ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในการวิเคราะห์เชิงจริง ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับในปริภูมิยูคลิเดียน Rⁿ โดยกล่าวว่า ทุกลำดับมีขอบเขตใน Rⁿ จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า อีกนัยหนึ่งคือ สับเซตของ Rⁿ จะเป็นเซตกระชับเชิงลำดับ (sequentially compact) ก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและมีขอบเขต ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่า ทฤษฎีบทความกระชับเชิงลำดับ

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส

ประวัติความเป็นมาและความสำคัญ

ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราสตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส โดยพิสูจน์ครั้งแรกได้โดยบ็อลท์ซาโนในปี ค.ศ. 1817 ใช้เป็นบทตั้งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง ประมาณห้าสิบปีต่อมา ไวเออร์ชตราสเห็นว่าทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญในตัวมันเองและพิสูจน์ได้อีกครั้งหนึ่ง นับแต่นั้นมาจึงได้กลายเป็นทฤษฎีบทสำคัญในคณิตวิเคราะห์

พิสูจน์

ก่อนอื่นเราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับ ${ℝ}^1$ (เซตของจำนวนจริง) ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถใช้การเรียงลำดับของจำนวนจริงบน $ℝ$ ได้ ทำให้ได้บทตั้งต่อไปนี้ แม่แบบ:ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สมมติว่า $(x_n)$ เป็นลำดับมีขอบเขต ใน $ℝ$ โดยบทตั้งข้างต้นจะมีลำดับย่อยทางเดียวซึ่งแน่นอนว่าจะต้องมีขอบเขตด้วย จากทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียวลำดับย่อยนั้นต้องลู่เข้า

สำหรับกรณีทั่วไป (${ℝ}^n$) จะพิสูจน์ได้ดังนี้ กำหนดลำดับมีขอบเขตใน ${ℝ}^n$ ลำดับที่ได้จากพิกัดตัวแรกจะเป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต ดังนั้นจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าจากผลข้างต้น จากนั้นเราสามารถหาลำดับย่อของลำดับย่อยนั้นที่พิกัดที่สองลู่เข้า ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบจำนวนพิกัด $n$ ครั้ง จะได้ลำดับย่อยของลำดับเดิมที่สมาชิกในแต่ละคู่อันดับลู่เข้า ดังนั้นลำดับย่อยนี้ลู่เข้า

บทพิสูจน์แบบอื่น

ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส์มีบทพิสูจน์อีกหลายแบบ ตัวอย่างด้านล่างใช้การแบ่งครึ่งช่วง เราเริ่มต้นด้วยลำดับที่มีขอบเขต

$(x_n)$

 :

• 
  เพราะ $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ มีขอบเขต ลำดับนี้จึงมีขอบเขตล่าง $s$ และขอบเขตบน $S$ .
• 
  เราใช้ $I_1=[s,S]$ เป็นช่วงแรกในการพิสูจน์
• 
  จากนั้นแบ่ง $I_1$ ออกเป็นสองช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันที่กึ่งกลาง
• 
  เนื่องจากลำดับ $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ เป็นจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ จะต้องมี (อย่างน้อย) หนึ่งในสองช่วงย่อยที่มีสมาชิกเป็นอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงที่สอง $I_2$
• 
  จากนั้นเราก็แบ่ง $I_2$ อีกครั้งให้เป็นช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันสองช่วง
• 
  เช่นกัน ในช่วงย่อยเหล่านี้จะมีช่วงย่อยอย่างน้อยหนึ่งอันที่มีสมาชิกของ $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ อยู่เป็นจำนวนอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงย่อยที่สาม $I_3$
• 
  เราดำเนินการตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ช่วงย่อยที่ซ้อนกันเป็นอนันต์ ($I_1\supset I_2\supset I_3\cdots$)

เนื่องจากเราลดความยาวของช่วงลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้นตอน ลิมิตของความยาวช่วงจึงเป็นศูนย์ โดยทฤษฎีบทช่วงซ้อน ซึ่งกล่าวว่าว่าถ้า

$(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=([a_n,b_n]{)}_{n\in \mathbb{N}}$

เป็นลำดับของช่วงปิดที่มีขอบเขต (โดยที่

$a_n\le b_n$

) แล้วอินเตอร์เซคชัน

$\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{I}_n$

จะไม่เป็นเซตว่าง เราจะพิสูจน์ว่า

$x\in \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{I}_n$

เป็นจุดเกาะกลุ่มของ

$(x_n)$

กำหนดย่านใกล้เคียง $U$ ของ $x$ ใด ๆ มา เนื่องจากความยาวของช่วงลู่เข้าสู่เป็นศูนย์ จึงมีช่วง$I_N$ ที่เป็นสับเซตแท้ของ $U$ เนื่องจาก $I_N$ บรรจุสมาชิกของ $(x_n)$ เป็นจำนวนอนันต์จากการสร้าง และ $I_N\subseteq U$, ดังนั้น $U$ บรรจุสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วนของลำดับ $(x_n)$ทำให้ได้ว่า $x$ เป็นจุดเกาะกลุ่มของ $(x_n)$ ดังนั้นจึงมีลำดับย่อยของ $(x_n)$ ที่ลู่เข้า $x$

ดูเพิ่ม

• ปริภูมิกระชับเชิงลำดับ
• ทฤษฎีบทไฮเนอ-บอเรล
• ความบริบูรณ์ของจำนวนจริง
• หลักการแปรผันของเอเคอลองด์

บรรณานุกรม

• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book