ควอเทอร์เนียน

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง ในคณิตศาสตร์ ควอเทอร์เนียน (แม่แบบ:Langx) เป็นระบบจำนวนที่เพิ่มเติมออกมาจากจำนวนเชิงซ้อน เป็นจำนวนที่เขียนได้ในรูป $w + i x + j y + k z$ โดยที่ $w, x, y$ และ $z$ เป็นจำนวนจริง และ $i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1, i j = k = - j i$ ซึ่งแสดงว่าควอเทอร์เนียนไม่มีสมบัติการสลับที่

ควอเทอร์เนียนมีบทบาททั้งในคณิตศาสตร์ทฤษฎีและคณิตศาสตร์ประยุกต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการคำนวณที่มีการหมุนในสามมิติ เช่น คอมพิวเตอร์กราฟฟิกสามมิติ ในการใช้ประโยชน์เชิงปฏิบัติ ควอเทอร์เนียนสามารถใช้ควบคู่กับวิธีอื่นๆ เช่น มุมออยเลอร์ และเมทริกซ์การหมุน หรือใช้แทนไปเลยโดยขึ้นอยู่กับการใช้ประโยชน์

พีชคณิตควอเทอร์เนียนมักใช้ตัวอักษร H (จากชื่อ Hamilton) หรือ ℍ (Unicode U+210D)

ความเป็นมา

ควอเทอร์เนียน ถูกสร้างขึ้นโดย วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน (Sir William Rowan Hamilton) ซึ่งมีชีวิตอยู่ในปี ค.ศ. 1805-1865 นักคณิตศาสตร์ชาวไอร์แลนด์ มีผลงานในด้านพีชคณิต ดาราศาสตร์ และฟิสิกส์

วันที่ 16 ตุลาคม ปี ค.ศ. 1843 แฮมิลตันได้สร้างจำนวนชนิดใหม่ขึ้นเรียกว่า ควอเทอร์เนียน ระหว่างทางที่เขากำลังเดินทางไปยัง Royal Irish Academy แฮมิลตันตื่นเต้นมากจนถึงขั้นสลักสมการต่อไปนี้ของควอเทอร์เนียนเอาไว้

$𝐢^{2} = 𝐣^{2} = 𝐤^{2} = 𝐢 𝐣 𝐤 = - 1$

นิยาม

ควอเทอร์เนียน H คือเซตที่เท่ากับปริภูมิเวกเตอร์ 4 มิติของจำนวนจริง (R⁴) การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในควอเทอร์เนียนมี 3 แบบคือ การบวก, การคูณด้วยปริมาณสเกลาร์ และการคูณด้วยควอเทอร์เนียน ผลรวมระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจะมีค่าเท่ากับการรวมของจำนวนสองจำนวนในปริภูมิ R⁴ และเช่นเดียวกัน การคูณควอเทอร์เนียนด้วยจำนวนจริงจะใช้นิยามเดียวกันกับการคูณเวกเตอร์ใน R⁴ ด้วยจำนวนจริง สำหรับการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนนั้น ก่อนอื่นจะต้องนิยามฐานหลัก (basis) ของ R⁴ ก่อน โดยปกติพื้นฐาน ฐานหลักที่นิยมใช้ก็คือ 1, i, j และ k ดังนั้นสมาชิกใดๆก็ตามใน H ย่อมสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของฐานหลักเหล่านั้นได้เสมอโดยไม่ซ้ำแบบกัน ยกตัวอย่างเช่น ควอเทอร์เนียน a1 + bi + cj + dk เป็นการเขียนในรูปฐานหลัก โดยที่ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง และมี 1, i, j และ k เป็นฐานหลัก เป็นต้น ควอเทอร์เนียนมีเอกลักษณ์การคูณ คือ 1 ดังนั้นการคูณควอเทอร์เนียนด้วย 1 จึงไม่เปลี่ยนแปลงควอเทอร์เนียน ด้วยเหตุนี้จำนวนควอเทอร์เนียนใดๆ มักเขียนในรูป a + bi + cj + dk ดังนั้นนิยามการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจึงประกอบไปด้วยการคูณกันระหว่างสมาชิก และการใช้กฎการแจกแจง

การคูณระหว่างฐานหลัก

ฐานหลักของควอเทอร์เนียนมีสมบัติ คือ $i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1$ โดย i, j และ k เป็นจำนวนจินตภาพ เราสามารถหาผลคูณระหว่างฐานหลักแต่ละคู่ได้ ยกตัวอย่างเช่น หากต้องการแสดงว่า $k = i j$ สามารถทำได้โดยเริ่มจากพิจารณาสมการ

$- 1 = i j k$

จากนั้นคูณทั้งสองด้านของสมการด้วย k จะได้

$\begin{matrix} - k & = i j k k \\ - k & = i j (- 1) \\ k & = i j \end{matrix}$

สำหรับผลคูณระหว่างฐานหลักคู่อื่นๆสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการเดียวกัน ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ ดังนี้

\begin{matrix} i j & = k, & j i & = - k, \\ j k & = i, & k j & = - i, \\ k i & = j, & i k & = - j \end{matrix}

ผลคูณฮามิลตัน (Hamilton product)

สำหรับจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวน a₁ + b₁i + c₁j + d₁k และ a₂ + b₂i + c₂j + d₂k ผลคูณฮามิลตัน (a₁ + b₁i + c₁j + d₁k)(a₂ + b₂i + c₂j + d₂k) สามารถหาได้โดยการใช้สมบัติการแจกแจง จากนั้นหาผลรวมระหว่างผลคูณของฐานหลักแต่ละคู่ ดังต่อไปนี้

a_{1} a_{2} + a_{1} b_{2} i + a_{1} c_{2} j + a_{1} d_{2} k + b_{1} a_{2} i + b_{1} b_{2} i^{2} + b_{1} c_{2} i j + b_{1} d_{2} i k + c_{1} a_{2} j + c_{1} b_{2} j i + c_{1} c_{2} j^{2} + c_{1} d_{2} j k + d_{1} a_{2} k + d_{1} b_{2} k i + d_{1} c_{2} k j + d_{1} d_{2} k^{2}

เมื่อจัดหมู่ ผลลัพธ์ที่ได้คือ

(a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} - c_{1} c_{2} - d_{1} d_{2}) + (a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} + c_{1} d_{2} - d_{1} c_{2}) i + (a_{1} c_{2} - b_{1} d_{2} + c_{1} a_{2} + d_{1} b_{2}) j + (a_{1} d_{2} + b_{1} c_{2} - c_{1} b_{2} + d_{1} a_{2}) k

แม่แบบ:โครงคณิตศาสตร์

ควอเทอร์เนียน

เนื้อหา

ความเป็นมา

นิยาม

การคูณระหว่างฐานหลัก

ผลคูณฮามิลตัน (Hamilton product)

รายการนำทางไซต์

ควอเทอร์เนียน

ความเป็นมา

นิยาม

การคูณระหว่างฐานหลัก

ผลคูณฮามิลตัน (Hamilton product)

รายการนำทางไซต์

ค้นหา