การหารสังเคราะห์พหุนาม

ภาพเคลื่อนไหวแสดงการหารสังเคราะห์ เพื่อหาผลหารของ $2x^4+3x^2+5x+1$ หารด้วย $x-2$ สังเกตได้ว่าไม่มีพจน์ $x^3$ ดังนั้นหลักที่ 4 จากทางขวาจึงเป็นศูนย์

ในพีชคณิต การหารสังเคราะห์พหุนาม หรือการหารสังเคราะห์ (อังกฤษ: synthetic division) เป็นการคำนวนโดยใช้วิธีการหารพหุนามยุคลิด และเป็นวิธีที่สั้นกว่าการหารยาวพหุนาม

ส่วนใหญ่จะสอนใช้กับแค่พหุนามโมนิกเชิงเส้น (กฎของรัฟฟินี) แต่สามารถวางนัยกับพหุนามทั่วไปได้

ข้อดีของการหารสังเคราะห์คือ สามารถทดได้โดยไม่ต้องเขียนตัวแปร คำนวนน้อย และใช้พื้นที่น้อยกว่าการหารยาว อีกทั้งการลบในการหารยาวเปลี่ยนเป็นการบวกแทนโดยเปลี่ยนเครื่องหมายตอนแรก ๆ ช่วยป้องกันการเขียนเครื่องหมายผิด

การหารสังเคราะห์ปกติ

ตัวอย่างแรกคือการหารสังเคราะห์ที่มีตัวส่วนเป็นโมนิกเชิงเส้น $x-a$

$\frac{x^3-12x^2-42}{x-3}$

ตัวเศษเขียนใหม่ได้เป็น $P(x)=x^3-12x^2+0x-42$

รากของตัวส่วน $g(x)$ คือ $3$

สัมประสิทธิ์ของ $P(x)$ เรียงได้ดังนี้ โดยเขียนรากของ $g(x)$ ไว้ทางซ้าย

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ 3\end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & & & \end{array}\end{array}$

แม่แบบ:สีหลังเส้นกั้น ถูกดึงลงมาแถวสุดท้าย

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ 3\\ \end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & & & \\ 1& & & \end{array}\end{array}$

แม่แบบ:สีคูณกับแม่แบบ:สี แม่แบบ:สีวางทแยงไปขวาบนในหลักถัดไป

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ 3\\ \end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & 3& & \\ 1& & & \end{array}\end{array}$

แม่แบบ:สีกันภายในหลักถัดไป

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ 3\\ \end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & 3& & \\ 1& -9& & \end{array}\end{array}$

ทำสองขั้นตอนที่แล้วไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงหลักสุดท้าย

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ 3\\ \end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & 3& -27& -81\\ 1& -9& -27& -123\end{array}\end{array}$

ที่นี้ หลักสุดท้าย (-123) คือเศษเหลือ ที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

$\begin{array}{cccc}1x^2& -9x& -27& -123\end{array}$

ผลหารและเศษเหลือจะเป็นดังนี้

$q(x)=x^2-9x-27$

$r(x)=-123$

การประยุกต์ใช้จากทฤษฎีบทเศษเหลือ

รูปแบบการหารสังเคราะห์ข้างต้นมีประโยชน์ในการหาเศษเหลือจากพหุนามตัวแปรเดียวจากทฤษฎีบทเศษเหลือ โดยสรุป ค่าของ $P(x)$ ณ $a$ จะเท่ากับเศษเหลือจากการหาร $P(x)$ ด้วย $x-a$

ข้อดีจากการใช้วิธีนี้ตือการคูณน้อยลงประมาณครึ่งหนึ่งจากการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ อีกวิธีทางเลือกคือวิธีของฮอร์เนอร์

การหารสังเคราะห์ส่วนขยาย

วิธีนี้วางนัยได้กับการหารพหุนามโมนิกทั่วไปได้ ข้อแตกต่างจากวิธีปกติจะทำเส้นหนา ใช้ขั้นตอนเหมือนกับวิธีปกติกับการหารพหุนามต่อไปนี้

$\frac{x^3-12x^2-42}{x^2+x-3}$

ดูเฉพาะสัมประสิทธิ์ของตัวเศษ เขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนามตัวตั้งข้างบน

$\begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\end{array}$

กลับเครื่องหมายตัวหาร

$\begin{array}{ccc}-1x^2& -1x& +3\end{array}$

เขียนแม่แบบ:สีทุกตัวยกเว้นตัวแรกทางซ้ายก่อนเส้นกั้น เขียนทแยงไปทางขวาบน (ดูภาพถัดไป)

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ & 3\\ -1& \end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & & & \\ & & & \end{array}\end{array}$

สังเกตการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายจาก 1 เป็น -1 และจาก -3 เป็น 3 ดึงแม่แบบ:สีหลังเส้นกั้นลงมาแถวสุดท้าย

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ & 3\\ -1& \\ \end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & & & \\ & & & \\ 1& & & \end{array}\end{array}$

คูณแม่แบบ:สีกับแม่แบบ:สี แม่แบบ:สีวางทแยงไปขวาบนจนกว่าจะคูณครบทุกเลขหน้าเส้นกั้นในหลักถัด ๆ ไป

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ & 3\\ -1& \\ \end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & & 3& \\ & -1& & \\ 1& & & \end{array}\end{array}$

แม่แบบ:สีกันภายในหลักถัดไป

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ & 3\\ -1& \\ \end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & & 3& \\ & -1& & \\ 1& -13& & \end{array}\end{array}$

ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าเส้นทแยงผลคูณจะเลยหลักสุดท้าย

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ & 3\\ -1& \\ \end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & & 3& -39\\ & -1& 13& \\ 1& -13& 16& \end{array}\end{array}$

แล้วก็บวกหลักที่เหลือ

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ & 3\\ -1& \\ \end{array}& \begin{array}{cccc}1& -12& 0& -42\\ & & 3& -39\\ & -1& 13& \\ 1& -13& 16& -81\end{array}\end{array}$

นับจำนวนตัวเลขหน้าเส้นกั้น เนื่องจากมีสองตัว เศษเหลือจึงมีดีกรีเป็นหนึ่ง สังเกตได้ว่าหลักที่ไม่ได้ถูกคูณจะเป็นเศษเหลือ ซึ่งเป็นสองหลักใต้เส้นกั้นที่นับจากทางขวา เขียนเส้นกั้นลงไป

$\begin{array}{cccc}1& -13& 16& -81\end{array}$

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

$\begin{array}{cccc}1x& -13& 16x& -81\end{array}$

ผลลัพท์จากการหารจะได้ดังนี้

$\frac{x^3-12x^2-42}{x^2+x-3}=x-13+\frac{16x-81}{x^2+x-3}$

สำหรับตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก

วิธีนี้ยังสามารถวางนัยทั่วไปให้สามารถใช้ได้กับพหุนามทั่วไป ไม่ใช่แค่พหุนามโมนิกโดยการดัดแปลงเล็กน้อย โดยปกติจะหารตัวหาร $g(x)$ ด้วยสัมประสิทธิ์นำ $a$

$h(x)=\frac{g(x)}{a}$

แล้วหารสังเคราะห์โดยใช้ $h(x)$ เป็นตัวหาร แล้วหารผลหารที่ได้ด้วย $a$ ถึงจะได้ผลหารจากการหารด้วย $g(x)$ (เศษเหลือยังคงเดิม) แต่วิธีนี้ผิดพลาดได้ง่ายเนื่องจากตัวคูณในการหารสังเคราะห์เป็นเศษส่วน

จากการสังเกตจากการหารยาวพหุนามด้วยตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก สัมประสิทธิ์ $P(x)$ จะถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของ $g(x)$ หลังถูกดึงและก่อนคูณ

โดยแสดงจากการหารพหุนามดังต่อไปนี้

$\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}$

ใช้ตารางที่ถูกดัดแปลงเล็กน้อย

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ & 1& \\ 2& & \\ \\ & & /3\end{array}\begin{array}{cccc}6& 5& 0& -7\\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \end{array}\end{array}$

สังเกตว่ามีแถวเพิ่มขึ้นข้างล่าง ใช้เพื่อเขียนค่าหลังจากหารตัวที่ถูกดึงด้วยสัมประสิทธิ์นำของ $g(x)$ (ในที่นี้คือ /3 สังเกตว่าตัวเลขนี้ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ต่างจากสัมประสิทธิ์ตัวอื่น ๆ ของ $g(x)$)

แม่แบบ:สีของ $P(x)$ ถูกดึงลงมาตามเดิม

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ & 1& \\ 2& & \\ \\ & & /3\end{array}\begin{array}{cccc}6& 5& 0& -7\\ & & & \\ & & & \\ 6& & & \\ & & & \end{array}\end{array}$

แม่แบบ:สีลงมาหารด้วย 3 แล้วเขียนลงไปในแถวถัดไป

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ & 1& \\ 2& & \\ \\ & & /3\end{array}\begin{array}{cccc}6& 5& 0& -7\\ & & & \\ & & & \\ 6& & & \\ 2& & & \end{array}\end{array}$

แม่แบบ:สีที่ถูกหารนี้ ไปคูณกับเลขหน้าเส้นกั้นและเขียนในแถวที่เป็นพหุคูณของ แม่แบบ:สี ดังที่ได้อธิบายไว้ในวิธีส่วนขยายที่กล่าวไป

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ & 1& \\ 2& & \\ \\ & & /3\end{array}\begin{array}{cccc}6& 5& 0& -7\\ & & 2& \\ & 4& & \\ 6& & & \\ 2& & & \end{array}\end{array}$

แม่แบบ:สีถูกดึงและบวกกับ 4 ผลลัพท์จะถูกหารด้วย 3

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ & 1& \\ 2& & \\ \\ & & /3\end{array}\begin{array}{cccc}6& 5& 0& -7\\ & & 2& \\ & 4& & \\ 6& 9& & \\ 2& 3& & \end{array}\end{array}$

ทำเข่นเดียวกันกับแม่แบบ:สี

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ & 1& \\ 2& & \\ \\ & & /3\end{array}\begin{array}{cccc}6& 5& 0& -7\\ & & 2& 3\\ & 4& 6& \\ 6& 9& & \\ 2& 3& & \end{array}\end{array}$

ณ จุดนี้หลัวจากได้ผลบวกตัวที่สาม เส้นทแยงผลคูณจะ "ตกขอบขวา" ดังนั้นผลบวกตัวนี้จะเป็นสัมประสิทธิ์ตัวแรกของเศษเหลือ เหมือนในวิธีส่วนขยายที่ได้กล่าวไป แต่ค่าของเศษเหลือจะไม่ถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ & 1& \\ 2& & \\ \\ & & /3\end{array}\begin{array}{cccc}6& 5& 0& -7\\ & & 2& 3\\ & 4& 6& \\ 6& 9& 8& -4\\ 2& 3& & \end{array}\end{array}$

เหมือนในการหารสังเคราะห์แบบขยาย สองหลักสุดท้ายจะเป็นสัมประสิทธิ์เศษเหลือ (ดีกรีของตัวหารเป็น 2) ส่วนค่าที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

$\begin{array}{cccc}2x& +3& 8x& -4\end{array}$

ผลลัพท์จะได้ดังนี้

$\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}=2x+3+\frac{8x-4}{3x^2-2x-1}$

การหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ

แต่ว่าการเขียนแนวทแยงจากที่ได้กล่าวมานั้น จะกินพื้นที่เมื่อดีกรีตัวหารเกินครึ่งหนี่งของตัวตั้ง พิจารณาได้จากการหารต่อไปนี้

$\frac{a_7{x}^7+a_6{x}^6+a_5{x}^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0}{b_4{x}^4-b_3{x}^3-b_2{x}^2-b_{1}x-b_0}$

จะเห็นได้ว่าจะเขียนผลคูณไว้ที่บรรทัดไหนก็ได้ ขอให้แค่ถูกหลักก็พอ โดยใช้กลยุทธ์แบบละโมบในการย่อขั้นตอนวิธี ดังการหารต่อไปนี้

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ \\ \\ \\ b_3& b_2& b_1& b_0\\ \\ & & & & /b_4\end{array}\begin{array}{cccccccc}& & & & q_0{b}_3& & & \\ & & & q_1{b}_3& q_1{b}_2& q_0{b}_2& & \\ & & q_2{b}_3& q_2{b}_2& q_2{b}_1& q_1{b}_1& q_0{b}_1& \\ & q_3{b}_3& q_3{b}_2& q_3{b}_1& q_3{b}_0& q_2{b}_0& q_1{b}_0& q_0{b}_0\\ a_7& a_6& a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0\\ a_7& {q_2}^{\prime }& {q_1}^{\prime }& {q_0}^{\prime }& r_3& r_2& r_1& r_0\\ q_3& q_2& q_1& q_0& & & & \end{array}\end{array}$

ต่อไปนี้คือขั้นตอนวิธีของการหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ สามารถใช้ได้กับพหุนามไม่เป็นโมนิกอีกด้วย

1. เขียนสัมประสิทธิ์ตัวตั้งบนเส้นกั้น

$\begin{array}{c}\begin{array}{cccccccc}{a}_7& a_6& a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0\end{array}\end{array}$

1. กลับเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ของตัวหาร ยกเว้นสัมประสิทธิ์ตัวนำ แล้วเขียนลงทางซ้ายของเส้นกัั้น

$\begin{array}{cc}\begin{array}{cccc}{b}_3& b_2& b_1& b_0\end{array}& \begin{array}{cccccccc}{a}_7& a_6& a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0\end{array}\end{array}$

1. นับจำนวนสัมประสิทธิ์ตัวหารให้เท่ากับสัมประสิทธิ์หน้าเส้นกั้น โดยเริ่มจากหลักขวาสุด แล้วเขียนเส้นกั้นลงทางซ้ายเพื่อแบ่งหลักที่เป็นสัมประสิทธิ์ผลหารกับเศษเหลือ

$\begin{array}{cc}\begin{array}{cccc}{b}_3& b_2& b_1& b_0\\ \end{array}& \begin{array}{cccccccc}{a}_7& a_6& a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0\\ & & & & & & & \end{array}\end{array}$

1. ดึงสัมประสิทธิ์หลักแรกลงใต้เส้นกั้น

$\begin{array}{cc}\begin{array}{cccc}{b}_3& b_2& b_1& b_0\\ \end{array}& \begin{array}{cccccccc}{a}_7& a_6& a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0\\ a_7& & & & & & & \end{array}\end{array}$

1. • หารจำนวนที่ถูกดึง/บวกมาด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร แล้วเขียนผลหารลงแถวข้างล่าง (ขั้นตอนนี้ไม่จำเป็นถ้าสัมประสิทธิ์ตัวนำตัวหารเป็น 1) ในที่นี้ $q_3=\frac{a_7}{b_4}$ ซึ่งดัชนีของ $q$ เป็น $3=7-4$ นั้นเกิดจากการลบดัชนีของตัวตั้งกับตัวหาร
   • คูณจำนวนที่ถูกดึง/บวกหรือที่ถูกหาร ด้วยสัมประสิทธิ์ตัวหารที่ถูกกลับเครื่องหมายหน้าเส้นกั้น (เริ่มจากซ้ายสุด) ข้ามขั้นตอนนี้ถ้าจำนวนที่ถูกดึง/บวกหรือที่ถูกหารเป็นศูนย์ เขียนผลคูณในหลักถัด ๆ ไปตามลำดับ$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ b_3& b_2& b_1& b_0\\ \\ & & & & /b_4\end{array}\begin{array}{cccccccc}& q_3{b}_3& q_3{b}_2& q_3{b}_1& q_3{b}_0& & & \\ a_7& a_6& a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0\\ a_7& & & & & & & \\ q_3& & & & & & & \end{array}\end{array}$
2. ทำการบวกภายในหลักถัดไป ในที่นี้ $q{\text{'}}_2=q_3{b}_3+a_6$

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ b_3& b_2& b_1& b_0\\ \\ & & & & /b_4\end{array}\begin{array}{cccccccc}& q_3{b}_3& q_3{b}_2& q_3{b}_1& q_3{b}_0& & & \\ a_7& a_6& a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0\\ a_7& {q_2}^{\prime }& & & & & & \\ q_3& & & & & & & \end{array}\end{array}$

1. ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงเลขหน้าเส้นกั้น i. ให้ $q_2=\frac{{q_2}^{\prime }}{b_4}$

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ \\ b_3& b_2& b_1& b_0\\ \\ & & & & /b_4\end{array}\begin{array}{cccccccc}& & q_2{b}_3& q_2{b}_2& q_2{b}_1& & & \\ & q_3{b}_3& q_3{b}_2& q_3{b}_1& q_3{b}_0& q_2{b}_0& & \\ a_7& a_6& a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0\\ a_7& {q_2}^{\prime }& {q_1}^{\prime }& & & & & \\ q_3& q_2& & & & & & \end{array}\end{array}$ ii.ให้ $q_1=\frac{{q_1}^{\prime }}{b_4}$ $\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ \\ \\ b_3& b_2& b_1& b_0\\ \\ & & & & /b_4\end{array}\begin{array}{cccccccc}& & & q_1{b}_3& q_1{b}_2& & & \\ & & q_2{b}_3& q_2{b}_2& q_2{b}_1& q_1{b}_1& & \\ & q_3{b}_3& q_3{b}_2& q_3{b}_1& q_3{b}_0& q_2{b}_0& q_1{b}_0& \\ a_7& a_6& a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0\\ a_7& {q_2}^{\prime }& {q_1}^{\prime }& {q_0}^{\prime }& & & & \\ q_3& q_2& q_1& & & & & \end{array}\end{array}$ iii.ให้ $q_0=\frac{{q_0}^{\prime }}{b_4}$ $\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ \\ \\ \\ b_3& b_2& b_1& b_0\\ \\ & & & & /b_4\end{array}\begin{array}{cccccccc}& & & & q_0{b}_3& & & \\ & & & q_1{b}_3& q_1{b}_2& q_0{b}_2& & \\ & & q_2{b}_3& q_2{b}_2& q_2{b}_1& q_1{b}_1& q_0{b}_1& \\ & q_3{b}_3& q_3{b}_2& q_3{b}_1& q_3{b}_0& q_2{b}_0& q_1{b}_0& q_0{b}_0\\ a_7& a_6& a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0\\ a_7& {q_2}^{\prime }& {q_1}^{\prime }& {q_0}^{\prime }& r_3& & & \\ q_3& q_2& q_1& q_0& & & & \end{array}\end{array}$

1. ทำการบวกหลักที่เหลือ (เพื่อคำนวนหาเศษเหลือ)

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ \\ \\ \\ b_3& b_2& b_1& b_0\\ \\ & & & & /b_4\end{array}\begin{array}{cccccccc}& & & & q_0{b}_3& & & \\ & & & q_1{b}_3& q_1{b}_2& q_0{b}_2& & \\ & & q_2{b}_3& q_2{b}_2& q_2{b}_1& q_1{b}_1& q_0{b}_1& \\ & q_3{b}_3& q_3{b}_2& q_3{b}_1& q_3{b}_0& q_2{b}_0& q_1{b}_0& q_0{b}_0\\ a_7& a_6& a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0\\ a_7& {q_2}^{\prime }& {q_1}^{\prime }& {q_0}^{\prime }& r_3& r_2& r_1& r_0\\ q_3& q_2& q_1& q_0& & & & \end{array}\end{array}$

1. ในแถวล่างสุดใต้เส้นกั้เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ส่วนหน้าเส้นกั้นเป็นของผลหาร ส่วนหลังเส้นกั้นเป็นเศษเหลือ สัมประสิทธิ์เหล่านี้มีดีกรีเพิ่มขึ้นจากขวาไปซ้าย โดยเริ่มที่ศูนย์ทั้งผลหารและเศษเหลือ

$\frac{a_7{x}^7+a_6{x}^6+a_5{x}^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0}{b_4{x}^4-b_3{x}^3-b_2{x}^2-b_{1}x-b_0}=q_3{x}^3+q_2{x}^2+q_{1}x+q_0+\frac{r_3{x}^3+r_2{x}^2+r_{1}x+r_0}{b_4{x}^4-b_3{x}^3-b_2{x}^2-b_{1}x-b_0}$

ดูเพิ่ม

• โดเมนแบบยุคลิด
• ตัวหารร่วมมากของสองพหุนาม
• ฐานหลักเกริบเนอร์
• แบบแผนฮอร์เนอร์
• ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม
• กฎของรัฟฟินี

อ้างอิง

• แม่แบบ:Cite journal
• แม่แบบ:Cite journal

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:Mathworld
• แม่แบบ:Mathworld