไปแล้วก่อนหน้า สำหรับเหตุการณ์ที่ 1 คือไม่มีคนอื่นคนใดก่อนหน้านี้ให้วิเคราะห์เลย เพราะฉะนั้นความน่าจะเป็น P(1) ซึ่งคนแรกไม่มีวันเกิดตรงกับคนอื่นคนใดที่ได้วิเคราะห์ไปแล้วก่อนหน้าเท่ากับ 1 หรือ 100% หรือเขียนในรูปแบบ แม่แบบ:เศษ โดยไม่พิจารณาอธิกวารสำหรับการวิเคราะห์นี้ ส่วนเหตุผลจะได้ปรากฏชัดเจนต่อไป

สำหรับเหตุการณ์ที่ 2 คือมีเพียงคนที่หนึ่งที่ได้วิเคราะห์แล้วก่อนหน้านี้ สมมติว่าวันเกิดเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน 365 วันเช่นเดิม ความน่าจะเป็น P(2) ซึ่งคนที่สองมีวันเกิดต่างกับคนที่หนึ่งเท่ากับ แม่แบบ:เศษ นั่นเป็นเพราะถ้าคนที่สองเกิดในวันใดก็ได้ในจำนวน 364 วันที่เหลือ ทำให้คนที่หนึ่งกับคนที่สองมีวันเกิดไม่ตรงกัน

ในทางเดียวกัน ถ้าคนที่สามเกิดในวันใดก็ได้ในจำนวน 363 วันที่เหลือ ทำให้ทั้งคนที่หนึ่ง ที่สอง ที่สาม มีวันเกิดไม่ตรงกันเลย จะได้ความน่าจะเป็น P(3) เท่ากับ แม่แบบ:เศษ

การวิเคราะห์เช่นนี้ดำเนินต่อไปจนกระทั่งถึงคนที่ยี่สิบสาม ซึ่งความน่าจะเป็นที่วันเกิดจะไม่ตรงกับคนที่ได้วิเคราะห์ไปแล้วก่อนหน้านี้เลย P(23) เท่ากับ แม่แบบ:เศษ

P(A′) เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นรายเหตุการณ์เหล่านี้ นั่นคือ

P(A′) = แม่แบบ:เศษ × แม่แบบ:เศษ × แม่แบบ:เศษ × แม่แบบ:เศษ × ... × แม่แบบ:เศษ

สมการดังกล่าวสามารถดึงตัวประกอบร่วมได้เป็น

P(A′) = (แม่แบบ:เศษ)²³ × (365 × 364 × 363 × 362 × ... × 343)

ประเมินค่าออกมาจะได้ P(A′) ≈ 0.492703

ดังนั้น P(A) ≈ 1 − 0.492703 = 0.507297 หรือ 50.7297%

กระบวนการนี้สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปสำหรับกลุ่มคน n คน เมื่อ p(n) คือความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองคนในกลุ่ม n คนมีวันเกิดตรงกัน เราคำนวณง่ายขึ้นด้วย p̅(n) คือความน่าจะเป็นที่วันเกิดของ n คนแตกต่างกันทั้งหมด ตามหลักรังนกพิราบ p̅(n) จะเป็นศูนย์เมื่อ n > 365 และเมื่อ n ≤ 365 จะได้ว่า

$\begin{array}{cc}\overline{p}(n)& =1\times (1-\frac{1}{365})\times (1-\frac{2}{365})\times \cdots \times (1-\frac{n-1}{365})\\ & =\frac{365\times 364\times \cdots \times (365-n+1)}{365^n}\\ & =\frac{365!}{365^n(365-n)!}=\frac{n!\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{365}{n})}{365^n}=\frac{{}^{365}{P}_n}{365^n}\end{array}$

โดยสัญลักษณ์ ! คือตัวดำเนินการแฟกทอเรียล $(\genfrac{}{}{0ex}{}{365}{n})$ คือสัมประสิทธิ์ทวินาม และ ${}^k{P}_r$ หมายถึงการเรียงสับเปลี่ยน

สมการดังกล่าวแสดงข้อเท็จจริงว่า สำหรับคนที่หนึ่งไม่มีคนใดที่มีวันเกิดตรงกัน (แม่แบบ:เศษ) สำหรับคนที่สองก็ไม่มีวันเกิดตรงกับคนที่หนึ่ง (แม่แบบ:เศษ) สำหรับคนที่สามก็ไม่มีวันเกิดตรงกับคนที่หนึ่งและที่สอง (แม่แบบ:เศษ) ฯลฯ และในกรณีทั่วไปวันเกิดของคนที่ n ก็จะไม่มีวันเกิดตรงกับ n − 1 คนที่อยู่ก่อนหน้า

เหตุการณ์ที่อย่างน้อยสองคนจากกลุ่มคน n คนมีวันเกิดตรงกัน คือเหตุการณ์เติมเต็มที่วันเกิดของ n คนแตกต่างกันทั้งหมด เพราะฉะนั้นความน่าจะเป็น p(n) จะมีค่าเท่ากับ

$p(n)=1-\overline{p}(n)$

ความน่าจะเป็นนี้มีค่าเกินกว่า แม่แบบ:เศษ เมื่อ n = 23 (ค่าจริงประมาณ 50.7%) ตารางต่อไปนี้แสดงความน่าจะเป็นสำหรับ n อื่น ๆ บางค่า (โดยไม่พิจารณาปีอธิกสุรทินตามที่ได้อธิบายแล้วด้านบน)

กราฟแสดงความน่าจะเป็นโดยประมาณ ที่ไม่มีใครเลยในกลุ่มคน n คนมีวันเกิดตรงกัน สังเกตว่ามาตราส่วนตามแนวตั้งเป็นลอการิทึม (แต่ละขีดจากบนลงล่างลดลงทีละ 10²⁰ เท่า)

n	p(n)
10	11.7%
20	41.1%
23	50.7%
30	70.6%
50	97.0%
57	99.0%
100	99.99997%
200	99.9999999999999999999999999998%
300	(100 − (6แม่แบบ:E))%
350	(100 − (3แม่แบบ:E))%
365	(100 − (1.45แม่แบบ:E))%
366	100%

การประมาณค่า

กราฟแสดงความน่าจะเป็นโดยประมาณ ที่คนอย่างน้อยสองคนจะมีวันเกิดตรงกัน (แดง) และเหตุการณ์เติมเต็มของมัน (น้ำเงิน)

กราฟแสดงความแม่นยำของการประมาณค่าด้วย $1-e^{-n^2/(2\times 365)}$ (ขาว)

การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (ค่าคงตัว e ≈ 2.718281828)

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots$

สามารถประมาณค่า e^x อันดับที่หนึ่งเมื่อ x ≪ 1 ดังนี้

$e^x\approx 1+x$

เพื่อใช้การประมาณนี้แก่นิพจน์แรกที่มาจาก p̅(n) กำหนดให้ x = แม่แบบ:เศษ ดังนั้นเราจะได้

$e^{-i/365}\approx 1-\frac{i}{365}$

จากนั้นแทนที่ i ด้วยจำนวนเต็มไม่เป็นลบสำหรับแต่ละพจน์ในสูตรของ p̅(n) จนกระทั่ง i = n − 1 ตัวอย่างเช่นเมื่อ i = 1 จะได้

$e^{-1/365}\approx 1-\frac{1}{365}$

นิพจน์แรกที่มาจาก p̅(n) จึงสามารถประมาณค่าได้ดังนี้

$\begin{array}{cc}\overline{p}(n)& \approx 1\times e^{-1/365}\times e^{-2/365}\cdots e^{-(n-1)/365}\\ & =1\times e^{-(1+2+\cdots +(n-1))/365}\\ & =e^{-(n(n-1)/2)/365}\end{array}$

เพราะฉะนั้น

$p(n)=1-\overline{p}(n)\approx 1-e^{-n(n-1)/(2\times 365)}$

การประมาณที่หยาบกว่าของสูตรดังกล่าวคือ

$p(n)\approx 1-e^{-n^2/(2\times 365)}$

ซึ่งยังคงแม่นยำพอใช้ได้ ดังที่เห็นจากกราฟในภาพประกอบ

จากการประมาณค่าดังกล่าว แนวทางที่เหมือนกันสามารถใช้ได้กับ "คน" และ "วัน" จำนวนเท่าใดก็ได้ ถ้าให้จำนวนวันเป็น n วันแทนที่จะเป็น 365 วัน ให้จำนวนคน m คน และ m ≪ n จากแนวทางข้างต้นเราจะได้ผลสำเร็จเป็น Pr[(m, n)] คือความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองคนในกลุ่ม m คน มีวันเกิดตรงกันภายใน n วันที่กำหนด ดังนี้

$Pr[(m,n)]\approx 1-e^{-m^2/2n}$

การยกกำลังอย่างง่าย

ความน่าจะเป็นที่คนสองคนไม่มีวันเกิดตรงกันเท่ากับ แม่แบบ:เศษ หากกลุ่มคนมีจำนวน n คน จะสามารถจับคู่ได้ C(n, 2) = แม่แบบ:เศษ คู่ หรือเรียกได้ว่ามี C(n, 2) เหตุการณ์ ความน่าจะเป็นที่คนสองคนไม่มีวันเกิดตรงกันในกลุ่มคนดังกล่าว สามารถประมาณได้จากเหตุการณ์เหล่านี้ซึ่งสมมติว่าเป็นอิสระต่อกัน โดยคูณความน่าจะเป็นของพวกมันเข้าด้วยกัน กล่าวอย่างสั้นคือ แม่แบบ:เศษ สามารถคูณกับตัวเองเป็นจำนวน C(n, 2) ตัว จะได้

$\overline{p}(n)\approx {\left(\frac{364}{365}\right)}^{C(n,2)}$

เนื่องจากสิ่งนี้คือความน่าจะเป็นที่ไม่มีใครมีวันเกิดตรงกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะมีใครบางคนมีวันเกิดตรงกันก็คือ

$p(n)\approx 1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{C(n,2)}$

การประมาณปัวซง

ใช้การประมาณปัวซงสำหรับทวินามกับกลุ่มคน 23 คน

$\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\left(\frac{C(23,2)}{365}\right)=\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\left(\frac{253}{365}\right)\approx \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}(0.6932)$

$\mathrm{Pr}(X>0)=1-\mathrm{Pr}(X=0)\approx 1-e^{-0.6932}\approx 1-0.499998=0.500002$

ผลลัพธ์มีค่ามากกว่า 50% เช่นเดียวกับที่ได้อธิบายไว้ก่อนหน้านี้

การประมาณจำนวนคน

การประมาณจำนวนคนเท่าที่จำเป็นที่จะทำให้เกิดโอกาส 50% เป็นอย่างน้อยที่จะมีวันเกิดตรงกัน โดยแฟรงก์ เอช. แมทิส สามารถหาได้จากสูตรดังนี้

$n\approx \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-2\times 365\times \ln (0.5)}=22.999943$

นี่เป็นผลลัพธ์ของการประมาณที่ดี ซึ่งเหตุการณ์ 1 ใน k ของความน่าจะเป็นจะมีโอกาสเกิดขึ้น 50% เป็นอย่างน้อย ถ้าเหตุการณ์นั้นเกิดซ้ำ k ln 2 ครั้ง

ตารางความน่าจะเป็น

ความยาว สายอักขระ ฐานสิบหก	#บิต	ขนาดของ ปริภูมิแฮช (2#บิต)	จำนวนสมาชิกของแฮชที่ทำให้ {ความน่าจะเป็นที่แฮชชนกันอย่างน้อยหนึ่งครั้ง = p}
			p = แม่แบบ:10^	p = แม่แบบ:10^	p = แม่แบบ:10^	p = แม่แบบ:10^	p = แม่แบบ:10^	p = 0.1%	p = 1%	p = 25%	p = 50%	p = 75%
8	32	4.3แม่แบบ:E	2	2	2	2.9	93	2.9แม่แบบ:E	9.3แม่แบบ:E	5.0แม่แบบ:E	7.7แม่แบบ:E	1.1แม่แบบ:E
16	64	1.8แม่แบบ:E	6.1	1.9แม่แบบ:E	6.1แม่แบบ:E	1.9แม่แบบ:E	6.1แม่แบบ:E	1.9แม่แบบ:E	6.1แม่แบบ:E	3.3แม่แบบ:E	5.1แม่แบบ:E	7.2แม่แบบ:E
32	128	3.4แม่แบบ:E	2.6แม่แบบ:E	8.2แม่แบบ:E	2.6แม่แบบ:E	8.2แม่แบบ:E	2.6แม่แบบ:E	8.3แม่แบบ:E	2.6แม่แบบ:E	1.4แม่แบบ:E	2.2แม่แบบ:E	3.1แม่แบบ:E
64	256	1.2แม่แบบ:E	4.8แม่แบบ:E	1.5แม่แบบ:E	4.8แม่แบบ:E	1.5แม่แบบ:E	4.8แม่แบบ:E	1.5แม่แบบ:E	4.8แม่แบบ:E	2.6แม่แบบ:E	4.0แม่แบบ:E	5.7แม่แบบ:E
(96)	(384)	(3.9แม่แบบ:E)	8.9แม่แบบ:E	2.8แม่แบบ:E	8.9แม่แบบ:E	2.8แม่แบบ:E	8.9แม่แบบ:E	2.8แม่แบบ:E	8.9แม่แบบ:E	4.8แม่แบบ:E	7.4แม่แบบ:E	1.0แม่แบบ:E
128	512	1.3แม่แบบ:E	1.6แม่แบบ:E	5.2แม่แบบ:E	1.6แม่แบบ:E	5.2แม่แบบ:E	1.6แม่แบบ:E	5.2แม่แบบ:E	1.6แม่แบบ:E	8.8แม่แบบ:E	1.4แม่แบบ:E	1.9แม่แบบ:E

ช่องสีขาวในตารางนี้แสดงจำนวนสมาชิกของแฮชที่จำเป็น ที่ทำให้ความน่าจะเป็นที่แฮชชนกันตามกำหนด (ตามหลัก) โดยกำหนดปริภูมิแฮชในหน่วยบิตขนาดต่าง ๆ (ตามแถว) อุปมากับปัญหาวันเกิดได้ว่า "ขนาดของปริภูมิแฮช" คล้ายกับ "จำนวนวันที่ใช้ได้", "ความน่าจะเป็นที่แฮชชนกัน" คล้ายกับ "ความน่าจะเป็นที่คนมีวันเกิดตรงกัน", และ "จำนวนสมาชิกของแฮชที่จำเป็น" ก็คล้ายกับ "จำนวนคนที่จำเป็นในกลุ่ม" แน่นอนว่าใครก็ตามสามารถใช้แผนผังนี้เพื่อกำหนดขนาดของแฮชน้อยสุดที่จำเป็น (โดยกำหนดขอบเขตบนของแฮชและความน่าจะเป็นของความผิดพลาด) หรือความน่าจะเป็นที่แฮชชนกันได้ (เพื่อหาจำนวนแฮชตายตัวและความน่าจะเป็นของความผิดพลาด)

ยกตัวอย่างเพื่อการเปรียบเทียบ ความน่าจะเป็น แม่แบบ:10^ ถึง แม่แบบ:10^ คืออัตราความผิดพลาดบิตที่แก้ไขไม่ได้ของฮาร์ดดิสก์ทั่วไป ฟังก์ชันแฮช 128 บิตอย่างเช่น เอ็มดี5 จึงควรดำรงอยู่ในช่วงนั้นจนกว่าจะแฮชเอกสารไปแล้วประมาณ 8.2 แสนล้านเอกสารในทางทฤษฎี ถึงแม้ว่าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของมันจะมีได้มากยิ่งกว่านั้น

ขอบเขตบน

การอ้างเหตุผลด้านล่างดัดแปลงจากการอ้างเหตุผลของพอล ฮาลโมส

ความน่าจะเป็นที่ไม่มีวันเกิดของคนใดตรงกัน ดังที่ได้อธิบายไว้ด้านบนคือ

$1-p(n)=\overline{p}(n)=\prod _{k=1}^{n-1}(1-\frac{k}{365})$

จากย่อหน้าก่อน ๆ นั้น สิ่งที่สนใจคือค่าของ n น้อยสุดที่ทำให้ p(n) > แม่แบบ:เศษ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าของ n น้อยสุดที่ทำให้ p̅(n) < แม่แบบ:เศษ

ใช้อสมการ 1 − x < e^−x จากนิพจน์ด้านบนซึ่งเราได้แทนค่า 1 − แม่แบบ:เศษ ด้วย e^−k/365 จะได้ว่า

$\overline{p}(n)=\prod _{k=1}^{n-1}(1-\frac{k}{365})<\prod _{k=1}^{n-1}\left(e^{-k/365}\right)=e^{-(n(n-1))/(2\times 365)}$

เพราะฉะนั้น นิพจน์ดังกล่าวมิได้เป็นเพียงแค่การประมาณค่า แต่ยังเป็นขอบเขตบนของ p̅(n) ด้วย

อสมการนี้

$e^{-(n(n-1))/(2\cdot 365)}<\frac{1}{2}$

แสดงนัยถึง p̅(n) < แม่แบบ:เศษ แก้อสมการเพื่อหาค่า n จะได้

$n^2-n>2\times 365\ln 2$

730 ln 2 มีค่าประมาณ 505.997 ซึ่งน้อยกว่า 506 เล็กน้อย ค่าของ n² − n ขึ้นมาถึง 506 เมื่อ n = 23 ดังนั้น 23 คนก็เพียงพอที่จะเป็นคำตอบ

อย่างไรก็ดี การแก้สมการ n² − n = 2 · 365 ln 2 เพื่อหาค่า n ก็จะเป็นสูตรประมาณของแฟรงก์ เอช. แมทิส ดังที่ได้แสดงไว้แล้ว

การได้มานี้แสดงเพียงว่า 23 คนเป็นจำนวนคนที่ มากสุด ที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าวันเกิดจะตรงกันด้วยโอกาสครึ่งต่อครึ่ง กล่าวคือมันเปิดโอกาสความเป็นไปได้ว่าหาก n เท่ากับ 22 คนหรือน้อยกว่าก็อาจได้ผลเช่นกัน