ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ (แม่แบบ:Langx) ในทฤษฎีเมเชอร์ กำหนดปริภูมิเมเชอร์สองปริภูมิใด ๆ เราจะสามารถสร้างปริภูมิเมเชอร์ใหม่ขึ้นมาจากสองปริภูมิดังกล่าวได้เสมอ และเราจะเรียกปริภูมิเมเชอร์ที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่า "ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ" (product measure space) การสร้างปริภูมิเมเชอร์ผลคูณจากสองปริภูมิตั้งต้นนั้น แท้จริงแล้วก็เสมือนการสร้างเซตใหม่จากสองเซตโดยใช้ผลคูณคาร์ทีเซียน หรือสร้างปริภูมิทอพอโลยีผลคูณจากสองปริภูมิทอพอโลยีนั่นเอง

นิยามทางคณิตศาสตร์

กำหนด $(X_1,{\mathrm{\Sigma }}_1,{\mu }_1)$ และ $(X_2,{\mathrm{\Sigma }}_2,{\mu }_2)$ เป็นปริภูมิเมเชอร์. เรานิยามปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ $(X_1\times X_2,{\mathrm{\Sigma }}_1\times {\mathrm{\Sigma }}_2,{\mu }_1\times {\mu }_2)$ ดังนี้

1. $X_1\times X_2$ คือ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ $X_1$ และ $X_2$
2. พีชคณิตซิกมาผลคูณ: ${\mathrm{\Sigma }}_1\times {\mathrm{\Sigma }}_2$ คือ พีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดที่มี $A_1\times A_2$ เป็นสมาชิก โดย $A_1\in {\mathrm{\Sigma }}_1$ และ $A_2\in {\mathrm{\Sigma }}_2$
3. เมเชอร์ผลคูณ: ${\mu }_1\times {\mu }_2$ นิยามโดย ให้เป็นเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติ

$({\mu }_1\times {\mu }_2)(B_1\times B_2)={\mu }_1(B_1){\mu }_2(B_2)$ เมื่อ

$B_1\in {\mathrm{\Sigma }}_1,B_2\in {\mathrm{\Sigma }}_2$

โดยเมเชอร์ที่มีคุณสมบัตินี้ นิยามได้หลายแบบ แต่ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า ปริภูมิตั้งต้นทั้งสอง เป็นชนิดซิกมาจำกัด เราจะได้ว่า ${\mu }_1\times {\mu }_2$ มีเพียงรูปแบบเดียวและเท่ากับ

$({\mu }_1\times {\mu }_2)(E)=\underset{X_2}{\int }{\mu }_1(E^y)d{\mu }_2=\underset{X_1}{\int }{\mu }_2(E_x)d{\mu }_1$

สำหรับทุก ๆ เซตหาเมเชอร์ได้ E โดย E_x = {y∈X₂| (x,y) ∈E}, และ E^y = {x∈X₁| (x,y) ∈E} และทั้งสองก็เป็นเซตที่สามารถวัดได้ แม่แบบ:โครงคณิตศาสตร์