สังยุค (จำนวนเชิงซ้อน)

แผนภาพแสดงตำแหน่งของ z และ แม่แบบ:ขีดบน บนระนาบจำนวนเชิงซ้อน

ในทางคณิตศาสตร์ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate) เปรียบได้กับการเปลี่ยนเครื่องหมายบนส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนนั้นให้เป็นตรงข้าม เช่น กำหนดให้จำนวนเชิงซ้อน z = a + ib ดังนั้นสังยุคของ z คือ
แม่แบบ:ขีดบน = a − ib (เมื่อ a กับ b แทนจำนวนจริง)

การบ่งบอกว่าจำนวนเชิงซ้อนใดเป็นสังยุค ให้เขียนขีดเส้นตรงไว้เหนือจำนวนเชิงซ้อน หรือใส่เครื่องหมายดอกจัน (*) ไว้ที่มุมขวาบน เช่น z* แต่ในที่นี้จะใช้ขีดเพื่อไม่ให้สับสนกับสัญลักษณ์ของการสลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์ ดังตัวอย่าง

• แม่แบบ:ขีดบน = 3 + 2i
• แม่แบบ:ขีดบน = 7 (สังยุคของจำนวนจริงได้ค่าเดิมเสมอ)
• แม่แบบ:ขีดบน = −5i (สังยุคของจำนวนจินตภาพได้เครื่องหมายตรงข้าม)

แนวความคิดอีกอย่างหนึ่งคือการให้จำนวนเชิงซ้อนเป็นพิกัดอยู่บนระนาบในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดยให้แกน x เป็นส่วนจริงและแกน y เป็นสัมประสิทธิ์ของ i (ส่วนจินตภาพ) ในแผนภาพทางขวามือ พิกัดของจำนวนเชิงซ้อนสังยุคเปรียบเหมือนภาพสะท้อนที่อยู่บนแกน x

คุณสมบัติ

สังยุคมีคุณสมบัติต่าง ๆ บนทุกจำนวนเชิงซ้อน z และ w เว้นแต่จะกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมไว้ ดังนี้

$\overline{(z+w)}=\bar{z}+\bar{w}$

$\overline{(z-w)}=\bar{z}-\bar{w}$

$\overline{(zw)}=\bar{z}\bar{w}$

$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}$ เมื่อ w ไม่เท่ากับศูนย์

$\bar{z}=z$ ก็ต่อเมื่อ z เป็นจำนวนจริง

$\left|\bar{z}\right|=\left|z\right|$

${\left|z\right|}^2=z\bar{z}$

$z^{-1}=\frac{\bar{z}}{{\left|z\right|}^2}$ เมื่อ z ไม่เท่ากับศูนย์ สูตรนี้เป็นวิธีการหนึ่งสำหรับคำนวณหาอินเวิร์สของจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่บนพิกัดคาร์ทีเซียน

$\exp (\bar{z})=\overline{\exp (z)}$

$\log (\bar{z})=\overline{\log (z)}$ เมื่อ z ไม่เท่ากับศูนย์

สำหรับฟังก์ชัน $\varphi$ ที่เป็นฟังก์ชันฮอโลมอร์ฟิก (holomorphic function) และ $\varphi (z)$ มีการนิยามไว้แล้ว จะได้

$\varphi (\bar{z})=\overline{\varphi (z)}$