ทรงกลม

ทรงกลม (อังกฤษ : sphere จากกรีกโบราณ แม่แบบ:Wikt-lang, แม่แบบ:Grc-transl) เป็นวัตถุทางเรขาคณิตซึ่งอาจมองว่าเป็นวงกลมในสามมิติ นิยามที่รัดกุมของทรงกลม คือเซตของจุดในสามมิติที่อยู่ห่างจากจุดกำหนดจุดหนึ่งเป็นระยะทาง แม่แบบ:Math เสมอ จุดกำหนดจุดนั้นเรียกว่าจุดศูนย์กลางทรงกลม (centre) และค่า แม่แบบ:Math เรียกว่ารัศมีของวงกลมนั้น ทรงกลมปรากฎขึ้นเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกในงานคณิตศาสตร์ยุคกรีกโบราณ

ทรงกลมเป็นวัตถุพื้นฐานในคณิตศาสตร์หลากหลายสาขา ทรงกลมและรูปทรงที่เกือบเป็นทรงกลมปรากฎทั้งในธรรมชาติและในกิจกรรมของมนุษย์ อาทิ ฟองสบู่มีในภาวะสมดุลจะเป็นทรงกลม ในทางภูมิศาสตร์นิยมถือว่าโลกมีสัณฐานเป็นทรงกลม และทรงกลมท้องฟ้าเป็นแนวคิดสำคัญในดาราศาสตร์

สมการของทรงกลม

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ แม่แบบ:Math และรัศมี แม่แบบ:Mvar คือทางเดินของจุด แม่แบบ:Math ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=r^2$

เนื่องจากสูตรข้างต้นเป็นพหุนามกำลังสอง ทรงกลมจึงเป็นพื้นผิวกำลังสอง ซึ่งเป็นพื้นผิวเชิงพีชคณิตประเภทหนึ่ง

ให้ แม่แบบ:Mvar เป็นจำนวนจริงที่ซึ่ง แม่แบบ:Math และกำหนด

$x_0=\frac{-b}{a},y_0=\frac{-c}{a},z_0=\frac{-d}{a},\rho =\frac{b^2+c^2+d^2-ae}{a^2}.$

แล้วจะได้ว่าสมการ

$f(x,y,z)=a(x^2+y^2+z^2)+2(bx+cy+dz)+e=0$

ไม่เป็นคำตอบเป็นจำนวนจริงถ้า $\rho <0$ และเราเรียกสมการนี้ว่าเป็นสมการของทรงกลมจินตภาพ (imaginary sphere) ถ้า $\rho =0$ แล้วผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ $f(x,y,z)=0$ คือจุด $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ และสมการในรูปแบบนี้เรียกว่าเป็นสมการของทรงกลมจุดเดียว (point sphere) และในกรณีที่ $\rho >0$ สมการ$f(x,y,z)=0$ เป็นสมการของทรงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ $P_0$ และมีรัศมีเท่ากับ $\sqrt{\rho }$

ถ้า แม่แบบ:Mvar ในสมการข้างต้นเป็นศูนย์ แล้ว $f(x,y,z)=0$ เป็นสมการของระนาบ ฉะนั้นเราอาจมองว่าระนาบคือทรงกลมที่มีรัศมีเป็นอนันต์และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่อนันต์

สมบัติของทรงกลม

ปริมาตรแม่แบบ:Anchor

Sphere and circumscribed cylinder

ในสามมิติ ปริมาตรภายในทรงกลมมีค่าเท่ากับ

$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{\pi }{6}{d}^3\approx 0.5236\cdot d^3$

เมื่อ แม่แบบ:Mvar คือรัศมี และ แม่แบบ:Mvar คือความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของทรงกลม อาร์คิมิดีสเป็นคนแรกที่ได้สูตรนี้โดยแสดงให้เห็นว่าปริมาตรของทรงกลมมีค่าเป็นสองเท่าของปริมาตรของพื้นที่เปล่าในทรงกระบอกที่ทรงกลมนั้นบรรจุอยู่ข้างใน เราเรียกทรงกระบอกนั้นว่า ทรงกระบอกล้อมรอบของทรงกลม (circumscribed cylinder) ซึ่งมีความสูงและความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของฐานเท่ากับทรงกลมนั้น

เราสามารถพิสูจน์ข้อความข้างต้นได้ โดยสร้างกรวยกลับหัวภายในครึ่งทรงกลม แล้วสังเกตว่าพื้นที่ภาคตัดขวางของกรวยบวกกับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกลมเท่ากับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกระบอก แล้วใช้หลักการของคาวาเลียรี (Cavalieri's principle) นอกจากนี้อาจใช้แคลคุลัสเชิงปริพันธ์พิสูจน์สูตรนี้ได้ เช่นด้วยการอินทิเกรตแบบจานเพื่อหาปริมาตรปิดล้อม

พื้นที่ผิวแม่แบบ:Anchor

พื้นที่ผิวของทรงกลมรัศมี แม่แบบ:Mvar คือ

$A=4\pi r^2$

อาร์คิมิดีสเป็นบุคคลแรกที่พิสูจน์สูตรนี้ โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการฉายภาพทรงกลมไปยังทรงกระบอกล้อมรอบนั้นรักษาพื้นที่

ทรงกลมเป็นรูปทรงที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีปริมาตรเท่ากัน และมีปริมาตรมากที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน ดังนั้นทรงกลมจึงปรากฎในธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ฟองสบู่หรือฟองอากาศ และหยดน้ำขนาดเล็กจะมีรูปทรงเกือบเป็นทรงกลมเพราะแรงตึงผิวพยายามบังคับให้พื้นที่ผิวมีค่าน้อยที่สุด

สมบัติทางเรขาคณิตอื่น ๆ

ทรงกลมสร้างได้จากการหมุนวงกลมครึ่งรอบผ่านเส้นผ่านศูนย์ผ่านของมัน มีทรงกลมเพียงหนึ่งเดียวที่ผ่านจุดที่กำหนดให้สี่จุดที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน

หมายเหตุและอ้างอิง

ดูเพิ่ม

• แม่แบบ:Citation.
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Citation.
• แม่แบบ:Citation.
• แม่แบบ:Citation.
• แม่แบบ:Cite web