การบวกเมทริกซ์

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง การบวกเมทริกซ์ ในทางคณิตศาสตร์ เป็นการดำเนินการการบวกบนสองเมทริกซ์ โดยบวกสมาชิกที่สอดคล้องกันเข้าด้วยกันเป็นเมทริกซ์ใหม่

ผลบวกแยกสมาชิก

การบวกเมทริกซ์โดยทั่วไปจะนิยามให้เมทริกซ์สองเมทริกซ์มีมิติเท่ากัน ผลบวกของเมทริกซ์ A และ B ที่มีมิติ m×n เขียนแทนด้วย A + B และได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นเมทริกซ์ขนาด m×n ที่มีสมาชิกเป็นผลบวกบนตำแหน่งที่ตรงกัน ตัวอย่างเช่น

$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 7& 5\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1+0& 3+0\\ 1+7& 0+5\\ 1+2& 2+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 8& 5\\ 3& 3\end{array}\right]$

เรายังสามารถดำเนินการการลบบนเมทริกซ์สองเมทริกซ์ได้ ตราบใดที่ยังมีมิติเท่ากัน การลบเมทริกซ์เขียนแทนด้วย A − B จะได้เมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นผลลบบนตำแหน่งที่ตรงกัน ตัวอย่างเช่น

$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 7& 5\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1-0& 3-0\\ 1-7& 0-5\\ 1-2& 2-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ -6& -5\\ -1& 1\end{array}\right]$

เอกลักษณ์การบวกของเมทริกซ์คือเมทริกซ์ศูนย์ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

ผลบวกโดยตรง

การดำเนินการการบวกอีกอย่างหนึ่งซึ่งมีที่ใช้น้อยกว่า คือการบวกโดยตรง เราสามารถบวกเมทริกซ์ A มิติ m×n กับเมทริกซ์ B มิติ p×q ได้โดยไม่จำเป็นต้องมีมิติเท่ากัน ผลลัพธ์จะออกมาเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ (m + p) × (n + q) ตามที่นิยามไว้ดังนี้

$A\oplus B=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}& 0& \cdots & 0\\ 0& \cdots & 0& b_{11}& \cdots & b_{1q}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & 0& b_{p1}& \cdots & b_{pq}\end{array}\right]$

ดังตัวอย่างต่อไปนี้

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right]\oplus \left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 0& 0\\ 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 6\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

การบวกแบบนี้ไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ ลองพิจารณาตัวอย่างนี้เทียบกับข้างบน

$\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right]\oplus \left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 6& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 3& 2\\ 0& 0& 2& 3& 1\end{array}\right]$

คุณสมบัติ

• $A+B=B+A$
• $A+(B+C)=(A+B)+C$
• $(r+s)A=rA+sA$
• $r(A+B)=rA+rB$

แหล่งข้อมูลอื่น

• Online matrix addition calculator
• Online matrix calculation using AJAX แม่แบบ:Webarchive