การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์

แม่แบบ:ลิงก์ไปภาษาอื่น ในคณิตศาสตร์ การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์ (แม่แบบ:Lang) คือการแสดงให้เห็นว่า ถ้าหากประพจน์ (หรือในบางกรณีเป็นสัจพจน์) บางอย่างเป็นจริงแล้ว ประพจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นผลจากสมมุติฐานดังกล่าวที่จะต้องเป็นจริงด้วย เราจะเห็นได้ว่าการพิสูจน์เป็นการให้เหตุผลเชิงนิรนัย (แม่แบบ:Lang) มากกว่าที่จะเป็นการให้เหตุผลเชิงอุปนัย (แม่แบบ:Lang) หรือได้จากการวิพากษ์เชิงประจักษ์ หรือ ได้โดยจากประสบการณ์หรือการทดลอง (แม่แบบ:Lang) การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์นั้น ต้องแสดงให้เห็นให้ได้ว่าประพจน์ที่เรากำลังพิสูจน์นั้นต้องเป็นจริงในทุกกรณี ซึ่งในกรณีที่ง่ายที่สุดอาจทำได้โดยการจำแนกให้เห็นทุกกรณีที่เป็นไปได้ และแสดงให้เห็นแต่ละกรณีนั้นเป็นจริงอย่างไร ไม่ใช่เพียงแค่แจกแจงแต่กรณีที่เราสามารถยืนยันได้เท่านั้น ในทางกลับกัน ประพจน์ที่ถูกเชื่อกันว่าเป็นจริง โดยที่เรายังหาวิธีพิสูจน์ไม่ได้เราเรียก ประพจน์เช่นนี้ว่า ข้อความคาดการณ์ (แม่แบบ:Lang) เช่น ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาค (แม่แบบ:Lang) และ สมมุติฐานของรีมันน์ (แม่แบบ:Lang) เป็นต้น

การพิสูจน์นั้นใช้ประโยชน์จากตรรกศาสตร์ซึ่งมักเป็นภาษาที่รัดกุมแต่ในบางครั้งก็มักจะใช้ภาษาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเพื่อการสื่อสารหรือ ภาษาธรรมชาติ ในการอธิบายด้วยซึ่งก่อให้เกิดความกำกวม

วิธีการพิสูจน์

การพิสูจน์ตรง

การพิสูจน์ตรง ข้อสรุปได้จากนำผลลัพธ์จากสัจพจน์ นิยาม และทฤษฎีบทก่อนหน้า การพิสูจน์ตรงใช้ยืนยันว่าผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนเป็นจำนวนคู่

พิจารณาจำนวนเต็ม x และ y เพราะเป็นจำนวนคู่ เราสามารถเขียน x = 2a และ y = 2b ตามลำดับ สำหรับบางจำนวนเต็ม a และ b จะได้ x + y = 2a + 2b = 2 (a+b) ดังนั้น ชัดเจนว่า x+y มี 2 เป็นตัวประกอบ ดังนั้นผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนใด ๆ เป็นจำนวนคู่เสมอ

การพิสูจน์นี้ใช้นิยามจำนวนเต็มคู่ สมบัติของการปิดของจำนวนเต็มภายใต้การบวกและการคูณ และ สมบัติการแจกแจง

การพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

การพิสูจน์โดยการอุปนัยไม่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบอุปนัยเชิงตรรกศาสตร์ แม้ว่าแนวคิดรวบยอดจะคล้ายกัน การพิสูจน์แบบนี้ มีการพิสูจน์ "ขั้นฐาน" หนึ่งประพจน์ และพิสูจน์ "กฎการอุปนัย" ที่กล่าวว่าถ้ากรณีใดกรณีหนึ่งเป็นจริงแล้วกรณีอื่นก็เป็นจริง เมื่อใช้กฎการอุปนัยซ้ำหลายครั้ง จาก "ขั้นฐาน" ที่พิสูจน์แยกกัน นำมาพิสูจน์กรณีอื่น ๆ เป็นอนันต์กรณี เพราะว่าขั้นฐานเป็นจริง กรณีอื่น ๆ อีกอนันต์กรณีก็ต้องเป็นจริง แม้ว่าเราไม่สามารถพิสูจน์กรณีทั้งหมดโดยตรงได้ เพราะมีเป็นอนันต์ ส่วนหนึ่งของการอุปนัยคือ การลดหลั่นอนันต์ (infinite descent) สามารถใช้พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของ $\sqrt{2}$

การใช้งานโดยทั่วไปโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์คือพิสูจน์ว่าสมบัติอย่างหนึ่งที่เป็นจริงกับจำนวนหนึ่งเป็นจริงกับจำนวนนับทุกจำนวน: ให้ แม่แบบ:Math} เป็นเซตของจำนวนนับ และ แม่แบบ:Math เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนนับ แม่แบบ:Math เป็นสมาชิกของ แม่แบบ:Math ที่

• (i) แม่แบบ:Math เป็นจริง กล่าวคือ แม่แบบ:Math เป็นจริงสำหรับ แม่แบบ:Math
• (ii) แม่แบบ:Math เป็นจริงเมื่อ แม่แบบ:Math เป็นจริงเสมอ กล่าวคือ แม่แบบ:Math เป็นจริง แปลว่า แม่แบบ:Math ก็เป็นจริง
• แล้ว แม่แบบ:Math เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ แม่แบบ:Math

เช่น เราสามารถพิสูจน์ว่าจำนวนนับทุกจำนวนในรูป แม่แบบ:Math เป็นจำนวนคี่ ให้ P(n) แทน "2n+1 เป็นจำนวนคี่":

(i) สำหรับ แม่แบบ:Math จะได้ว่า แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น แม่แบบ:Math เป็นจริง

(ii) สำหรับทุก แม่แบบ:Math ถ้า แม่แบบ:Math เป็นจำนวนคี่แล้ว (2n + 1) + 2 ก็เป็นจำนวนคี่เพราะการบวก แม่แบบ:Math กับจำนวนคี่จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนคี่ แต่ แม่แบบ:Math ดังนั้น แม่แบบ:Math เป็นจำนวนคี่ (แม่แบบ:Math) ดังนั้น แม่แบบ:Math เป็นจริงถ้า แม่แบบ:Math เป็นจริง

ฉะนั้น แม่แบบ:Math เป็นจำนวนคี่สำหรับทุกจำนวนนับ แม่แบบ:Math

ภาษาอังกฤษนิยมใช้คำว่า แม่แบบ:Lang หมายถึงการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มากกว่า แม่แบบ:Lang