มัชฌิมพีทาโกรัส

บทสร้างเรขาคณิตของมัชฌิมกําลังสอง และมัชฌิมพีทาโกรัส (ของตัวเลขสองจำนวน a และ b) มัชฌิมฮาร์มอนิกแสดงโดย แม่แบบ:Colorbox H, มัชฌิมเรขาคณิตโดย แม่แบบ:Colorbox G, มัชฌิมเลขคณิตโดย แม่แบบ:Colorbox A และมัชฌิมกําลังสอง (หรือรากที่สองของค่าเฉลี่ย) แสดงโดย แม่แบบ:Colorbox Q

ในคณิตศาสตร์ สามชนิดดั้งเดิมของมัชฌิมพีทาโกรัส (แม่แบบ:Langx) คือ มัชฌิมเลขคณิต (AM) มัชฌิมเรขาคณิต (GM) และมัชฌิมฮาร์มอนิก (HM) มัชฌิมเหล่านี้ถูกศึกษาโดยชาวพีทาโกรัส และนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกรุ่นหลัง เพราะความสำคัญในเรขาคณิต และดนตรี

นิยาม

การเปรียบเทียบมัชฌิมเลขคณิต เรขาคณิต และฮาร์มอนิกของตัวเลขคู่หนึ่ง เส้นประแนวตั้งเป็นมัชฌิมฮาร์มอนิก

$\begin{array}{cc}\mathrm{AM}(x_1,\dots ,x_n)& =\frac{1}{n}(x_1+\cdots +x_n)\\ \mathrm{GM}(x_1,\dots ,x_n)& =\sqrt[n]{|x_1\times \cdots \times x_n|}\\ \mathrm{HM}(x_1,\dots ,x_n)& =\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots +\frac{1}{x_n}}\end{array}$

สมบัติ

มัชฌิม $\mathrm{M}$ แต่ละตัวมีสมบัติดังนี้

การแจกแจง

$\mathrm{M}(b{x}_1,\dots ,b{x}_n)=b\mathrm{M}(x_1,\dots ,x_n)$

การสลับที่

$\mathrm{M}(\dots ,x_i,\dots ,x_j,\dots )=\mathrm{M}(\dots ,x_j,\dots ,x_i,\dots )$

สำรับทุก $i$ และ $j$

ความโมโนโทนิค

$a<b\to \mathrm{M}(a,x_1,x_2,\dots x_n)<\mathrm{M}(b,x_1,x_2,\dots x_n)$

นิจพล

$\mathrm{\forall }x,\mathrm{M}(x,x,\dots x)=x$

ความโมโนโทนิค และนิจพลบอกว่ามัชฌิมของเซตจะอยู่ระหว่างค่าน้อยสุด และค่ามากสุด

$\min (x_1,\dots ,x_n)\le \mathrm{M}(x_1,\dots ,x_n)\le \max (x_1,\dots ,x_n)$

มัชฌิมฮาร์มอนิก และมัชฌิมเลขคณิตเป็นส่วนกลับของกันและกัน

$\mathrm{HM}(\frac{1}{x_1},\dots ,\frac{1}{x_n})=\frac{1}{\mathrm{AM}(x_1,\dots ,x_n)}$

มัชฌิมเรขาคณิตเป็นส่วนกลับของตัวเอง

$\mathrm{GM}(\frac{1}{x_1},\dots ,\frac{1}{x_n})=\frac{1}{\mathrm{GM}(x_1,\dots ,x_n)}$

ความไม่สมมูลระหว่างมัชฌิม

การพิสูจน์ด้วยรูปภาพ (proof without words) ทางเรขาคณิตโดย แม่แบบ:ไม่ตัด > แม่แบบ:ไม่ตัด หรือ แม่แบบ:ไม่ตัด > แม่แบบ:ไม่ตัด > แม่แบบ:ไม่ตัด > แม่แบบ:ไม่ตัด > แม่แบบ:ไม่ตัด ของตัวเลขบวกสองจำนวน a และ b

หากค่า $x_i$ ทั้งหมดเป็นบวก การเรียงลำดับของมัชฌิมเหล่านี้คือ

$\min \le \mathrm{HM}\le \mathrm{GM}\le \mathrm{AM}\le \max$

ที่มีความสมมูลกันก็ต่อเมื่อ $x_i$ เท่ากันทั้งหมด

นี่คือลักษณะทั่วไปของความไม่สมมูลกันของมัชฌิมเลขคณิตและมัชฌิมเรขาคณิต และกรณีพิเศษของความไม่สมมูลกันสำหรับมัชฌิมทั่วไป หลักฐานดังต่อไปนี้จากความไม่สมมูลกันของมัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต $\mathrm{AM}\le \max$ และความเป็นคู่ส่วนกลับ ($\min$ และ $\max$ ก็เป็นส่วนกลับซึ่งกันและกันด้วย)

การศึกษาวิธีพีทาโกรัสมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการศึกษาฟังก์ชัน majorization และ Schur-convex มัชฌิมฮาร์มอนิกและเรขาคณิตเป็นฟังก์ชันสมมาตรเว้าของอาร์กิวเมนต์ด้วยเหตุนี้จึงเป็นฟังก์ชัน Schur-concave ขณะที่มัชฌิมเลขคณิตเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นจึงเป็นทั้งฟังก์ชันสมมาตรเว้าและนูน

ดูเพิ่ม

• ค่าเฉลี่ย
• อัตราส่วนทอง

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:Cite web