กฎของมาลุส

ไฟล์:Loi de malus.png

ภาพประกอบของกฎของมาลุส: แสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรงซึ่งมีกแกนโพลาไรซ์ตามลูกศรดำแผ่ผ่านโพลาไรเซอร์ซึ่งมีแกนชี้ตามลูกศรแดงซึ่งทำมุมต่างกัน $\theta$ ผลที่ได้คือคลื่นสีแดงทางขวาซึ่งถูกลดทอนลงมีทิศแกนตรงกับแกนของโพลาไรเซอร์

กฎของมาลุส (แม่แบบ:Langx) เป็นกฎทางทัศนศาสตร์ ที่เกี่ยวข้องกับปริมาณความเข้มแสงที่ส่งผ่านโพลาไรเซอร์ที่สมบูรณ์แบบ

ประวัติศาสตร์

ชื่อกฎของมาลุสนี้มีที่มาจากชื่อเอเตียน-หลุยส์ มาลุส นักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส ผู้ซึ่งได้ค้นพบกฎนี้ในปี 1809แม่แบบ:Sfnแม่แบบ:Sfn

หลักการ

สมมติว่าคลื่นของแสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรงแผ่ผ่านโพลาไรเซอร์ ให้มุม θ เป็นมุมระหว่างแกนโพลาไรเซชันของคลื่นแสงนี้กับแกนของโพลาไรเซอร์ คลื่นที่ส่งผ่านออกมาจะถูกโพลาไรซ์ตามแกนของโพลาไรเซอร์ โดยจะถูกลดทอนด้วยปัจจัยบางอย่าง ถ้าเราสังเกตความเข้มขาเข้า $I_0$ และความเข้มขาออก $I$ จะได้ว่าเป็นไปตามกฎมาลุส คือ

$I=I_0{\cos }^2(\theta )$

จากกฎนี้เราจะได้ว่า

• หากโพลาไรเซชันของคลื่นที่ตกกระทบอยู่ในทิศทางเดียวกับแกนของโพลาไรเซอร์ นั่นคือ $\theta =0$ ความเข้มของแสงทั้งหมดจะถูกส่งผ่าน
• หากโพลาไรเซชันของคลื่นที่ตกกระทบตั้งฉากกับแกนของโพลาไรเซอร์ นั่นคือ $\theta =90$ ก็จะไม่เกิดคลื่นขาออก
• หากคลื่นที่ตกกระทบเป็นคลื่นไม่ได้โพลาไรซ์ กล่าวคือ ประกอบด้วยโพลาไรเซชันในทุกทิศที่เป็นไปได้ทั้งหมด แล้วหาค่าเฉลี่ย ของ $I$ เราจะได้ว่า $I=I_0/2$ นั่นคือความเข้มลดลงครึ่งหนึ่ง ปรากฏการณ์เช่นนี้อาจสังเกตได้เมื่อมองหลอดไส้ร้อนแบบธรรมดาผ่านโพลาไรเซอร์

การพิสูจน์

โพลาไรเซอร์มีผลทำให้แอมพลิจูดของสนามไฟฟ้า E₀ ของคลื่นที่ส่งผ่านเหลือแค่ในส่วนทิศที่ตรงกับแกนของลาไรเซอร์ ในกรณีของคลื่นแสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรง ค่านี้จะเป็นสัดส่วนกับโคไซน์ของมุม θ ดังนั้นแอมพลิจูดขาออกคือ

$E=E_0\cos (\theta )$

และความเข้มของการส่องสว่าง ตามคำนิยามแล้ว แปรผันตามกำลังสองของแอมพลิจูดของคลื่น

$I_0=\overrightarrow{E}.\overrightarrow{E}=E_0^2$

ดังนั้นเมื่อผ่านโพลาไรเซอร์ ความเข้มแสงจึงเป็น

$I=E_0^2{\cos }^2(\theta )=I_0{\cos }^2(\theta )$

ในกรณีของคลื่นที่ไม่โพลาไรซ์ สูตรจะพิสูจน์ได้โดยการหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน ${\cos }^2(\theta )$ ซึ่งหากอนุมานแบบคร่าว ๆ เราจะเห็นว่าค่า ${\cos }^2(\theta )$ อยู่ในช่วง 0 ถึง 1 เท่านั้น

$\cos (0^{\circ })=1$	$\cos (90^{\circ })=0$	$\cos (180^{\circ })=-1$	$\cos (270^{\circ })=0$
${\cos }^2(0^{\circ })=1$	${\cos }^2(90^{\circ })=0$	${\cos }^2(180^{\circ })=1$	${\cos }^2(270^{\circ })=0$

ดังนั้นค่าเฉลี่ยของ ${\cos }^2(\theta )$ จึงควรเป็น $\frac{1}{2}$ ดังนั้นสูตรคือ $I=\frac{I_0}{2}$

อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์อย่างเข้มงวดควรทำโดยหาค่าเฉลี่ยจากการคำนวณปริพันธ์ โดยฟังก์ชันนี้มีค่าสูงสุดเป็น 1 ที่มุม 0° และมีค่าต่ำสุดเป็น 0 ที่มุม 90° ดังนั้น หาค่าเฉลี่ยระหว่างค่าทั้งสองโดย

$\frac{\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\cos }^2(\theta )d\theta }{\pi /2-0}=\frac{\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\left(\frac{1+\cos (2\theta )}{2}\right)d\theta }{\pi /2-0}$

ซึ่งได้มาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos (2x)}{2}$

จากนั้นทำการรวบแต่ละพจน์

$=\frac{\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}1d\theta +\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos (2\theta )d\theta }{\pi /2-0}=\frac{\frac{1}{2}{\left[\theta \right]}_0^{\pi /2}+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos (2\theta )d\theta }{\pi /2-0}$

เพื่อที่จะแก้หาปริพันธ์ ในที่นี้เราแทน $u=2\theta$ และ $d\theta =\frac{du}{2}$

$=\frac{\frac{1}{2}{\left[\theta \right]}_0^{\pi /2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (u)du}{\pi /2-0}=\frac{\frac{1}{2}{\left[\theta \right]}_0^{\pi /2}+\frac{1}{4}{[\sin (u)]}_0^{\pi }}{\pi /2-0}$

จากนั้นใช้สมบัติการแจกแจงของการคูณ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก

$=\frac{\frac{1}{2}{\left[\theta \right]}_0^{\pi /2}+\frac{1}{4}{[\sin (2\theta )]}_0^{\pi /2}}{\pi /2-0}=\frac{{[\frac{\theta }{2}+\frac{\sin (2\theta )}{4}]}_0^{\pi /2}}{\pi /2-0}=\frac{{[\frac{\theta }{2}+\frac{2\sin (\theta )\cos (\theta )}{4}]}_0^{\pi /2}}{\pi /2-0}$

ซึ่งได้มาจาก เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

$\sin [2(x)]=2\sin (x)\cos (x)$

แล้วสุดท้ายก็จะได้

$={\left[\frac{\theta +\sin (\theta )\cos (\theta )}{2}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}\cdot \frac{2}{\pi }=\left(F(\frac{\pi }{2})-F(0)\right)\cdot \frac{2}{\pi }=\frac{\pi }{4}\cdot \frac{2}{\pi }=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

จากผลการหาปริพันธ์ที่ได้นี้ ความเข้มแสงเฉลี่ยทั้งหมดตั้งแต่มุม 0° ถึง 90° จะเป็น

$\overline{I}=\frac{\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{I}_0{\cos }^2(\theta )d\theta }{\pi /2-0}=\frac{I_0\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\cos }^2(\theta )d\theta }{\pi /2-0}=I_0\frac{\pi }{4}\cdot \frac{2}{\pi }=I_0\frac{2}{4}=\frac{I_0}{2}$

ดังนั้นสำหรับคลื่นที่ไม่โพลาไรซ์ จึงได้ว่า

$I=\frac{I_0}{2}$

นั่นคือเมื่อแสงไม่โพลาไรซ์แผ่ผ่านโพลาไรเซอร์ ความเข้มจะลดลงเหลือครึ่งหนึ่ง

การสังเกตการณ์ในการทดลอง

ตัวอย่างภาพด้านล่างนี้เป็นการสังเกตแสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรงที่มาจากหน้าจอคอมพิวเตอร์ ตามกฎของมาลุส โพลาไรเซอร์ที่วางอยู่ข้างหน้าจะกันแสงโดยขึ้นอยู่กับทิศทางของมัน

• ไฟล์:Polariseur1.JPG
• ไฟล์:Polariseur2.JPG
• มีข้อผิดพลาดในการสร้างรูปย่อ:
• ไฟล์:Polariseur4.JPG
• มีข้อผิดพลาดในการสร้างรูปย่อ: