ค่าเฉลี่ยกำลังสอง

แม่แบบ:ขาดอ้างอิง ค่าเฉลี่ยกำลังสอง (แม่แบบ:Langx; เขียนย่อ RMS หรือ rms) เป็นศัพท์ทางคณิตศาสตร์และสถิติ (อาจเรียกอีกอย่างว่า quadratic mean) เป็นการวัดทางสถิติของปริมาณที่มีการเปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา การคำนวณนั้น สามารถคำนวณหาอนุกรมของค่าใด ๆ หรือฟังก์ชันใด ๆ ที่แปรผันต่อเนื่อง ทั้งนี้คำว่า root mean square ก็คือ "รากที่สองของค่าเฉลี่ย" ของค่านั้น ๆ ยกกำลังสอง ด้วยเหตุนี้เราจึงถือว่าเป็นค่าเฉลี่ยยกกำลัง โดยมีตัวชี้กำลังคือ $t=2$ นั่นเอง

การคำนวณค่า rms

ค่า rms ของจำนวน $N$ ตัว $\{x_1,x_2,\dots ,x_N\}$ คือ:

$x_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i^2}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_N^2}{N}}$

และสูตรที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง $f(t)$ ซึ่งกำหนดค่าในช่วง $T_1\le t\le T_2$ (สำหรับฟังก์ชันเป็นคาบ (periodic function) ช่วงดังกล่าวควรจะเป็นจำนวนเต็ม ของวงรอบที่สมบูรณ์) นั่นก็คือ

$f_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}=\sqrt{\frac{1}{T_2-T_1}\underset{T_1}{\overset{T_2}{\int }}{[f(t)]}^{2}dt}$

การใช้งาน

ค่า RMS ของฟังก์ชันมักจะใช้ในการคำนวณทางฟิสิกส์ หรืออิเล็กทรอนิกส์

ในทางไฟฟ้า

การคำนวณกำลัง $P$ ที่สูญเสียไปในตัวนำไฟฟ้าที่มีค่าความต้านทาน $R$ เมื่อกระแส $I$ ที่ไหลผ่านตัวนำไฟฟ้านั้นมีค่าคงที่นั้นสามารถทำได้ง่าย ตามการคำนวณดังนี้

$P=I^{2}R$

แต่ถ้ากระแสไฟฟ้าเป็นฟังก์ชันแปรผัน $I(t)$ จะวัดกำลังไฟฟ้าจากค่าเฉลี่ย และนี้คือที่มาของค่า rms นั่นเอง

อาจแสดงให้เห็นได้ว่า ค่า rms ของ $I(t)$ นั้น สามารถใช้แทนค่ากระแสคงที่ $I$ ในสมการข้างบนนี้ เพื่อหาการสูญเสียกำลังเฉลี่ย (Paverage)

$P_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}$	$=\mathrm{E}(I^{2}R)$ (where $\mathrm{E}(\cdot )$ หมายถึง ค่าเฉลี่ยเลขคณิต)
	$=R\mathrm{E}(I^2)$ (R เป็นค่าคงตัว เราจึงสามารถหาได้นอกเหนือค่าเฉลี่ย)
	$=I_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}^{2}R$ (ตามนิยามของ RMS)

เรายังอาจได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้ ด้วยวิธีการเดียวกัน

$P_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}=\frac{V_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}^2}{R}$

เมื่อใส่รากที่สองของทั้งสองสมการ และคูณด้วยกัน เราก็จะได้สมการดังต่อไปนี้

$P_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}=V_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}{I}_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}$

อย่างไรก็ตาม จะต้องเน้นย้ำว่า ค่านี้จะอิงกับสมมุติฐานที่ว่าแรงดันไฟฟ้า และกระแสไฟฟ้า นั้นจะผกผันตรงข้ามกัน (นั่นคือโหลดมีค่าความต้านทาน) แต่ไม่จริง ในกรณีทั่วไป

สำหรับในกรณีทั่วไป ไฟฟ้ากระแสสลับ (AC) เมื่อ $I(t)$ เป็นกระแสคลื่นรูปไซน์ ซึ่งเป็นค่าจริงโดยประมาณ สำหรับไฟเมน ค่า rms นั้นคำนวณได้ง่าย ๆ จากสมการ (2) ข้างบน และได้ผลลัพธ์ดังนี้

$I_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}=\frac{I_{\mathrm{p}}}{\sqrt{2}}$

เมื่อ $I_{\mathrm{p}}$ คือ แอมปลิจูดสูงสุด (peak amplitude) ค่า rms นั้นสามารถคำนวณได้โดยใช้สมการ (2) สำหรับรูปคลื่นใด ๆ เช่น สัญญาณเสียง หรือสัญญาณวิทยุ ทำให้เราสามารถคำนวณหากำลังเฉลี่ยที่ป้อนแก่โหลดใด ๆ ได้ ด้วยเหตุนี้ แรงดันไฟฟ้าที่ระบุไว้ที่ปลั๊กไฟบ้าน (เช่น 110 V หรือ 220 V) ก็ถือว่าเป็นค่า rms ในแทบทุกกรณี ไม่ใช่ค่าสูงสุดเลย

โปรดสังเกตว่าแอมปลิจูดสูงสุดนี้ มีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของแอมปลิจูดพีคต่อพีค (peak-to-peak amplitude) เมื่อเรารู้ค่าแอมปลิจูดพีคต่อพีค ก็สามารถใช้สูตรเดียวกัน โดยการใช้ค่าครึ่งหนึ่งของค่า พีคต่อพีค (p-p)

ในด้านงานเครื่องเสียง มักจะเรียกกำลังเฉลี่ยว่า "กำลัง rms" (RMS power) ซึ่งผิดความหมาย ที่เข้าใจผิดนั้น คงเป็นเพราะติดมาจากค่าแรงดัน rms (RMS voltage) หรือกระแส rms (RMS current) นอกจากนี้แล้ว อาจเนื่องจาก rms มีความหมายถึงสิ่งที่ได้จากการเฉลี่ย ดังนั้น จึงนิยมใช้คำว่า กำลังขับสูงสุด rms (peak RMS power) ในการโฆษณา เพื่อบอกกำลังขับโดยเฉพาะของแอมปลิไฟร์ หรือเครื่องขยายเสียง แต่ความจริงแล้ว ไม่มีค่ากำลังวัตต์ rms ในทางคณิตศาสตร์เชิงฟิสิกส์เลย

สำหรับในทางเคมี ความเร็ว rms (root mean square velocity) นิยามว่า เป็นรากที่สอง ของค่าเฉลี่ยของความเร็วกำลังสอง ของโมเลกุลในก๊าส ความเร็ว rms ของก๊าสจึงคำนวณได้ โดยใช้สมการต่อไปนี้

$u_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$

โดยที่ $R$ แทนค่าคงที่ของก๊าสในอุดมคติ (ในกรณีนี้ 8.314 J/(mol⋅K)), $T$ เป็นอุณหภูมิของก๊าส มีหน่วยเป็นเคลวิน (K) และ $M$ คือ มวล molar mass ของสารประกอบ มีหน่วยเป็นกิโลกรัมต่อโมล

เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

หาก $\overline{x}$ เป็น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และ ${\sigma }_x$ เป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรแล้ว

$x_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}^2={\overline{x}}^2+{\sigma }_x^2$