กลศาสตร์แฮมิลตัน

ฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันฮามิลตัน (Hamilton function) สำหรับระบบทางกลศาสตร์แบบฉบับ (classical mechanics) คือฟังก์ชันสเกลาร์ของพิกัดทั่วไป โมเมนตัมสังยุค และเวลา ที่สามารถใช้อธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลา (time evolution) ของระบบนั้นได้ ทั้งนี้เนื่องจากสถานะของระบบในกลศาสตร์แบบฉบับสามารถอธิบายได้โดยการบอกพิกัดและโมเมนตัมเป็นฟังก์ชันของเวลา

นิยามและการสร้างฮามิลโทเนียน

ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ นอกจากการใช้กฎของนิวตันและกลศาสตร์แบบลากรานจ์แล้วเราสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากลากรางเจียน (Lagrangian)ของระบบ เราสามารถหาสมการการเคลื่อนที่ในรูปของอนุพันธ์อันดับที่ 1 เปลี่ยนจากการบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบในปริภูมิโครงแบบมาเป็นปริภูมิเฟสที่มีจำนวนมิติเป็น 2N วิธีการนี้ คือ สมการของแฮมิลตัน ซึ่งถูกเสนอขึ้นในปี พ.ศ. 2376 (ค.ศ. 1833) โดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน ซึ่งการได้มาของสมการแฮมิลตันทำได้ 2 ลักษณะ คือ 1. การแปลงเลอร์จอง (Legendre Transformation) 2. หลักการแปรผัน (Variational Principle) เนื่องจากฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (generalized coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (conjugate momenta, canonical momenta หรือ generalized momenta) แต่ลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อน
$p(t)\equiv \frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}}$
โดย $q(t)$ คือพิกัดทั่วไป $\dot{q}(t)$ คืออัตราเร็วสำหรับพิกัดนั้น และ $t$ คือเวลา ซึ่งเวลาจะทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ในกลศาสตร์แบบฉบับ

เมื่อเรานิยามโมเมนตัมสังยุคแล้ว ถ้าเราสามารถเขียนอัตราเร็ว $\dot{q}(t)$ ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตั้มได้ เราจะสามารถมองว่าพิกัดและโมเมนตัมเป็นตัวแปรอิสระได้ (ต่างจากในกรณีของลากรางเจียน ซึ่งความเร็วจะเป็นแค่อนุพันธ์เทียบกับเวลาของพิกัด ไม่ใช่ตัวแปรอิสระ) ซึ่งปริภูมิของพิกัดและโมเมนตัมสังยุคนี้มีชื่อคือ Phase space

ฮามิลโทเนียนของระบบนั้นจะนิยามโดยการแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) ของลากรางเจียนคือ
$H(q(t),p(t),t)=p(t)\dot{q}(q,p,t)-L(q,\dot{q}(q,p,t),t)$
โดยที่เราเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัม (ทำให้ฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม ไม่ใช่พิกัดและความเร็ว)

ฮามิลโทเนียนในกรณีทั่วไป

ในกรณีที่จำเป็นต้องใช้พิกัด $N$ ตัว
$q\equiv \{q_1(t),q_2(t),...,q_N(t)\}$
เพื่ออธิบายระบบด้วยลากรางเจียน
$L(q,\dot{q},t)\equiv L(q_1,q_2,...q_N,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,...,{\dot{q}}_N,t)$
เราจะสามารถนิยามโมเมนตัมสังยุคแต่ละตัว $p_i(t)$ ได้โดย
$p_i(t)\equiv \frac{\partial L(q_1,q_2,...q_N,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,...,{\dot{q}}_N,t)}{\partial {\dot{q}}_i}i=1,2,...,N$
ทำให้เรามีระบบสมการ N สมการ ในกรณีที่สมการนี้สามารถแก้ได้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้อยู่เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม
${\dot{q}}_i=f_i(q_1,q_2,...,q_N,p_1,p_2,...,p_N,t)$
เราจะสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากการการแปลงเลอจองก์
$H(q(t),p(t),t)=\sum _i{p}_i(t){\dot{q}}_i(q,p,t)-L(q,\dot{q}(q,p,t),t)$

ข้อควรระวังคือในบางระบบ เราจะไม่สามารถเขียนอัตราเร็วของพิกัดทุกๆตัวให้เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัมได้ ซึ่งจะทำให้โมเมนตัมทุกตัวไม่เป็นอิสระต่อกันและไม่สามารถใช้ฮามิลโทเนียนอธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลาของระบบได้

ความสัมพันธ์ระหว่างฮามิลโทเนียนกับลากรานเจียน

เราสามารถสร้างแฮมิลโทเนียนได้จากลากรานเจียน (Lagrangian) ของระบบ เนื่องจากแฮมิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (Generalized Coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (Conjugate Momenta, Canonical Momenta หรือ Generalized Momenta) แต่ลากรานเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อนและจะได้สมการแบบบัญญัติของแฮมิลตัน (Canonical Equation of Hamilton) หรือ สมการแฮมิลตัน (Hamilton’s Equation) เป็นสมการการเคลื่อนที่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 ซึ่งแตกต่างจากสมการลากรานจ์ที่อยู่ในรูปสมการอนุพันธ์อันดับที่ 2 เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลง (variation) ของปริมาณ $\sum _i{\dot{q}}_i{p}_i-L(q,\dot{q},t)$ เราจะได้
$\delta (\sum _i{\dot{q}}_i{p}_i-L)=\sum _i{\dot{q}}_i\delta p_i-\sum _i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i-\frac{\partial L}{\partial t}\delta t+\sum _i(p_i-\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i})\delta {\dot{q}}_i$
จะพบว่าการนิยามโมเมนตัมโดย $p_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}$ ทำให้การเปลี่ยนแปลงของ ${\dot{q}}_i$ ไม่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้อัตโนมัติ (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์ $\delta q_i$ เป็นศูนย์) ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้จะขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรคือพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา เนื่องจากเราเรียกปริมาณนี้ว่าฮามิลโทเนียน
$\delta H(q,p,t)=\sum _i{\dot{q}}_i\delta p_i-\sum _i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i-\frac{\partial L}{\partial t}\delta t$
จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามชนิดดังกล่าว สอดคล้องกับนิยามที่เขียนไว้ด้านบน นอกจากนั้นเราจะได้
${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}$
ซึ่งมีความสมมาตรอย่างชัดเจนกับนิยามของโมเมนตัม นั่นคือ
${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}⟺p_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}$
ความสัมพันธ์ลักษณะนี้เป็นคุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของการแปลงเลอจองก์

เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ $\sum _i{\dot{q}}_i{p}_i-H(q,p,t)$ จะพบว่า
$\delta (\sum _i{\dot{q}}_i{p}_i-H(q,p,t))=\sum _i{p}_i\delta {\dot{q}}_i-\sum _i\frac{\partial H}{\partial q_i}\delta q_i-\frac{\partial H}{\partial t}\delta t+\sum _i({\dot{q}}_i-\frac{\partial H}{\partial p_i})\delta p_i$
และเมื่อใช้นิยามของ ${\dot{q}}_i=\partial H/\partial p_i$ จะเห็นว่าปริมาณนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรคือพิกัด อัตตราเร็ว และเวลา ซึ่งก็คือลากรางเจียนนั่นเอง
$\delta L(q,\dot{q},t)=\sum _i{p}_i\delta {\dot{q}}_i-\sum _i\frac{\partial H}{\partial q_i}\delta q_i-\frac{\partial H}{\partial t}\delta t$
นอกจากนั้นเราพบว่า
$\frac{\partial L}{\partial q_i}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$
และ
$\frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial t}$
ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่มีลักษณะเดียวกัน เนื่องจากตัวแปร $q_i$ และ $t$ ไม่ได้มีการแปลงเลอจองก์

ข้อสรุปสำคัญสำหรับหัวข้อนี้คือลากรางเจียนและฮามิลโทเนียนเป็นปริมาณที่เป็นคู่กัน (dual) ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติของการแปลงเลอจองก์

การแปลงแบบคาโนนิคัล

การแปลงแบบคาโนนิคัลอาศัยแนวคิดพื้นฐานมาจากระบบพิกัดที่เป็นไปตามสมการของแฮมิลตัน หรือที่เรียกกันว่า ระบบพิกัดคาโนนิคัล เนื่องจากการแก้ไขปัญหาทางกลศาสตร์บางครั้งทำได้ยาก แต่ถ้าเราแปลงระบบพิกัดหรือโมเมนตัมให้เหมาะสมก็อาจทำให้การแก้ปัญหาทำได้ง่ายขึ้น ซึ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลยังคงอยู่ในรูปของคาโนนิคัลเดิมของสมการแฮมิลตัน เป็นการแปลงกลุ่มของพิกัด $q_i$ ไปเป็นกลุ่มพิกัดใหม่ $Q_i$ ซึ่งการแปลงมีรูปแบบเป็น $Q_i=Q_i(q_k,p_k,t)$ และ $P_i=P_i(q_k,p_k,t)$

กล่าวได้ว่า การที่จะทราบระบบพิกัดใหม่ได้ จำเป็นที่จะต้องทราบระบบพิกัดเดิมและโมเมนตัมเดิม การแปลงนี้ที่จะต้องพิจารณา คือ การแปลงที่ทำให้ทั้ง $Q$ และ $P$ ใหม่ที่จะได้ต่างก็เป็นพิกัดคาโนนิคัล ซึ่งหมายความว่า ระบบพิกัดใหม่ที่ได้ต้องเป็นไปตามสมการแฮมิลตัน นั่น คือ จะต้องมีฟังก์ชัน $K(Q,P,t)$ ที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง

$\begin{array}{cc}\dot{{𝐐}_{𝐢}}& =\frac{\partial K}{\partial {𝐏}_{𝐢}}\\ \dot{{𝐏}_{𝐢}}& =-\frac{\partial K}{\partial {𝐐}_{𝐢}}\end{array}$

จะเห็นได้ว่าฟังก์ชัน $K$ ก็คือ ฮามิลโทเนียนในระบบพิกัดใหม่นั่นเอง เรียกการแปลงที่ทำให้สมการข้างต้นทั้งสองเป็นจริงว่า การแปลงแบบคาโนนิคัล การจะแปลงจากพิกัดและโมเมนตัมเก่าไปเป็นระบบพิกัดและโมเมนตัมใหม่นั้น จะต้องมีฟังก์ชันก่อกำเนิด เป็นฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระเดิมกับตัวแปรอิสระใหม่ จะแบ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลออกเป็น 4 รูปแบบตามปริภูมิเฟสที่เกิดจากการเรียงสับเปลี่ยน ซึ่งการกำหนดฟังก์ชันจะอาศัยหลักการของการแปลงเลอจองด์

1. $G\equiv G_1(𝐪,𝐐,t)$

2. $G\equiv -𝐐\cdot 𝐏+G_2(𝐪,𝐏,t)$

3. $G\equiv 𝐪\cdot 𝐩+G_3(𝐩,𝐐,t)$

4. $G\equiv 𝐪\cdot 𝐩-𝐐\cdot 𝐏+G_4(𝐩,𝐏,t)$

ตัวอย่างการสร้างฮามิลโทเนียน

การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ

ระบบการสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ (1 dimensional harmonic oscillator) สามารถอธิบายโดยลากรางเจียน
$L(x,\dot{x})=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}k{x}^2$
โดย $x(t)$ คือพิกัดของระบบ (เช่นตำแหน่งของอนุภาคบนสปริง) และ $k$ คือค่าคงที่ของระบบนั้น (เช่นค่าคงที่ของสปริง) จะเห็นว่าโมเมนตัมสังยุคของพิกัด $x(t)$ คือ
$p=\frac{\partial L(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$
ซึ่งในกรณีนี้จะสามารถแก้สมการและเขียนอัตราเร็วของพิกัด $x(t)$ ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมได้
$\dot{x}=\frac{p}{m}$
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
$H(x,p)=p\dot{x}(p)-L(x,\dot{x}(p))=p\frac{p}{m}-\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{x}^2$
สังเกตว่า
$H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{x}^2=T(p)+V(x)$
เมื่อ $T(p)$ คือพลังงานจลน์ (kinetic energy) ซึ่งเขียนเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและ $V(x)$ คือพลังงานศักย์ของระบบ

การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง (Central Potential)

แรงสู่ศูนย์กลางสามารถอธิบายได้โดยศักย์ที่เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิง (origin)
$V=V(r)$
ในกรณีนี้การเลือกใช้พิกัดทรงกลมให้เป็นพิกัดทั่วไปจะทำให้อธิบายระบบได้สะดวกกว่า
$q_1(t)=r(t),q_2(t)=\theta (t),q_3(t)=\varphi (t)$
การที่ศักย์เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิงอย่างเดียวทำให้ระบบมีสมมาตรภายใต้การหมุน(รอบแกนใดๆก็ได้) ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของการหมุนรอบแกนนั้นๆไม่เปลี่ยนแปลง (conserved) ทำให้การเคลื่อนที่ของระบบอยู่ในระบาบ 2 มิติ ดังนั้นเราจำเป็นจะต้องใช้พิกัดแค่สองจากสามตัวในการบอกตำแหน่งของระบบ ลากรางเจียนของระบบนี้คือ
$L(r,\varphi )=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2)-V(r)$
ในกรณีนี้จะมีโมเมนตัมสังยุคของพิกัดสองพิกัดคือ
$p_r=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r}$
และ
$p_{\varphi }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=m{r}^2\dot{\varphi }$
โดยเราสามารถแก้สมการเขียนอัตตราเร็วในรูปของโมเมนตัมได้คือ
$\dot{r}=\frac{p_r}{m}$

$\dot{\varphi }=\frac{p_{\varphi }}{m{r}^2}$
สังเกตว่าอัตราเร็ว $\dot{\varphi }$ เป็นฟังก์ชันของทั้งโมเมนตัมสังยุคของพิกัด $\varphi$ เองและฟังก์ชันของพิกัด $r$ ด้วย

ในกรณีนี้จะได้
$H(r,\varphi ,p_r,p_{\varphi })=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_{\varphi }^2}{2m{r}^2}+V(r)$
ซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์(ที่เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้เช่นกัน

อนุภาคในสนามไฟฟ้า

สำหรับอนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ ($v<<c$) จะได้ว่าลากรางเจียนของระบบคือ
$L(𝐫,\dot{𝐫})=\frac{1}{2}m{\dot{𝐫}}^2-e\varphi (r)$
โดยที่ $e$ คือประจุไฟฟ้าของอนุภาค $\varphi =\varphi (r)$ คือศักย์สเกลาร์

ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
${𝐩}_r=m\dot{𝐫}$
ซึ่งจะเท่ากับ kinetic momentum $m\dot{r}$ ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
$H(𝐫,𝐩)=\frac{1}{2}m{\dot{𝐫}}^2+e\varphi (r)=\frac{{𝐩}_r^2}{2m}+e\varphi (r)$
ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมพลังงานจลน์(เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้

อนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

เมื่ออนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ ($v<<c$) อยู่ในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก เราจะต้องเปลี่ยนมาใช้ลากรางเจียนซึ่งมีเทอมที่อธิบายอันตรกริยาระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก
$L(𝐫,\dot{𝐫})=\frac{1}{2}m{\dot{𝐫}}^2-e\varphi (r)+\frac{e}{c}𝐀\cdot \dot{𝐫}$
โดยที่ $𝐀=𝐀(r)$ คือศักย์เว็คเตอร์ (vector potential) ของสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก สังเกตว่าในกรณีนี้เราไม่สามารถนิยามลากรางเจียนได้จากผลต่างของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ (เนื่องจากสนามแม่เหล็กไม่ทำงาน)

ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
${𝐩}_r=m\dot{𝐫}+\frac{e}{c}𝐀$
ซึ่งจะไม่เท่ากับ kinetic momentum $m\dot{r}$

ฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
$H(𝐫,𝐩)=\frac{1}{2}m{\dot{𝐫}}^2+e\varphi (r)=\frac{1}{2m}{(𝐩-\frac{e}{c}𝐀)}^2+e\varphi (r)$
ซึ่งจะเห็นว่าในกรณีนี้ ฮามิลโทเนียนของระบบจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ซึ่งเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและพลังงานศักย์จากสนามไฟฟ้า แต่ไม่มีเทอม"พลังงาน"ในรูป $\frac{e}{c}𝐀\cdot \dot{𝐫}({𝐩}_r)$ ซึ่งจริงๆแล้วเทอมนี้เป็นเพียงตัวกำหนดอันตรกริยา(interaction) ระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก

เมื่อใดที่ H = T + V

ในกรณีที่เราทราบศักย์ V(q) ของระบบแล้วต้องการที่จะสร้างฮามิลโทเนียนของระบบนั้น การจะเขียน $H=T+V$ เมื่อ $T$ คือพลังงานจลน์ของระบบที่เป็นฟังก็ชันของโมเมนตัมสังยุคและ $V$ คือฟังก์ชันของพลังงานศักย์ จะต้องทำด้วยความระมัดระวัง เช่นในตัวอย่างข้างบนสำหรับอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

กรณีทั่วไป

เมื่ออัตรเร็วที่ปรากฏในลากรางเจียนของระบบใดๆอยู่ในรูปยกกำลังสองเท่านั้น เราจะสามารถเขียนลากรางเจียนจะอยู่ในรูปผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์
$L(q,p)=T({\dot{q}}^2)-V(q)$
และสามารถเขียนพจน์ของ"พลังงานจลน์"ได้เป็น
$T(\dot{q})=\frac{1}{2}\sum _{i,k}{a}_{ik}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_k$
โดยที่ $a_{ik}=a_{ik}(q)$ อาจจะเป็นฟังชันก์ของพิกัดได้ เราจะพบว่าโมเมนตัมสังยุคคือ
$p_i(q,p)=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}=\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_i}=\sum _k{a}_{ik}{\dot{q}}_k$
ในกรณีที่สามารถแก้สมการนี้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคได้
$q_i(q,p)=f_i(q,p,t)$
เมื่อ $f_i(q,p)$ คือฟังก์ชันที่เหมาะสม เราจะพบว่า
$\sum _i{\dot{q}}_i{p}_i=\sum _{i,k}{\dot{q}}_i{a}_{ik}{\dot{q}}_k=2T$
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้จะเป็น
$H(q,p)=\sum _i{\dot{q}}_i{p}_i-L=2T-(T-V)=T(p)+V(q)$
โดยที่พลังงานจลน์เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค นั่นคือเราจะสามารถเขียนฮามิลโทเนียนให้เป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วกำลังสอง(และเป็นฟังก์ชันของพิกัด)

สำหรับลากรางเจียนที่เขียนอยู่ในรูป
$L(q,\dot{q},t)=\frac{1}{2}\sum _{i,k}{a}_{ik}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_k+\sum _i{b}_i{\dot{q}}_i-V(q)$
โดยที่ $a_{ik}$ และ $b_i$ อาจจะเป็นฟังก์ชันของพิกัด จะเห็นว่า
$p_i=\sum _k{a}_{ik}{\dot{q}}_k+b_i$
ดังนั้น
$H(q,p,t)=\sum p_i{\dot{q}}_i-L=2T+\sum _i{b}_i{\dot{q}}_i-L=\frac{1}{2}\sum _{i,k}{a}_{ik}{\dot{q}}_i(q,p,t){\dot{q}}_k(q,p,t)+V(q)$
สังเกตว่าเทอมที่เป็นเชิงเส้น(linear)ของอัตราเร็วในลากรางเจียนจะไม่ปรากฏในฮามิลโทเนียน ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องระมัดระวังในการนิยามส่วนที่จะเรียกว่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ในลากรางเจียน ซึ่งอาจจะทำให้ได้ฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกต้องได้ถ้าใช้"วิธีลัด" $H=T+V$

ตัวอย่าง

ลากรางเจียนของอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลางจากตัวอย่างข้างบน
$L(r,\varphi )=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2)-V(r)$
เป็นฟังก์ชันของ ${\dot{r}}^2,{\dot{\varphi }}^2,r$ โดย $a_{rr}=m$ และ $a_{\varphi \varphi }=m{r}^2$ ในกรณีนี้จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนสามารถเขียนเป็นนผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้

ส่วนในกรณีของอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็กจะเห็นว่าลากรางเจียนมีเทอมที่เป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วยกกำลังหนึ่งอยู่ คือเทอม $\frac{e}{c}𝐀\cdot \dot{𝐫}$ ซึ่งทำให้ไม่สามารถเขียนฮามิลโทเนียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้ถ้าเรามองว่าเทอมดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของพลังงานศักย์

เมื่อใดที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์

สิ่งสำคัญในการสร้างฮามิลโทเนียนคือระบบสมการที่ใช้นิยามโมเมนตัมสังยุคจะต้องสามารถแก้ได้เพื่อจะเขียนอัตราเร็วเป็นฟังก์ชันของพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา

ตัวอย่าง

เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอดีกรีหนึ่งของอัตราเร็ว (Homogeneous function)
$L(q,\lambda \dot{q})=\lambda L(q,\dot{q})$
เมื่อใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์ (Euler) สำหรับฟังก์สม่ำเสมอ เราจะพบว่า
$p\dot{q}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}=L$
ดังนั้น
$H(q,p)=p\dot{q}-L(q,p)=L-L=0$

อนุภาค relativistic

ตัวอย่างของลากรางเจียนที่มีคุณสมบัตินี้คือลากรางเจียนของอนุภาค relativistic ซึ่งเราสามารถให้เวลา $t$ เป็นตัวแปรพลวัติ (dynamical variable) ได้ถ้าเราใช้พารามิเตอร์ $\tau$ ใดๆในการอธิบายการเคลื่อนที่โดยที่ กล่าวคือ
$x^{\mu }=x^{\mu }(\tau )=(t(\tau ),𝐱(\tau ))\mu =0,1,2,3$
สังเกตว่าเพื่อความสะดวก เราจะใช้หน่วยธรรมชาติ (natural units) คือหน่วยที่เลือกให้อัตราเร็วแสงและค่าคงที่ของพลังค์ (Planck constant) มีค่าเป็นหนึ่ง

ในกรณีที่เราเลือก $\tau$ ที่ทำให้
$\sum _{\mu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}_{\mu }\equiv \sum _{\mu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}_{\mu }}{d\tau }=1$
เราจะสามารถใช้ $\tau$ เป็นเวลาที่วัดบนกรอบอ้างอิงที่เป็นกรอบอ้างอิงเดียวกับนาฬิกาได้ (proper time) โดยเพื่อความสะดวกในการเขียนสมการในตัวอย่างนี้ เราจะใช้การเติมจุดข้างบนตัวแปร ${\dot{x}}^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }$

ลากรางเจียนที่สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคได้คือ
$L(\dot{x})=m\sqrt{\sum _{\mu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}_{\mu }}$
เราจะพบว่าลากรางเจียนนี้เป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอของอัตราเร็ว
$L(\lambda \dot{x})=m\sqrt{\sum _{\mu }\lambda {\dot{x}}^{\mu }\lambda {\dot{x}}_{\mu }}=\lambda m\sqrt{\sum _{\mu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}_{\mu }}=\lambda L(\dot{x})$
โมเมนตัมสังยุคของอัตราเร็วใน spacetime $({\dot{x}}^{\mu })$ คือ
$p_{\mu }(\tau )=\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^{\mu }}=\frac{m{\dot{x}}_{\mu }}{\sqrt{\sum _{\nu }{\dot{x}}^{\nu }{\dot{x}}_{\nu }}}$
เมื่อใช้วิธีจากตัวอย่างข้างบน (ทฤษฎีบทของออยเลอร์) จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์
$H(x,p)=\sum _{\mu }\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^{\mu }}{\dot{x}}^{\mu }-L=L-L=0$

สาเหตุที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์คือ โมเมนตัมสังยุคมีคุณสมบัติ
$p_{\mu }(\lambda \dot{x})=\frac{m\lambda {\dot{x}}_{\mu }}{\sqrt{\sum _{\nu }{\lambda }^2{\dot{x}}^{\nu }{\dot{x}}_{\nu }}}=p_{\mu }(\dot{x})$
ซึ่งแสดงว่าเส้นใดๆในปริภูมิ (space) ของ ${\dot{x}}^{\mu }$ ที่ลากระหว่างจุด ${\dot{x}}^{\mu }$ ใดๆกับจุด $\lambda {\dot{x}}^{\mu }$ จะถูกแม๊ป (map) ไปยังจุดๆเดียวในปริภูมิของโมเมนตัม ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าปริภูมิของอัตราเร็วจะถูกแม๊ปไปยังพื้นผิวหนึ่ง (surface) ในปริภูมิของโมเมนตัม ซึ่งพื้นผิวนี้จะถูกนิยามโดยโมเมนตัมสังยุค
$p^2\equiv \sum _{\mu }{p}_{\mu }{p}^{\mu }=\frac{m{\dot{x}}_{\mu }}{\sqrt{\sum _{\nu }{\dot{x}}^{\nu }{\dot{x}}_{\nu }}}\frac{m{\dot{x}}^{\mu }}{\sqrt{\sum _{\sigma }{\dot{x}}^{\sigma }{\dot{x}}_{\sigma }}}=m^2$
ทำให้ไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ นอกจากนั้น สังเกตว่า
$p^2=E^2-{𝐩}^2=m^2$
ก็คือความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัม มวล และพลังงานของอนุภาคที่ได้จากทฤษฎัสัมพัธภาพนั่นเอง ดังนั้นพื้นผิวดังกล่าวจึงเรียกว่า mass-shell constraint surface

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการที่สมการความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมสังยุคและอัตตราเร็ว (นิยามของโมเมนตัมสังยุค)ไม่สามารถถูกแก้เพื่อเขียนอัตราเร็วทุกตัวในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ โมเมนตัมของระบบจะไม่เป็นปริมาณอิสระต่อกัน ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน

วิธีตรวจสอบว่าใช้ฮามิลโทเนียนได้หรือไม่

ในกรณีที่ใช้ตัวแปรหลายตัวในการอธิบายระบบ เมื่อต้องการทราบว่าโมเมนตัมสังยุคเป็นตัวแปรอิสระต่อกันหรือไม่ เราจะพิจารณาดีเทอร์มิแนนท์ (determinant) ของแมตริกซ์ที่สร้างจากอนุพันธ์อันดับสองของนิยามของโมเมนตัม ซึ่งทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกแมตริกซ์นี้ว่าเฮซเซียน (Hessian matrix) โดยแมตริกซ์นี้มีสมาชิกตัวแถวที่ $i$ และหลักที่ $j$ คือ
$\frac{\partial p_i}{\partial {\dot{q}}_j}=\frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\dot{q}}_j\partial {\dot{q}}_i}i,j=1,2,3,...N$
โดยเราจะสามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนท์ของแมตริกซ์นี้ไม่เป็นศูนย์ นั่นคือเราจะได้
${\dot{q}}_i={\dot{q}}_i(q,p,t)i=1,2,...,N$
ก็ต่อเมื่อ
$\text{det}\left(\frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\dot{q}}_j\partial {\dot{q}}_i}\right)\ne 0$

ส่วนในกรณีที่
$\text{det}\left(\frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\dot{q}}_j\partial {\dot{q}}_i}\right)=0$
เราจะไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน ซึ่งในกรณีนี้เราจะต้องใช้วิธีสร้างฮามิลโทเนียนสำหรับระบบที่มี constraint ซึ่งผู้อ่านสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากแหล่งข้อมูลอ้างอิงด้านล่าง

ทฤษฎีแฮมิลตัน-จาโคบี

การแปลงระบบพิกัดแบบคาโนนิคัลเป็นวิธีอันหนึ่งที่ใช้ในการแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ โดยหากแฮมิลโทเนียนของระบบเป็นปริมาณอนุรักษ์ ก็สามารถหาคำตอบของปัญหาได้ด้วยการแปลงระบบพิกัดนั้นไปยังระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่ที่มีระบบพิกัดเป็นไซคลิก การแก้ปัญหาด้วยวิธีการแปลงแบบคาโนนิคัลที่เหมาะสม จนทำให้ระบบพิกัดและโมเมนตัม $(q,p)$ ที่เวลาใดๆ เป็นปริมาณคงตัว ซึ่งปริมาณที่คงตัวนี้อาจจะเป็นค่าของพิกัดและโมเมนตัมที่เวลาเริ่มต้น $(q_0,p_0)$ การแปลงดังกล่าวจะก่อให้เกิดชุดของสมการของการแปลงที่มีรูปแบบเป็น

$q=q(q_0,p_0,t)$ -----1

$p=p(q_0,p_0,t)$ -----2

สมการที่ 1 และ 2 แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและโมเมนตัมที่เวลา t ใดๆ กับพิกัดและโมเมนตัมขณะเริ่มต้นซึ่งคงตัว แสดงให้เห็นว่าทั้งพิกัดและโมเมนตัมเปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้น สมการ 1 และ 2 จะเป็นคำตอบของปัญหา หากแฮมิลโทเนียนในระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่มีค่าเป้นศูนย์ จะทำให้ตัวแปรใหม่มีค่าคงตัว นั่นคือ

$\begin{array}{ccc}\dot{{𝐐}_{𝐢}}& =\frac{\partial K}{\partial {𝐏}_{𝐢}}& =0\\ \dot{{𝐏}_{𝐢}}& =-\frac{\partial K}{\partial {𝐐}_{𝐢}}& =0\end{array}$

เมื่อ $K$ เป็นแฮมิลโทเนียนใหม่ และ$(P,Q)$ เป็นกลุ่มของตัวแปรใหม่ที่ได้จากการแปลง และเขียนความสัมพันธ์ระหว่างแฮมิลโทเนียนเก่า$(H)$ และแฮมินโทเนียนใหม่$(K)$ ได้ดังสมการ

$K=H+\frac{\partial F}{\partial t}$

โดย $F$ เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด ดังนั้น ถ้า $K=0$ ฟังก์ชัน $F$จะเป็นไปตามสมการ

$H(q,p,t)+\frac{\partial F}{\partial t}=0$

ซึ่งมีแนวคิดทฤษฎีมาจากการแปลงคาโนนิคัลที่ใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิดชนิดที่ 2 คือเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไปเดิมและโมเมนตัมทั่วไปใหม่ จะเขียนความสัมพันธ์ได้เป็น

$H+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

โดยที่ $S=S(q_1,q_2,\dots ,q_N,t)$ เป็นฟังก์ชันหลักของแฮมิลตัน (Hamilton's principal function)

สมการแฮมิลตัน – จาโคบีสามารถแก้ปัญหาการเคลื่อนที่การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง การเคลื่อนที่ภายใต้สนามโน้มถ่วงได้

วงเล็บปัวส์ซอง

เนื่องจากสมการการเคลื่อนที่ของสมการของแฮลมิลตันสามารถให้หาการขึ้นกับเวลาของ $(q_i,p_i)$ ในปริภูมิเฟส จากความสัมพันธ์เหล่านี้ทำให้สามารถหาสมการการเคลื่อนที่ของฟังก์ชัน แม่แบบ:Math ใดๆ ได้โดยใช้วงเล็บปัวส์ซอง (Poisson bracket) เสนอโดย Siméon Denis Poisson (1781–1840)

สำหรับฟังก์ชัน $f(p_i,q_i,t)$ และ $g(p_i,q_i,t)$ ใดที่ขึ้นกับตัวแปรคาโนนิคัล (q, p) เขียนนิยามของวงเล็บปัวส์ซองได้เป็น

$\{f,g\}=\sum _{i=1}^N(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}).$

สมบัติของสมการวงเล็บปัวส์ซองที่เป็นพื้นฐานและถูกใช้บ่อย คือ

$\begin{array}{cc}\{q_i,q_j\}& =0\\ \{p_i,p_j\}& =0\\ \{q_i,p_j\}& ={\delta }_{ij}\end{array}$

โดยที่ δแม่แบบ:Sub คือ Kronecker delta.

สมบัติของวงเล็บปัวส์ซอง

1) $\{f,f\}=0$

2) $\{f,g\}=-\{g,f\}$

3) $\{f+g,h\}=\{f,h\}+\{g,h\}$

4) $\{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}$

5) $\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$

พี.เอ.เอ็ม.ดิเรก (P.A.M.Direc) พบว่าวงเล็บปัวส์ซองในแบบกลศาสตร์คลาสสิคมีความเชื่อมโยงกันกับวงเล็บการสลับที่ของกลศาสตร์ควอนตัม โดย พี.เอ.เอ็ม.ดิเรกสามารถที่จะกำหนดค่าวงเล็บปัวส์ซองในกลศาสตร์คลาสสิคได้จากการสลับที่ของตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแสดงความหมายว่ากลศาสตร์คลาสสิคอยู่ในขอบเขตที่ค่าคงที่แพลงค์เป็นศูนย์

สมบัติของค่าคงที่ของการเคลื่อนที่

วงเล็บปัวส์ซองไม่สามารถหาคำตอบของที่สมบูรณ์ของการเคลื่อนที่ได้ แต่มีประโยชน์มากในการใช้อธิบายและหาสมบัติของการเป็น Constant of motion ของการเคลื่อนที่ โดยค่าคงที่ดังกล่าวนี้จะเปลี่ยนไปกับแฮมิลโทเนียนภายใต้วงเล็บปัวส์ซอง สมมติว่าฟังก์ชัน f(p, q) เป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ หมายความว่า ถ้า p(t), q(t) เป็นวิธีการแก้สมการแฮมิลโทเนียนของการเคลื่อนที่ ดังนั้น

$0=\frac{\text{d}f}{\text{d}t}$

ตลอดการเคลื่อนที่ จากนั้น

$0=\frac{\text{d}}{\text{d}t}f(p,q)=\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t}$