การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

แม่แบบ:ลิงก์ไปภาษาอื่น แม่แบบ:แก้ภาษา แม่แบบ:Sidebar with collapsible lists

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (แม่แบบ:Langx) เป็นรูปแบบหนึ่งของการเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้นจากวัตถุหรืออนุภาค (โพรเจกไทล์) ซึ่งอยู่ในสนามโน้มถ่วง เช่น จากพื้นผิวโลก วัตถุเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้ง ภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วงเท่านั้น การคำนวณส่วนใหญ่มักจะละเว้นผลกระทบของแรงต้านอากาศเป็น

ความเร็วเริ่มต้น

เมื่อปล่อยให้โปรเจกไทล์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเริ่มต้น $𝐯 (0) \equiv 𝐯_{0}$ ซึ่งสามารถแยกเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร็วได้ดังต่อไปนี้

𝐯_{0} = v_{0 x} 𝐢 + v_{0 y} 𝐣

องค์ประกอบ $v_{0 x}$ และ $v_{0 y}$ สามารถหาได้เมื่อทราบมุมเริ่มต้น $θ$ ดังนี้

v_{0 x} = v_{0} \cos θ

และ

v_{0 y} = v_{0} \sin θ

ปริมาณจลนพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

ในปี ค.ศ. 1638 กาลิเลโอ กล่าวในหนังสือ Two New Sciences ว่าสำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นั้น การเคลื่อนที่ทั้งในแนวดิ่งและแนวราบจะเป็นอิสระต่อกัน^[1]

ความเร่ง

สำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จะเกิดความเร่งเฉพาะการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเท่านั้น ส่วนแนวราบความเร็วจะคงตัวมีค่าเท่ากับ $𝐯_{0} \cos θ$ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของวัตถุจะเป็นการเคลื่อนที่แบบตกอิสระ โดยมีความเร่งคงตัว $g$ ^[2] องค์ประกอบของความเร่งคือ

a_{x} = 0

และ

a_{y} = - g

ความเร็ว

องค์ประกอบของความเร็วในแนวราบของวัตถุจะไม่เปลี่ยนแปลงตลอดการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของความเร็วในแนวตั้งจะเพิ่มขึ้นแบบเชิงเส้นเพราะมีความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงที่มีค่าคงที่ องค์ประกอบของความเร็วทั้งในทิศทาง x และ y สามารถรวมกันเพื่อแก้ปัญหาองค์ประกอบของความเร็ว ณ เวลา $t$ ได้ดังนี้

v_{x} = v_{0} \cos (θ)

และ

v_{y} = v_{0} \sin (θ) - g t

ขนาดของความเร็ว (ภายใต้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}

การกระจัด

ณ เวลา $t$ ใด ๆ การกระจัดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวราบและแนวดิ่งคือ

x = v_{0} t \cos (θ)

และ

y = v_{0} t \sin (θ) - \frac{1}{2} g t^{2}

ขนาดของการกระจัดคือ

Δ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

พิจารณาสมการ

x = v_{0} t \cos (θ)

และ

y = v_{0} t \sin (θ) - \frac{1}{2} g t^{2}

ถ้า $t$ ถูกกำจัดออกระหว่างทั้งสองสมการ จะได้

y = \tan (θ) \cdot x - \frac{g}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} θ} \cdot x^{2}

เมื่อ $g$ $θ$ และ $v_{0}$ เป็นค่าคงที่ สมการข้างต้นจะอยู่ในรูป

y = a x + b x^{2}

ซึ่ง $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ สมการนี้เป็นสมการพาราโบลา ดังนั้นเส้นทางการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จึงเป็นรูปพาราโบลา ถ้าทราบตำแหน่ง (x,y) ของโพรเจกไทล์ และมุมยิง ( $θ$ หรือ $r$ ) ความเร็วเริ่มตั้น $v_{0}$ สามารถหาได้จากการแก้สมการพาราโบลาข้างต้น ได้เป็น

v_{0} = \sqrt{\frac{x^{2} g}{x \sin 2 θ - 2 y \cos^{2} θ}}

เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่

เวลาทั้งหมดที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศหาได้จากสมการ

y = v_{0} t \sin (θ) - \frac{1}{2} g t^{2}

หลังจากที่วัตถุถูกยิงออกไปและตกกลับลงมาบนพื้นอีกครั้ง (แกน x) ดังนั้น $y = 0$

0 = v_{0} t \sin (θ) - \frac{1}{2} g t^{2}

v_{0} t \sin (θ) = \frac{1}{2} g t^{2}

v_{0} \sin (θ) = \frac{1}{2} g t

t = \frac{2 v_{0} \sin (θ)}{g}

ในที่นี้จะไม่สนใจแรงต้านของอากาศที่กระทำต่อวัตถุ

ถ้าจุดเริ่มต้นอยู่ที่ตำแหน่ง $y_{0}$ เมื่อเทียบกับจุดตก เวลาที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศ คือ

t = \frac{d}{v \cos θ} = \frac{v \sin θ + \sqrt{(v \sin θ)^{2} + 2 g y_{0}}}{g}

สมการข้างต้นสามารถลดรูปเป็น

t = \frac{v \sin θ + \sqrt{(v \sin θ)^{2}}}{g} = \frac{v \sin θ + v \sin θ}{g} = \frac{2 v \sin θ}{g} = \frac{2 v \sin (45)}{g} = \frac{2 v \frac{\sqrt{2}}{2}}{g} = \frac{\sqrt{2} v}{g}

ถ้า $θ$ = 0 และ $y_{0}$ = 0

ระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่

จุดที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นไปได้เป็นระยะสูงที่สุดก่อนที่จะตกกลับลงมา เรียกว่า จุดสูงสุดของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ณ จุดนี้ องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่ง $v_{y} = 0$ นั้นคือ

0 = v_{0} \sin (θ) - g t_{h}

เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ไปถึงจุดสูงสุด

t_{h} = \frac{v_{0} \sin (θ)}{g}

จากการกระจัดที่สูงที่สุดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

h = v_{0} t_{h} \sin (θ) - \frac{1}{2} g t_{h}^{2}

h = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} (θ)}{2 g}

ความสัมพันธ์ระหว่างระยะไกลสุดกับระยะสูงสุด

ความสัมพันธืระหว่างระยะไกลสุดบนแนวราบ $R$ กับระยะสูงสุด $h$ ที่ $\frac{t_{d}}{2}$ เป็น

h = \frac{R \tan θ}{4}

พิสูจน์

$h = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} θ}{2 g}$

R = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 θ}{g}

\frac{h}{R} = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} θ}{2 g}

×

\frac{g}{v_{0}^{2} \sin 2 θ}

\frac{h}{R} = \frac{\sin^{2} θ}{4 \sin θ \cos θ}

$h = \frac{R \tan θ}{4}$ .

พิสัยของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

แม่แบบ:บทความหลัก2

ในการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มวลของวัตถุจะไม่ส่งผลต่อระยะไกลสุดตามแนวราบและระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่ เมื่อขว้างวัตถุออกไปด้วยความเร็วและทิศทางเดียวกัน ระยะไกลสุดตามแนวราบของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เรียกว่า"พิสัย" $d$ คือ ระยะทางตามแนวราบจากจุดที่ขว้างวัตถุออกไปจนถึงจุดที่วัตถุตกกลับลงมาที่ตำแหน่งความสูงเริ่มต้น $(y = 0)$

0 = v_{0} t_{d} \sin (θ) - \frac{1}{2} g t_{d}^{2}

เวลาเมื่อตกถึงพื้น

t_{d} = \frac{2 v_{0} \sin (θ)}{g}

จากการเคลื่อนที่ในแนวราบ ระยะทางของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็น

d = v_{0} t_{d} \cos (θ)

ดังนั้น^[3]

d = \frac{v_{0}^{2}}{g} \sin (2 θ)

$d$ จะมีค่าสูงสุดเมื่อ

\sin 2 θ = 1

ซึ่งสอดคล้องกับ

2 θ = 9 0^{\circ}

หรือ

θ = 4 5^{\circ}

ระยะทางในแนวราบ $d$ ที่เคลื่อนที่ได้

d = \frac{v \cos θ}{g} (v \sin θ + \sqrt{(v \sin θ)^{2} + 2 g y_{0}})

เมื่อพื้นเรียบ (ความสูงเริ่มต้น ( $y_{0} = 0$ )) ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้

d = \frac{v^{2} \sin (2 θ)}{g}

ดังนั้นวัตถุจะเคลื่อนที่ได้ระยะทางไกลที่สุด เมื่อ $θ$ มีค่าเท่ากับ 45 องศา

d = \frac{v^{2}}{g}

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทงานและพลังงาน

ตามทฤษฎีงานและพลังงาน องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่งคือ

v_{y}^{2} = (v_{0} \sin θ)^{2} - 2 g y

สมการเหล่านี้จะไม่พิจารณาแรงต้านของอากาศ และถือว่าพื้นเป็นพื้นราบเรียบ

อ้างอิง

แม่แบบ:รายการอ้างอิง

↑ Galileo Galilei, Two New Sciences ', Leiden, 1638, p.249
↑ The $g$ คือ ความเร่งโน้มถ่วง. ( $9.81 m / s^{2}$ ที่ผิวโลก).
↑ $2 \cdot \sin (α) \cdot \cos (α) = \sin (2 α)$

[1] Galileo Galilei, Two New Sciences ', Leiden, 1638, p.249

[2] The $g$ คือ ความเร่งโน้มถ่วง. ( $9.81 m / s^{2}$ ที่ผิวโลก).

[3] $2 \cdot \sin (α) \cdot \cos (α) = \sin (2 α)$

[1]

[2]

[3]

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

เนื้อหา

ความเร็วเริ่มต้น