จำนวนกาตาล็อง

จำนวนกาตาล็อง (แม่แบบ:Langx) ในคณิตศาสตร์เชิงการจัด ปรากฏอยู่ในปัญหาการนับหลายๆ ปัญหา โดยส่วนใหญ่มักอยู่ในรูปการเรียกซ้ำ (recursive) จำนวนกาตาล็องถูกตั้งชื่อตามชื่อของเออแฌน ชาร์ล กาตาล็อง นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสและเบลเยียม

จำนวนกาตาล็องตัวที่ n สามารถหาได้โดยใช้สูตรสัมประสิทธิ์ทวินาม ดังนี้

$C_n=\frac{1}{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=\frac{(2n)!}{(n+1)!n!}=\prod _{k=2}^n\frac{n+k}{k}\text{for }n\ge 0$

จำนวนกาตาล็องเมื่อ n = 0, 1, 2, 3, … คือ

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, … แม่แบบ:OEIS

คุณสมบัติ

C_n สามารถเขียนอีกแบบได้

$C_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n+1})=\frac{1}{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\text{ for }n\ge 0$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่า C_n เป็นจำนวนธรรมชาติ

จำนวนกาตาล็อง เขียนในรูปความสัมพันธ์เวียนเกิด ได้ดังนี้

$C_0=1\text{and}{C}_{n+1}=\sum _{i=0}^n{C}_i{C}_{n-i}\text{for }n\ge 0,$

$\sum _{i_1+\cdots +i_m=n,i_1,\dots ,i_m\ge 0}{C}_{i_1}\cdots C_{i_m}=\{\begin{array}{cc}\frac{m(n+1)(n+2)\cdots (n+m/2-1)}{2(n+m/2+2)(n+m/2+3)\cdots (n+m)}{C}_{n+m/2},& m\text{ even}\\ [5pt]\frac{m(n+1)(n+2)\cdots (n+(m-1)/2)}{(n+(m+3)/2)(n+(m+3)/2+1)\cdots (n+m)}{C}_{n+(m-1)/2},& m\text{ odd}\end{array}$

หรือเขียนอีกแบบได้

$C_0=1\text{and}{C}_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}{C}_n$

จำนวนกาตาล็องมีค่าประมาณ

$C_n\sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi }}$

การประยุกต์ใช้

• C_n คือจำนวนของ Dyck word ที่มีความยาว 2n. Dyck word คือ ข้อความที่ประกอบด้วย X และ Y อย่างละ n ตัว และเมื่ออ่านข้อความจากทางซ้ายทีละตัวอักษร จะไม่มีทางนับจำนวนตัว Y ได้มากกว่าตัว X. ตัวอย่าง Dyck words ที่มีความยาว 6

XXXYYY     XYXXYY     XYXYXY     XXYYXY     XXYXYY

• C_n คือจำนวนวงเล็บ n คู่ทั้งหมดที่อยู่ในลำดับที่ถูกต้อง

((()))     ()(())     ()()()     (())()     (()())

• C_n คือจำนวนต้นไม้ทวิภาค (binary tree) ที่มีใบ n + 1 ใบทั้งหมดที่เป็นไปได้

• C_n คือ จำนวนวิถีทางเดียว (monotonic path) ทั้งหมดบนตารางขนาด n × n ช่อง ที่ไม่ตัดเส้นทแยงมุม. วิถีทางเดียว คือ เส้นทางที่เริ่มจากมุมล่างซ้าย และจบที่มุมบนขวา โดยเส้นเชื่อมจะชี้ไปทางขวา หรือข้างบนได้เท่านั้น. ตัวอย่างกรณี n = 3:

• C_n คือจำนวนวิธีตัดรูปหลายเหลี่ยมที่มี n + 2 ด้านให้เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยการตัดจะตัดจากจุดยอดของรูป และตัดเป็นเส้นตรง. ตัวอย่าง กรณี n = 4:

ประวัติ

ลำดับกาตาล็องถูกค้นพบตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 18 โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ซึ่งเขาสนใจจำนวนวิธีตัดรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยม. ลำดับนี้ถูกตั้งชื่อโดย Eugène Charles Catalan เขาได้ค้นพบว่าจำนวนกาตาล็องมีความเกี่ยวข้องกับจำนวนวงเล็บทั้งหมดที่เป็นไปได้

อ้างอิง

• Stanley, R.P. (1999): Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge University Press. (pp. 219-229)