การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

แม่แบบ:Sidebar with collapsible lists ในวิชากลศาสตร์และฟิสิกส์ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (แม่แบบ:Langx : SHM) หมายถึง การเคลื่อนที่โดยที่วัตถุจะเคลื่อนที่ตามเส้นทางเดิมกลับมาเริ่มต้นที่เดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก ผ่านจุดสมดุล เป็นการเคลื่อนที่เป็นคาบประเภทหนึ่ง โดยที่แรงดึงกลับจะแปรผันตรงกับการกระจัด และมีทิศทางตรงข้ามกับการกระจัด

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการเคลื่อนที่หลายอย่าง เช่น การสั่นของสปริง นอกจากนี้ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายยังประมาณปรากฏการณ์อื่นได้ ซึ่งรวมการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอย่างง่าย ตลอดจนการสั่นของโมเลกุล การเคลื่อนที่ของมวลบนสปริงเมื่ออยู่ภายใต้แรงดึงกลับยืดหยุ่นเชิงเส้นตามกฎของฮุกเป็นตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย การเคลื่อนที่นี้มีความถี่พ้องเดียว ในการเกิดการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย แรงลัพธ์ของวัตถุที่ปลายลูกตุ้มต้องเท่ากับการกระจัด

ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

1. แอมพลิจูด (Amplitude) คือ การกระจัดสูงสุดของการเคลื่อนที่วัดจากจุดสมดุลไปยังจุดปลาย หรือบางครั้งเรียกว่า ช่วงกว้างของคลื่น
2. คาบ (Period) คือ ช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ นับจากจุดปลายด้านหนึ่งไปยังจุดปลายอีกด้านหนึ่ง แล้วเคลื่อนที่กลับมายังจุดปลายเดิม โดยมีหน่วยเป็น วินาที / รอบ หรือ วินาที
3. ความถี่ (Frequency) คือ จำนวนรอบบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วยเป็น รอบ / วินาที หรือ เฮิรตซ์ (Hz)
4. การกระจัด (Displacement) คือ ระยะทางการกระจัดที่วัตถุเคลื่อนที่โดยนับจากจุดสมดุล
5. ความถี่เชิงมุม (Angular frequency) คือ การกระจัดเชิงมุมที่เปลี่ยนแปลงไปในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วยเป็น เรเดียน / วินาที หรือ rad/s

พลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ในกลศาสตร์นิวตัน สมการการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายอยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงตัว ซึงหาได้จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันและกฎของฮุกสำหรับมวลติดสปริง

$F_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}}=m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-kx$

เมื่อ แม่แบบ:Math คือ มวลของวัตถุที่มีการสั่น แม่แบบ:Math คือ การกระจัดจากตำแหน่งสมดุล และ แม่แบบ:Math คือ ค่าคงตัวหรือค่านิจของสปริง (สำหรับมวลติดสปริง)

ดังนั้น

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{k}{m}x$

ผลเฉลยของสมการอนุพันธ์นี้จะอยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์ (sinusoidal function)

$x(t)=c_1\cos \left(\omega t\right)+c_2\sin \left(\omega t\right)$

สามารถเขียนให้อยู่ในรูป

$x(t)=A\cos (\omega t-\phi )$

เมื่อ

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}},A=\sqrt{{c_1}^2+{c_2}^2},\tan \phi =\frac{c_2}{c_1}$

จากผลเฉลยข้างต้น แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math คือ ค่าคงตัวซึ่งกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น และกำหนดให้จุดกำเนิดอยู่ที่ตำแหน่งสมดุล แม่แบบ:Math คือ แอมพลิจูด แม่แบบ:Math คือ ความถี่เชิงมุม และ แม่แบบ:Math คือ เฟสเริ่มต้น

ความเร็วและความเร่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายมีค่าเท่ากับ

$v(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-A\omega \sin (\omega t-\phi )$

ความเร็ว:

$\omega \sqrt{A^2-x^2}$

ความเร็วสูงสุด: แม่แบบ:Math (ที่จุดสมดุล)

$a(t)=\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-A{\omega }^2\cos (\omega t-\phi )$

ความเร่งสูงสุด: แม่แบบ:Math (ที่จุดปลาย)

จากนิยามความเร่งและการกระจัด ถ้ามวล แม่แบบ:Math เคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ความเร่งของมวลนั้นจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการกระจัด

$a(x)=-{\omega }^{2}x$

เมื่อ

${\omega }^2=\frac{k}{m}$

เนื่องจาก แม่แบบ:Math

$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$

และเนื่องจาก แม่แบบ:Math เมื่อ แม่แบบ:Math คือ คาบ จะได้ว่า

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

สมการเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและเฟสเริ่มต้นของการเคลื่อนที่

พลังงาน

แทนค่า แม่แบบ:Math ด้วย แม่แบบ:Math พลังงานจลน์ แม่แบบ:Math ของระบบที่เวลา แม่แบบ:Math มีค่าเท่ากับ

$K(t)=\frac{1}{2}m{v}^2(t)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t-\phi )=\frac{1}{2}k{A}^2{\sin }^2(\omega t-\phi )$

และพลังงานศักย์ของระบบมีค่าเท่ากับ

$U(t)=\frac{1}{2}k{x}^2(t)=\frac{1}{2}k{A}^2{\cos }^2(\omega t-\phi )$

เมื่อไม่มีแรงเสียดทานและไม่มีการสูญเสียพลังงาน ผลรวมของพลังงานกล (mechanical energy) จะมีค่าคงตัว

$E=K+U=\frac{1}{2}k{A}^2$

ตัวอย่าง

ระบบสปริง–มวลที่ไม่หน่วงมีการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ระบบทางฟิสิกส์ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

มวลติดสปริง

มวล แม่แบบ:Math ก้อนหนึ่งติดอยู่กับสปริงที่มีค่าคงที่ของสปริง แม่แบบ:Math อธิบายการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายในปริภูมิปิด สามารถอธิบายได้ด้วยสมการ

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

สมการข้างบนนี้แสดงให้เห็นว่าคาบของการแกว่ง แม่แบบ:Math ไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง สมการข้างบนนี้ยังคงใช้ได้เมื่อมีแรงคงที่กระทำต่อมวล กล่าวคือ แรงคงที่ที่เพิ่มขึ้นไม่ได้ทำให้คาบของการแกว่งเปลี่ยนไป

อ้างอิง

• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book