รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

โคไซน์และไซน์รอบวงกลมหนึ่งหน่วย

แม่แบบ:ตรีโกณมิติ ในวิชาคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เป็นสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ และเป็นจริงสำหรับทุกค่าของตัวแปรมุม เมื่อแต่ละข้างของสมการสามารถหาค่าได้ ในทางเรขาคณิต เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือ เอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของมุมหนึ่งมุมขึ้นไป แตกต่างจากเอกลักษณ์รูปสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับมุมเช่นกัน แต่จะรวมถึงความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมด้วย

เอกลักษณ์เหล่านี้เป็นประโยชน์ เมื่อใดที่มีปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ การประยุกต์ที่สำคัญ คือ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นวิธีการที่ต้องใช้การแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นลำดับแรกก่อน แล้วจึงหาผลลัพธ์ของปริพันธ์โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

สัญกรณ์

มุม

บทความนี้จะใช้อักษรกรีก เช่น แอลฟา (แม่แบบ:Mvar), บีตา (แม่แบบ:Mvar), แกมมา (แม่แบบ:Mvar), และทีตา (แม่แบบ:Mvar) เพื่อใช้แทนมุม และมีหน่วยในการวัดขนาดของมุมที่แตกต่างกันที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ได้แก่ องศา เรเดียน และแกรเดียน (แกร็ด หรือก็อน)

1 รอบเต็มของวงกลม  = 360 องศา = 2แม่แบบ:Pi เรเดียน = 400 ก็อน

ตารางต่อไปนี้แสดงการแปลงหน่วยและค่าของมุมทั่วไป

การแปลงมุมทั่วไป

รอบ	องศา	เรเดียน	แกรเดียน	ไซน์	โคไซน์	แทนเจนต์
$0$	$0^{\circ }$	$0$	$0^g$	$0$	$1$	$0$
$\frac{1}{12}$	$30^{\circ }$	$\frac{\pi }{6}$	$33{\frac{1}{3}}^g$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{1}{8}$	$45^{\circ }$	$\frac{\pi }{4}$	$50^g$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$\frac{1}{6}$	$60^{\circ }$	$\frac{\pi }{3}$	$66{\frac{2}{3}}^g$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$\frac{1}{4}$	$90^{\circ }$	$\frac{\pi }{2}$	$100^g$	$1$	$0$	$\mathrm{\infty }$
$\frac{1}{3}$	$120^{\circ }$	$\frac{2\pi }{3}$	$133{\frac{1}{3}}^g$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
$\frac{3}{8}$	$135^{\circ }$	$\frac{3\pi }{4}$	$150^g$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$
$\frac{5}{12}$	$150^{\circ }$	$\frac{5\pi }{6}$	$166{\frac{2}{3}}^g$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{1}{2}$	$180^{\circ }$	$\pi$	$200^g$	$0$	$-1$	$0$
$\frac{7}{12}$	$210^{\circ }$	$\frac{7\pi }{6}$	$233{\frac{1}{3}}^g$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{5}{8}$	$225^{\circ }$	$\frac{5\pi }{4}$	$250^g$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$\frac{2}{3}$	$240^{\circ }$	$\frac{4\pi }{3}$	$266{\frac{2}{3}}^g$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$\frac{3}{4}$	$270^{\circ }$	$\frac{3\pi }{2}$	$300^g$	$-1$	$0$	$\mathrm{\infty }$
$\frac{5}{6}$	$300^{\circ }$	$\frac{5\pi }{3}$	$333{\frac{1}{3}}^g$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
$\frac{7}{8}$	$315^{\circ }$	$\frac{7\pi }{4}$	$350^g$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$
$\frac{11}{12}$	$330^{\circ }$	$\frac{11\pi }{6}$	$366{\frac{2}{3}}^g$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$1$	$360^{\circ }$	$2\pi$	$400^g$	$0$	$1$	$0$

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่ ไซน์และโคไซน์ของมุม บางครั้งสามารถเขียนย่อได้เป็น แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math ตามลำดับ เมื่อ แม่แบบ:Mvar เป็นขนาดของมุม แต่เราสามารถเขียนละวงเล็บที่อยู่หน้าและหลังขนาดของมุมได้เป็น แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math

ฟังก์ชันไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ฟังก์ชันโคไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านประชิดมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ฟังก์ชันแทนเจนต์ (แม่แบบ:Math) ของมุม คือ อัตราส่วนของไซน์และโคไซน์

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

และสุดท้าย ฟังก์ชันส่วนกลับ ได้แก่ เซแคนต์ (แม่แบบ:Math), โคเซแคนต์ (แม่แบบ:Math), และโคแทนเจนต์ (แม่แบบ:Math) ซึ่งเป็นส่วนกลับการคูณของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ ตามลำดับ

$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta },\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta },\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$

นิยามเหล่านี้บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์อัตราส่วน

ฟังก์ชันผกผัน

แม่แบบ:บทความหลัก ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ยกตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันผกผันของไซน์ เรียกว่า อินเวอร์สไซน์ (แม่แบบ:Math) หรือ อาร์กไซน์ (แม่แบบ:Math หรือ แม่แบบ:Math) โดยที่

$\sin (\arcsin x)=x\text{for}|x|\le 1$

และ

$\arcsin (\sin x)=x\text{for}|x|\le \frac{\pi }{2}$

บทความนี้จะใช้สัญกรณ์ข้างล่างนี้สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ฟังก์ชัน	sin	cos	tan	sec	csc	cot
ฟังก์ชันผกผัน	arcsin	arccos	arctan	arcsec	arccsc	arccot

รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

เมื่อกำหนด $A$ เป็นขนาดของมุมใด ๆ จะได้

$\sin A\cdot \csc A=1$

$\cos A\cdot \sec A=1$

$\tan A\cdot \cot A=1$

$\cos A\cdot \tan A=\sin A$

$\sin A\cdot \cot A=\cos A$

${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$

${\sec }^{2}A-{\tan }^{2}A=1$

${\csc }^{2}A-{\cot }^{2}A=1$

เมื่อกำหนด $x$ และ $y$ เป็นขนาดของมุมใด ๆ จะได้

$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$

$\tan (x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}$

$\sin x+\sin y=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\sin x-\sin y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x+\cos y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x-\cos y=-2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x+\tan y=\frac{\sin (x+y)}{\cos x\cos y}$

$\tan x-\tan y=\frac{\sin (x-y)}{\cos x\cos y}$

$\cot x+\cot y=\frac{\sin (x+y)}{\sin x\sin y}$

$\cot x-\cot y=\frac{-\sin (x-y)}{\sin x\sin y}$

$2\sin x\cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)$

$2\cos x\sin y=\sin (x+y)-\sin (x-y)$

$2\cos x\cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y)$

$2\sin x\sin y=\cos (x-y)-\cos (x+y)$

$\sin 2x=2\sin x\cos x=\frac{2\tan x}{1+{\tan }^{2}x}$

$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=\frac{1-{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}$

$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$

$\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$

$\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$

$\tan 3x=\frac{3\tan x-{\tan }^{3}x}{1-3{\tan }^{2}x}$