ดูต้นฉบับสำหรับ มัชฌิมเรขาคณิต

[[ไฟล์:01-Mittlere Proportionale.gif|thumb|400px|มัชฌิมเรขาคณิตตัวอย่าง: <math>l_g</math> (สีแดง) เป็นมัชฌิมเรขาคณิตของ <math>l_1</math> กับ <math>l_2</math><ref>{{cite web
  |first1=Matt |last1=Friehauf|first2= Mikaela |last2=Hertel|first3= Juan |last3=Liu|first4= Stacey |last4=Luong 
  |url=https://sites.math.washington.edu/~julia/teaching/445_Spring2013/ConstructionsI.pdf#page=6&zoom=80,-502,802 
  |title=On Compass and Straightedge Constructions: Means
  |publisher=Department of Mathematics, University of Washington
  |year=2013 
  |access-date=14 มิถุนายน 2018
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20220817012115/https://sites.math.washington.edu/~julia/teaching/445_Spring2013/ConstructionsI.pdf#page=6&zoom=80,-502,802
  |archive-date=17 สิงหาคม 2022
  |url-status=live
}}</ref><ref>{{cite book
  |url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI13.html
  |title=Euclid's Elements
  |chapter=Book VI, Proposition 13, To find a mean proportional to two given straight lines. 
  |first=David E.|last=Joyce
  |publisher=Department of Mathematics and Computer Science, Clark University
  |year=2013 
  |access-date=19 กรกฎาคม 2019
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20230203171607/https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI13.html
  |archive-date=3 กุมภาพันธ์ 2023
  |url-status=live
}}</ref> โดยในตัวอย่างนี้ ส่วนของเส้นตรง <math>l_2\;(\overline{BC})</math> ถูกกำหนดให้ตั้งฉากกับ <math>\overline{AB}</math> (ภาพเคลื่อนไหวจะค้างไว้ 10 วินาทีก่อนเริ่มเล่นใหม่อีกครั้ง )]]

ในวิชา[[คณิตศาสตร์]] '''มัชฌิมเรขาคณิต''' เป็นค่า[[มัชฌิม]]หรือ[[ค่าเฉลี่ย]]ที่บ่งบอกถึง[[แนวโน้มสู่ส่วนกลาง]]ของจำนวนชุดหนึ่งด้วยผลคูณของค่าแต่ละค่า (ต่างจาก[[มัชฌิมเลขคณิต]]ซึ่งใช้ผลบวกของค่าแต่ละค่า) นิยามของมัชฌิมเรขาคณิตคือ[[รากที่ n|รากที่ {{math|''n''}}]] ของ[[ผลคูณ]]ของจำนวน {{mvar|n}} จำนวน กล่าวได้ว่า สำหรับชุดของจำนวน {{math|''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a<sub>n</sub>''}} มัชฌิมเรขาคณิตมีนิยามเป็น

:<math>\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}</math>

หรือแสดงออกโดยสมมูลกันเป็นมัชฌิมเลขคณิตของแต่ละจำนวนใน[[มาตราส่วนลอการิทึม]]

:<math>\exp{\left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\ln a_i} \right)}</math>

ยกตัวอย่าง มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสองจำนวน อาทิ 2 กับ 8 เป็น[[รากที่สอง]] (square root) ของผลคูณของทั้งสองจำนวน นั่นคือ <math>\sqrt{2 \cdot 8} = 4</math> ยกอีกตัวอย่างหนึ่ง มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสามจำนวน 4, 1, และ 1/32 เป็น[[รากที่สาม]]ของผลคูณของทั้งสามจำนวน (1/8) นั่นก็คือ 1/2 กล่าวคือ <math>\sqrt[3]{4 \cdot 1 \cdot 1/32} = 1/2</math> มัชฌิมเรขาคณิตใช้ได้กับจำนวนบวกเท่านั้น{{efn|มัชฌิมเรขาคณิตใช้ได้กับจำนวนบวกเท่านั้นเพื่อหลีกเลี่ยงการหารากของผลคูณที่มีค่าเป็นลบ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็น[[จำนวนจินตภาพ]]}}

มัชฌิมเรขาคณิตมักถูกใช้สำหรับชุดของจำนวนซึ่งจะนำมาคูณกันหรือมีลักษณะเป็น[[การยกกำลัง|เลขยกกำลัง]] เช่นตัวเลขการเติบโตต่าง ๆ อาทิจำนวน[[ประชากรโลก]]หรืออัตราดอกเบี้ยของการลงทุนทางการเงินเมื่อเวลาผ่านไป นอกจากนี้ยังถูกนำมาใช้ใน[[การวัดเปรียบเทียบสมรรถนะของคอมพิวเตอร์]] โดยมีประโยชน์สำหรับการคำนวณค่ามัชฌิมของ[[ความเร็วที่เพิ่มขึ้น|อัตราความเร็วที่เพิ่มขึ้น]] (speedup) เพราะค่ามัชฌิมของจำนวน 0.5x (ช้าลงครึ่งหนึ่ง) กับ 2x (เร็วขึ้นสองเท่า) จะเป็นจำนวนเท่ากับ 1 (ไม่เร็วขึ้น)

สามารถทำความเข้าใจมัชฌิมเรขาคณิตในแง่ของ[[เรขาคณิต]]ได้ มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสองจำนวน <math>a</math> กับ <math>b</math> เป็นความยาวของด้านหนึ่งของ[[รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส]]ซึ่งมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของ[[รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก]]ที่มีด้านยาว <math>a</math> และ <math>b</math> มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสามจำนวนก็คล้ายกัน มัชฌิมเรขาคณิตของ <math>a</math>, <math>b</math>, กับ <math>c</math> เป็นความยาวของสันหนึ่งของ[[ทรงลูกบาศก์]]ซึ่งมีปริมาตรเท่ากับปริมาตรของ[[ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก]] (cuboid) ที่แต่ละสันยาวเท่ากับจำนวนสามจำนวนที่กำหนดมา

มัชฌิมเรขาคณิตเป็นหนึ่งในสามค่า[[มัชฌิมพีทาโกรัส]]เช่นเดียวกับ[[มัชฌิมเลขคณิต]]และ[[มัชฌิมฮาร์มอนิก]] (harmonic mean) สำหรับชุดข้อมูลจำนวนบวกทุกชุดซึ่งมีสองจำนวนที่มีไม่เท่ากันเป็นอย่างน้อย มัชฌิมฮาร์มอนิกจะมีค่าน้อยที่สุดเสมอ มัชฌิมเลขคณิตจะมีค่ามากที่สุดจากมัชฌิมทั้งสามชนิด และมัชฌิมเรขาคณิตจะอยู่ระหว่างทั้งสองค่า (ดูที่[[อสมการของมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต]] (Inequality of arithmetic and geometric means))

==การคำนวณ==
มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูล <math display="inline">\left\{a_1, a_2,\, \ldots,\, a_n\right\}</math> มีนิยามเป็น:
:<math>\left(\prod_{i=1}^n a_i \right)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}.</math><ref>{{Cite book
  |title=Introductory Business Statistics (OpenStax) 
  |date=20 เมษายน 2019
  |chapter=2.5: Geometric Mean
  |chapter-url=https://stats.libretexts.org/Bookshelves/Applied_Statistics/Book%3A_Business_Statistics_(OpenStax)/02%3A_Descriptive_Statistics/2.05%3A_Geometric_Mean
  |access-date=16 สิงหาคม 2021
  |website=Statistics LibreTexts
  |language=en
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20230203112213/https://stats.libretexts.org/Bookshelves/Applied_Statistics/Introductory_Business_Statistics_(OpenStax)/02%3A_Descriptive_Statistics/2.05%3A_Geometric_Mean
  |archive-date=3 กุมภาพันธ์ 2023
  |url-status=live
}}</ref>

สมการนี้ใช้[[การคูณ#ผลคูณของลำดับ|สัญกรณ์ ''π'' ตัวใหญ่]]เพื่อแสดงถึงการคูณเป็นลำดับ ทั้งสองฝั่งของสมการแสดงการคูณค่าชุดหนึ่งตามลำดับ  ("n" คือจำนวนของค่าทั้งหมด) เพื่อให้ได้[[ผลคูณ]]รวมของเซต จากนั้นจึงหา[[รากที่ n|ราก]]ที่ ''n'' ของผลคูณรวมเพื่อหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูล ตัวอย่างเช่น หากมีเซตของจำนวนสี่จำนวน <math display="inline">\{1, 2, 3, 4\}</math> ผลคูณของ <math display="inline">1 \times 2 \times 3 \times 4</math> เท่ากับ <math display="inline">24</math> แล้วค่ามัชฌิมเรขาคณิตจะเท่ากับรากที่สี่ของ 24 หรือประมาณ 2.213 เลขชี้กำลัง <math display="inline">\frac{1}{n}</math> ที่ฝั่งซ้ายแสดงถึงการหารากที่ ''n'' กล่าวคือ <math display="inline">24^\frac{1}{4} = \sqrt[4]{24}</math>.

===การคำนวณด้วยการทำซ้ำ===
มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูลชุดหนึ่งจะ[[อสมการของมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต|น้อยกว่า]][[มัชฌิมเลขคณิต]]ของชุดข้อมูลนั้น ยกเว้นหากสมาชิกทุกตัวในชุดข้อมูลมีค่าเท่ากัน ในกรณีนี้ค่ามัชฌิมเรขาคณิตและเลขคณิตจะมีค่าเท่ากัน เหตุนี้ทำให้สามารถให้นิยามค่า[[มัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต]] (arithmetic-geometric mean) ได้ ซึ่งเป็นส่วนร่วมกันระหว่างทั้งสองที่จะให้ค่าออกมาระหว่างทั้งสองค่านั้นเสมอ

มัชฌิมเรขาคณิตคือ '''มัชฌิมเลขคณิต-ฮาร์มอนิก''' ด้วย ในแง่ที่หากมี[[ลำดับ]]อยู่สองลำดับ (<math display="inline">a_n</math> และ <math display="inline">h_n</math>) ที่มีนิยามว่า:
:<math>a_{n+1} = \frac{a_n + h_n}{2}, \quad a_0 = x</math>

และ
:<math>h_{n+1} = \frac{2}{\frac{1}{a_n} + \frac{1}{h_n}}, \quad h_0 = y</math>

โดยที่ <math display="inline">a_{n+1}</math> คือ[[มัชฌิมเลขคณิต]]และ <math display="inline">h_{n+1}</math> คือ[[มัชฌิมฮาร์มอนิก]]ของค่าในลำดับก่อน ๆ ของทั้งสองลำดับ แล้ว <math display="inline">a_n</math> และ <math display="inline">h_n</math> จะลู่เข้าหาค่าของมัชฌิมเรขาคณิตของ <math display="inline">x</math> และ <math display="inline">y</math> ทั้งสองลำดับจะลู่เข้าหาลิมิตเดียวกัน และคงสภาพของมัชฌิมเรขาคณิตไว้:
:<math>\sqrt{a_i h_i} =
  \sqrt{\frac{a_i + h_i}{\frac{a_i + h_i}{h_i a_i}}} =
  \sqrt{\frac{a_i + h_i}{\frac{1}{a_i} + \frac{1}{h_i}}} =
  \sqrt{a_{i+1} h_{i+1}}
</math>

และได้ผลลัพธ์เดียวกันเมื่อแทนที่มัชฌิมเลขคณิตกับฮาร์มอนิกด้วย[[มัชฌิมทั่วไป]] (generalized mean) สองค่าที่มีเลขชี้กำลัง <math>p</math> เป็นจำนวนจำกัดที่มีค่าตรงข้ามกัน เช่น 1 กับ -1

===ความสัมพันธ์กับลอการิทึม===
มัชฌิมเรขาคณิตสามารถถูกแสดงออกในรูป[[เลขชี้กำลัง]]ของมัชฌิมเลขคณิตของ[[ลอการิทึม]]ได้<ref>{{cite book 
  |title=Statistics: An Introduction using R 
  |first=Michael J. |last=Crawley
  |publisher=John Wiley & Sons Ltd.
  |year=2005 
  |isbn=9780470022986 
}}</ref> การคูณสามารถแสดงออกเป็นผลรวมและการยกกำลังสามารถแสดงออกเป็นการคูณได้โดยใช้[[รายชื่อเอกลักษณ์ลอการิทึม|เอกลักษณ์ลอการิทึม]]เพื่อแปลงสภาพของสูตร:

โดยที่ <math>a_1, a_2, \dots, a_n > 0</math>
: <math>\left( \prod_{i=1}^n a_i \right)^\frac{1}{n} = \exp\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln a_i\right];</math> 

:เพราะ 
:<math>\begin{align}
\left ( \prod_{i=1}^{n}a_i \right )^{\frac{1}{n}}&= \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\\
&=e ^{\ln( a_1a_2\cdots a_n)^{1/n}}\\
&=e ^{\frac{1}{n}\left (\ln a_1+\ln a_2+\cdots +\ln a_n \right )}\\
&=e ^{{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln a_i}}\\
 \text{geometric mean(}a\text{)}&=e^{\text{arithmetic mean(ln(}a\text{))}}
 \end{align}</math> 

หรือสามารถใช้ฐานเป็น[[จำนวนจริง]]บวกใด ๆ ก็ตามทั้งในลอการิทึมและเลขยกกำลัง 

นอกจากนั้น หากให้ <math>a_i</math> เป็นจำนวนลบได้
: <math>\left( \prod_{i=1}^n a_i \right)^\frac{1}{n} = \left(\left(-1\right)^m\right)^\frac{1}{n} \exp\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln \left|a_i\right| \right],</math>  
โดยที่ {{math|''m''}} คือจำนวนของ[[จำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ|จำนวนลบ]]

นี่บางครั้งถูกเรียกว่า '''log-average''' (อย่าสับสนกับ[[มัชฌิมลอการิทึม]] (logarithmic average)) เพราะเป็นการคำนวณหาค่า[[มัชฌิมเลขคณิต]]ของค่า <math>a_i</math> ที่ถูกแปลงเป็นรูปลอการิทึม (กล่าวคือเป็นมัชฌิมเลขคณิตในมาตราส่วนลอการิทึม) แล้วจากนั้นใช้การยกกำลังเพื่อแปลงการคำนวณกลับไปยังมาตราส่วนเดิม นั่นคือ เป็น[[มัชฌิมกึ่งเลขคณิต]] (Quasi-arithmetic mean) ที่ <math>f(x) = \log x</math> ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเรขาคณิตของ 2 กับ 8 สามารถคำนวณหาได้ดังนี้ โดย <math>b</math> เป็นฐานค่าใดก็ตามของ[[ลอการิทึม]] (โดยทั่วไปจะเท่ากับ 2 [[e (ค่าคงตัว)|ค่า <math>e</math>]] หรือ 10):
:<math>b^{\frac{1}{2}\left[\log_b (2) + \log_b (8)\right]} = 4</math>

สำหรับชุดข้อมูล <math>a_1, \ldots, a_n</math> เราสามารถมองค่ามัชฌิมเรขาคณิตได้ว่าเป็นค่าที่จะให้[[การหาค่าเหมาะที่สุด|ค่าต่ำสุด]]ของฟังก์ชัน
:<math>f(a) = \sum_{i=1}^n (\log(a_i) - \log(a))^2 = \sum_{i=1}^n (\log(a_i/a) )^2</math>, 

โดยทั่วไป รูปลอการิทึมเป็นทางเลือกที่ได้รับความนิยมในการปฏิบัติใช้มัชฌิมเรขาคณิตใน[[ภาษาคอมพิวเตอร์]] เพราะการคำนวณผลคูณของจำนวนหลายจำนวนอาจนำให้เกิด[[สภาวะน้อยเกินเก็บเลขคณิต|สภาวะน้อยเกินเก็บ]] (arithmetic underflow) หรือ[[จำนวนเต็มมากเกินเก็บ|สภาวะมากเกินเก็บเลขคณิต]] (arithmetic overflow) ซึ่งมีโอกาสเกิดน้อยกว่าในกรณีของการหาผลรวมของลอการิทึมของจำนวนแต่ละจำนวน

===เปรียบเทียบกับมัชฌิมเลขคณิต===
[[ไฟล์:QM_AM_GM_HM_inequality_visual_proof.svg|thumb|x150px|[[การพิสูจน์โดยไม่ใช้คำพูด]]เชิงเรขาคณิตว่า {{nowrap|''max''&thinsp;(''a'',''b'')}} &gt; {{nowrap|รูตมีนสแควร์ ('''RMS''')}} หรือ{{nowrap|[[ค่าเฉลี่ยกำลังสอง]] ('''QM''')}} &gt; {{nowrap|[[มัชฌิมเลขคณิต]] ('''AM''')}} &gt; {{nowrap|[[มัชฌิมเรขาคณิต]] ('''GM''')}} &gt; {{nowrap|[[มัชฌิมฮาร์มอนิก]] ('''HM''')}} &gt; {{nowrap|''min''&thinsp;(''a'',''b'')}} ของจำนวนบวกที่ต่างกันสองจำนวน ''a'' และ ''b''<ref>ถ้า <math>NM = a</math> และ <math>PM = b</math> แล้ว <math>AM = AM</math> ของ {{mvar|a}} กับ {{mvar|b}} และรัศมี <math>r = AQ = AG</math><br />ใช้[[ทฤษฎีบทพีทาโกรัส]]ได้ <math>QM^2 = AQ^2 + AM^2 \therefore QM = \sqrt{AQ^2 + AM^2}</math><br />ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ <math>AM^2 = AG^2 + GM^2 \therefore GM = \sqrt{AM^2 - AG^2}</math><br />ใช้[[ความคล้าย (เรขาคณิต)|รูปสามเหลี่ยมคล้าย]]ได้ <math>\frac{HM}{GM} = \frac{GM}{AM} \therefore HM = \frac{GM^2}{AM}</math></ref>]]
{{stack|[[ไฟล์:AM_GM_inequality_visual_proof.svg|thumb|x150px|การพิสูจน์[[อสมการของมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต]][[การพิสูจน์โดยไม่ใช้คำพูด|โดยไม่ใช้คำพูด]] (Proof without words):<br>
<br>
<math>PR</math> คือ[[เส้นผ่านศูนย์กลาง]]ของรูปวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง <math>O</math>; รัศมี <math>AO</math> คือ[[มัชฌิมเลขคณิต]]ของ <math>a</math> กับ <math>b</math>; [[ส่วนสูง (รูปสามเหลี่ยม)|ส่วนสูง]] <math>GQ</math> ของ{{nowrap|รูปสามเหลี่ยม <math>PGR</math>}} คือ[[มัชฌิมเรขาคณิต]]จาก[[ทฤษฎีบทมัชฌิมเรขาคณิต]] (geometric mean theorem) <br>
<br>
{{nowrap|<math>AO\ge GQ</math>}} สำหรับอัตราส่วน {{nowrap|<math>a:b</math> ใด ๆ}}]]}}
{{หลัก|อสมการของมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต}}
มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูลของจำนวน (บวก) จะมีค่ามากที่สุดไม่เกินไปกว่ามัชฌิมเลขคณิตของมันเสมอ และจะเท่ากันก็ต่อเมื่อทุก ๆ จำนวนในชุดข้อมูลมีค่าเท่ากัน มิเช่นนั้นมัชฌิมเรขาคณิตจะมีค่าน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเรขาคณิตของ 2 กับ 3 คือ 2.45 ในขณะที่มัชฌิมเลขคณิตเท่ากับ 2.5 

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าเมื่อเซตของจำนวนที่ไม่เหมือนกันถูกทำให้[[การกระจายที่คงสภาพมัชฌิม|กระจายโดยคงสภาพมัชฌิม]] (mean-preserving spread) กล่าวคือสมาชิกของเซต "กระจายออกจากกัน" มากขึ้นแต่ไม่ทำให้มัชฌิมเลขคณิตเปลี่ยนไป มัชฌิมเรขาคณิตจะมีค่าน้อยลง<ref>{{cite journal 
  |last=Mitchell |first=Douglas W. 
  |title=More on spreads and non-arithmetic means
  |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2004-03_88_511/page/n143 |journal=The Mathematical Gazette
  |volume=88 |year=2004 |pages=142–144 
  |doi=10.1017/S0025557200174534 |s2cid=168239991 
}}</ref>

===อัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย===
ในบางกรณี มัชฌิมเรขาคณิตเป็นค่าที่ใช้วัดอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ยของปริมาณจำเพาะหนึ่งได้ดี อาทิหากคำสั่งซื้อต่อปีเพิ่มขึ้นร้อยละ 80 และร้อยละ 25 ในปีถัดไป ผลจะเท่ากับการมีอัตราการเติบโตคงที่ร้อยละ 50 เพราะมัชฌิมเรขาคณิตของ 1.80 กับ 1.25 คือ 1.50 ในการหาอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย ไม่จำเป็นต้องหาผลคูณของอัตราการเติบโตที่วัดได้มาในทุก ๆ ขั้น หากให้ปริมาณมาเป็นลำดับของ <math>a_0, a_1,..., a_n</math> โดยที่ <math>n</math> คือจำนวนขั้นจากเริ่มต้นจนจบ อัตราการเติบโตระหว่างการวัดแต่ละครั้ง <math>a_k</math> และ <math>a_{k+1}</math> คือ <math>a_{k+1}/a_k</math> มัชฌิมเรขาคณิตของอัตราการเติบโตเหล่านี้จึงเท่ากับ:
:<math>\left( \frac{a_1}{a_0} \frac{a_2}{a_1} \cdots \frac{a_n}{a_{n-1}} \right)^\frac{1}{n} = \left(\frac{a_n}{a_0}\right)^\frac{1}{n}.</math>

==การประยุกต์ใช้กับค่าที่ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน==
สมบัติพื้นฐานของมัชฌิมเรขาคณิตซึ่งมัชฌิมชนิดอื่น ๆ ไม่มีคือ หากมีลำดับสองลำดับ <math>X</math> และ <math>Y</math> ที่ความยาวเท่ากัน

: <math>\operatorname{GM}\left(\frac{X_i}{Y_i}\right) = \frac{\operatorname{GM}(X_i)}{\operatorname{GM}(Y_i)}</math>

จะทำให้มัชฌิมเรขาคณิตเป็นมัชฌิมชนิดเดียวที่ถูกต้องเมื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ซึ่ง''ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน'' (normalized) กล่าวคือผลลัพธ์ซึ่งแสดงออกเป็นอัตราส่วนกับค่าอ้างอิง<ref>{{cite journal 
  |first1=Philip J. |last1=Fleming |first2=John J. |last2=Wallace 
  |title=How not to lie with statistics: the correct way to summarize benchmark results 
  |journal=Communications of the ACM 
  |volume=29 |issue=3 |pages=218–221 |year=1986 
  |doi=10.1145/5666.5673 |s2cid=1047380 
}}</ref>  กรณีเช่นนี้เกิดขึ้นเมื่อต้องการแสดงประสิทธิภาพของ[[คอมพิวเตอร์]]เมื่อเทียบกับคอมพิวเตอร์ที่นำมาอ้างอิง หรือเมื่อต้องการคำนวณดัชนีค่าเฉลี่ยค่าเดียวจากแหล่งที่ไม่เป็นแบบเดียวกัน (เช่น[[การคาดหมายคงชีพ]] ระยะเวลาการศึกษา และอัตราการเสียชีวิตทารก) ในสถานการณ์เหล่านี้ การใช้มัชฌิมเลขคณิตหรือฮาร์มอนิกจะเปลี่ยนการจัดลำดับของผลลัพธ์โดยขึ้นอยู่กับค่าที่ใช้อ้างอิง ยกตัวอย่างเช่นการเปรียบเทียบเวลากระทำการของ[[โปรแกรมคอมพิวเตอร์]]ต่าง ๆ ดังต่อไปนี้:

'''ตาราง 1'''
{| class="wikitable"
|-
! &nbsp; !! คอมพิวเตอร์ A !! คอมพิวเตอร์ B !! คอมพิวเตอร์ C
|-
| '''โปรแกรม 1''' || 1 || 10 || 20
|-
| '''โปรแกรม 2''' || 1000 || 100 || 20
|-
| '''มัชฌิมเลขคณิต''' || 500.5 || 55 || '''20'''
|-
| '''มัชฌิมเรขาคณิต''' || 31.622 . . . || 31.622 . . . || '''20'''
|-
| '''มัชฌิมฮาร์มอนิก''' || '''1.998 . . .''' || 18.182 . . . || 20
|}

ทั้งมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิตเห็นพ้องกันว่าคอมพิวเตอร์ C มีความเร็วประมวลผลสูงที่สุด ทว่าเมื่อเราแสดงด้วยค่าที่ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐานอย่างถูกต้องแล้ว ''แล้ว''ใช้ค่ามัชฌิมเลขคณิต เราแสดงให้เห็นได้ว่าคอมพิวเตอร์ทั้งสองเครื่องเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด หากใช้ A เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต A จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด:

'''ตาราง 2'''
{| class="wikitable"
|-
! &nbsp; !! คอมพิวเตอร์ A !! คอมพิวเตอร์ B !! คอมพิวเตอร์ C
|-
| '''โปรแกรม 1''' || 1 || 10 || 20
|-
| '''โปรแกรม 2''' || 1 || 0.1 || 0.02
|-
| '''มัชฌิมเลขคณิต''' || '''1''' || 5.05 || 10.01
|-
| '''มัชฌิมเรขาคณิต''' || 1 || 1 || '''0.632 . . .'''
|-
| '''มัชฌิมฮาร์มอนิก''' || 1 || 0.198 . . . || '''0.039 . . .'''
|}

ในขณะที่หากใช้ B เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต คอมพิวเตอร์ B จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด แต่หากอ้างอิงตามมัชฌิมฮาร์มอนิก คอมพิวเตอร์ A จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด:

'''ตาราง 3'''

{| class="wikitable"
|-
! &nbsp; !! คอมพิวเตอร์ A !! คอมพิวเตอร์ B !! คอมพิวเตอร์ C
|-
| '''โปรแกรม 1''' || 0.1 || 1 || 2
|-
| '''โปรแกรม 2''' || 10 || 1 || 0.2
|-
| '''มัชฌิมเลขคณิต''' || 5.05 || '''1''' || 1.1
|-
| '''มัชฌิมเรขาคณิต''' || 1 || 1 || '''0.632'''
|-
| '''มัชฌิมฮาร์มอนิก''' || '''0.198 . . .''' || 1 || 0.363 . . .
|}

และเมื่อใช้ C เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต คอมพิวเตอร์ C จะเร็วที่สุด แต่เมื่ออ้างอิงตามมัชฌิมฮาร์มอนิก คอมพิวเตอร์ A จะเร็วที่สุด:

'''ตาราง 4'''

{| class="wikitable"
|-
! &nbsp; !! คอมพิวเตอร์ A !! คอมพิวเตอร์ B !! คอมพิวเตอร์ C
|-
| '''โปรแกรม 1''' || 0.05 || 0.5 || 1
|-
| '''โปรแกรม 2''' || 50 || 5 || 1
|-
| '''มัชฌิมเลขคณิต''' || 25.025 || 2.75 || '''1'''
|-
| '''มัชฌิมเรขาคณิต''' || 1.581 . . . || 1.581 . . . || '''1'''
|-
| '''มัชฌิมฮาร์มอนิก''' || '''0.099 . . .''' || 0.909 . . . || 1
|}

ในทุก ๆ กรณี ลำดับความเร็วที่อ้างอิงตามมัชฌิมเรขาคณิตคงลำดับเดิมเหมือนกับที่ได้จากค่าที่ยังไม่ได้ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน

อย่างไรก็ตาม การให้เหตุผลแนวนี้ถูกตั้งคำถาม<ref>{{cite journal 
  |first=James E. |last=Smith 
  |title=Characterizing computer performance with a single number
  |journal=Communications of the ACM 
  |volume=31 |issue=10 |pages=1202–1206 |year=1988 
  |doi=10.1145/63039.63043|s2cid=10805363 
}}</ref> การได้ผลลัพธ์อย่างคงเส้นคงวาไม่ได้หมายความว่าเป็นผลลัพธ์ที่ถูกต้องเสมอไป โดยทั่วไปแล้ว จะเข้มงวดกว่าหากกำหนดให้แต่ละโปรแกรมมีน้ำหนักของตัวเอง คำนวณเวลากระทำการเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนัก (ด้วยมัชฌิมเลขคณิต) แล้วนำผลลัพธ์นั้นมาใช้เป็นบรรทัดฐานกับคอมพิวเตอร์เครื่องใดเครื่องหนึ่ง ทั้งสามตารางด้านบนเพียงแต่กำหนดน้ำหนักให้กับแต่ละโปรแกรมต่างกัน เป็นเหตุที่ผลลัพธ์ของมัชฌิมเลขคณิตกับฮาร์มอนิกไม่สอดคล้องกัน ([[ตาราง]] 4 ให้น้ำหนักกับทั้งสองโปรแกรมเท่ากัน ตาราง 2 ให้น้ำหนัก 1/1000 กับโปรแกรมที่สอง และตาราง 3 ให้น้ำหนัก 1/100 กับโปรแกรมที่สองและน้ำหนัก 1/10 กับโปรแกรมที่หนึ่ง) ควรหลีกเลี่ยงการใช้งานมัชฌิมเรขาคณิตในการรวบรวมตัวเลขสมรรถภาพ เพราะการคูณเวลากระทำการด้วยกันไม่มีนัยทางกายภาพใด ๆ ซึ่งต่างจากการบวกเข้าด้วยกันสำหรับมัชฌิมเลขคณิต ตัวชี้วัดซึ่งเป็นสัดส่วนผกผันกับเวลา (เช่น[[อัตราความเร็วที่เพิ่มขึ้น]]หรือ[[คำสั่งต่อรอบ]] (Instructions per cycle)) ควรเฉลี่ยด้วยมัชฌิมฮาร์มอนิก

มัชฌิมเรขาคณิตและมัชฌิมเรขาคณิตถ่วงน้ำหนักสามารถหาได้จาก[[ลิมิตของฟังก์ชัน|ลิมิต]]ของ[[มัชฌิมทั่วไป]]เมื่อกำหนดให้เลขชี้กำลัง <math>p</math> มีค่าเข้าใกล้ศูนย์

==มัชฌิมเรขาคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่อง==
หาก <math>f:[a,b]\to(0, \infty)</math> เป็นฟังก์ชันค่าจริงบวกต่อเนื่อง มัชฌิมเรขาคณิตของมันในช่วงนี้คือ

:<math>\text{GM}[f] = \exp\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b\ln f(x)dx\right)</math>

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเอกลักษณ์ <math>f(x) = x</math> ในช่วงหนึ่งหน่วยแสดงให้เห็นว่ามัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนบวกระหว่าง 0 กับ 1 เท่ากับ <math>\frac{1}{e}</math>

==การประยุกต์ใช้==

===การเติบโตตามสัดส่วน===
{{ข้อมูลเพิ่มเติม|อัตราการเติบโตต่อปีแบบทบต้น}}
มัชฌิมเรขาคณิตเหมาะสมต่อการอธิบายการเติบโตตามสัดส่วนมากกว่า[[มัชฌิมเลขคณิต]] ไม่ว่าจะเป็น[[การเติบโตแบบเลขชี้กำลัง]] (exponential growth) (การเติบโตตามสัดส่วนที่คงที่) หรือการเติบโตแบบแปรผัน มัชฌิมเรชาคณิตของอัตราการเติบโตเป็นที่รู้จักในสาขาบริหารธุรกิจว่า[[อัตราการเติบโตต่อปีแบบทบต้น]] (compound annual growth rate; CAGR) มัชฌิมเรขาคณิตของการเติบโตในช่วงเวลาระยะหนึ่งให้ผลลัพธ์เป็นอัตราการเติบโตแบบคงที่ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ในตอนสุดท้ายเท่ากัน 

สมมุติว่าต้นส้มออกผลส้ม 100 ลูกในปีหนึ่ง จากนั้น 180, 210 และ 300 ลูกในปีถัด ๆ ไป อัตราการเติบโตของแต่ละปีจึงเท่ากับร้อยละ 80, 16.6666 และ 42.8571 ตามลำดับ เมื่อเราคำนวณหาอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย (เชิงเส้น) ด้วย[[มัชฌิมเลขคณิต]]ได้เท่ากับร้อยละ 46.5079 (80% + 16.6666% + 42.8571% แล้วหารด้วย 3) แต่หากเราเริ่มจากส้ม 100 ลูกและให้ออกผลเติบโตร้อยละ 46.5079 ต่อปี ผลลัพธ์จะได้ผลส้ม 314 ลูก ซึ่งไม่ใช่ 300 ค่าเฉลี่ยเชิงเส้นจึงให้ผลลัพธ์ที่เกินจริงไปจากการเติบโตต่อปี

แต่หากเราใช้มัชฌิมเรขาคณิตแทน การเติบโตร้อยละ 80 คือการคูณด้วย 1.80 เราจึงหามัชฌิมเรขาคณิตของ 1.80, 1.166666 และ 1.428571 กล่าวคือ<math>\sqrt[3]{1.80 \times 1.166666 \times 1.428571} \approx 1.442249</math> ดังนั้น อัตราการเติบโต "โดยเฉลี่ย" ต่อปีจึงเท่ากับร้อยละ 44.2249 หากเราเริ่มจากส้ม 100 ลูกและให้ออกผลเติบโตร้อยละ 44.2249 ต่อปี ผลลัพธ์จะได้ผลส้ม 300 ลูก

===การเงิน===
มีการนำมัชฌิมเรขาคณิตมาใช้คำนวณดัชนีทางการเงินต่าง ๆ (การเฉลี่ยแต่ละองค์ประกอบของดัชนี) เช่นในอดีต[[ดัชนีเอฟที 30]] (FT 30) ใช้มัชฌิมเรขาคณิต<ref name="Rowley 1987">{{cite book 
  |title=The Financial System Today 
  |first=Eric E. |last=Rowley 
  |publisher=Manchester University Press
  |year=1987 
  |isbn=0719014875 
  |url-access=registration 
  |url=https://archive.org/details/financialsystemt0000rowl 
}}</ref> [[ดัชนีราคาค้าปลีก|ดัชนีวัดอัตราเงินเฟ้อ RPIJ]] ของ[[สหราชอาณาจักร]]และ[[สหภาพยุโรป]]ก็ใช้เช่นกัน<ref>{{cite report
  |url=https://www.data.gov.uk/dataset/bf23a3e4-1dfa-46c9-93f6-4a7d8411fc6b/introducing-the-new-rpij-measure-of-consumer-price-inflation
  |title=Introducing the new RPIJ measure of Consumer Price Inflation 
  |publisher=Office for National Statistics 
  |date=12 มีนาคม 2013
  |first=Derek|last=Bird
  |page=4
}}</ref>

นี่ส่งผลให้ความเคลื่อนไหวภายในดัชนีถูกแสดงออกมาในระดับที่อ่อนลงเมื่อเทียบกับการใช้มัชฌิมเลขคณิต<ref name="Rowley 1987"/>

===สังคมศาสตร์===
แม้จะหาการใช้มัชฌิมเรขาคณิตในการคำนวณสถิติทางสังคมได้ยากพอสมควร แต่เมื่อ ค.ศ. 2010 ดัชนีการพัฒนามนุษย์ของสหประชาชาติได้เปลี่ยนมาคำนวณด้วยวิธีนี้ โดยให้เหตุผลว่าสะท้อนภาพธรรมชาติของสถิติที่รวบรวมมาและนำมาเปรียบเทียบอันไม่สามารถหาสิ่งใดมาทดแทนได้ได้ดีกว่าเดิม:

{{quote|มัชฌิมเรขาคณิตลดระดับการทดแทนกันได้ของแต่ละมิติ และรับรองว่าการลดลงร้อยละ 1 ของการคาดหมายคงชีพเมื่อกำเนิดเป็นต้นจะส่งผลต่อดัชนี HDI เท่ากับการลดลงร้อยละ 1 ในการศึกษาหรือรายได้ ดังนั้น การใช้วิธีการนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการเปรียบเทียบผลสัมฤทธิ์ต่าง ๆ จะเคารพความแตกต่างในตัวเองของแต่ละมิติมากกว่าวิธีการหาค่าเฉลี่ยแบบง่าย<ref>{{cite web
  |url=http://hdr.undp.org/en/statistics/faq/
  |title=Frequently Asked Questions - Human Development Reports
  |website=hdr.undp.org
  |url-status=dead
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20110302103418/http://hdr.undp.org/en/statistics/faq/
  |archive-date=2 มีนาคม 2011
  |quote=The geometric mean reduces the level of substitutability between dimensions and at the same time ensures that a 1 percent decline in say life expectancy at birth has the same impact on the HDI as a 1 percent decline in education or income. Thus, as a basis for comparisons of achievements, this method is also more respectful of the intrinsic differences across the dimensions than a simple average.
}}</ref>
}}

รายได้ที่กระจายอย่างเท่าเทียมสวัสดิการเทียบเท่าของ[[ดัชนีแอตคินสัน]] (Atkinson Index) ที่มีตัวแปร[[ความรังเกียจความไม่เท่าเทียม]] (inequality aversion) <math>\epsilon = 1.0</math> คือมัชฌิมเรขาคณิตของรายได้ทั้งหมด ส่วนเมื่อตัวแปรนั้นมีค่าที่ไม่เท่ากับ 1 รายได้ดังกล่าวจะมีค่าเท่ากับ[[ปริภูมิ Lp|ค่านอร์ม <math>L^p</math>]] (<math>L^p</math> space) หารด้วยจำนวนของข้อมูล โดย <math>p = 1 - \epsilon</math>

===เรขาคณิต===
[[ไฟล์:right_angle_altitude.svg|thumb|right|ความสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากวัดจากมุมฉากไปยัง[[ด้านตรงข้ามมุมฉาก]]คือมัชฌิมเรขาคณิตของความยาวของทั้งสองส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากที่ถูกแบ่งเป็นสองส่วน ใช้[[ทฤษฎีบทพีทาโกรัส]]กับสามเหลี่ยมทั้งสามรูปของด้าน {{nowrap|(''p''&thinsp;+&thinsp;''q'', ''r'', ''s''&#8202;)}}, {{nowrap|(''r'', ''p'', ''h''&#8202;)}} และ {{nowrap|(''s'', ''h'', ''q''&#8202;)}} ได้<br style="margin-bottom:1ex;" />
<math>\begin{align}
            (p + q)^2 \;\; &= \quad r^2 \;\;\, + \quad s^2 \\
 p^2 \!\!+\! 2pq \!+\! q^2 &= \overbrace{p^2 \!\!+\! h^2} + \overbrace{h^2 \!\!+\! q^2} \\
           2pq \quad\;\;\; &= 2h^2 \; \therefore h \!=\! \sqrt{pq} \\
\end{align}</math>]]
ในกรณีของ[[รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก]] ความสูงคือความยาวของเส้นตรงที่ลากจากมุมฉากไปตั้งฉากกับ[[ด้านตรงข้ามมุมฉาก]] เส้นนี้แบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นสองส่วน และมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองส่วนนี้คือความสูงของรูปสามเหลี่ยมนั้น สมบัตินี้มีชื่อว่า[[ทฤษฎีบทมัชฌิมเรขาคณิต]]

ในกรณีของ[[วงรี]] [[กึ่งแกนโท]]คือมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางที่ยาวที่สุดกับระยะทางที่สั้นที่สุดจาก[[โฟกัส]]ไปยังวงรี และเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของ[[กึ่งแกนเอก]]กับ[[ภาคตัดกรวย#เซมิเลตัสเรกตัม_และ_ระบบพิกัดเชิงขั้ว|กึ่งเลตัสเรกตัม]] และ[[กึ่งแกนเอก]]คือมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังโฟกัสจุดใดก็ตามกับระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยัง[[เส้นบังคับ]] (Directrix (conic section)) เส้นใดก็ตาม

หรือกล่าวได้อีกแบบว่า หากมีรูปวงกลมรัศมีเท่ากับ <math>r</math> เลือกจุดสองจุดซึ่งอยู่ตรงข้ามกันบนรูปวงกลม แล้วกดให้เปลี่ยนรูปกลายเป็นวงรีโดยมีกึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโทเท่ากับ <math>a</math> และ <math>b</math> ตามลำดับ เนื่องจากพื้นที่ของวงกลมรูปเดิมกับวงรีรูปที่ได้มามีค่าเท่ากัน เรากล่าวได้ว่า

<math>
\begin{align}
\pi r^2 &= \pi a b \\

 r^2 &= a b \\
 
r &= \sqrt{a  b}
\end{align}
</math>

รัศมีของวงกลมเดิมคือมัชฌิมเรขาคณิตของกึ่งแกนเอกกับกึ่งแกนโทของวงรีที่ได้มาจากการเปลี่ยนรูปวงกลมรูปนั้น

ระยะทางไปยัง[[ขอบฟ้า]]ของ[[ทรงกลม]]มีค่าประมาณเท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่อยู่ใกล้ที่สุดกับระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่ไกลที่สุด หากกำหนดให้ระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่ใกล้ที่สุดมีค่าน้อย

มัชฌิมเรขาคณิตถูกนำมาใช้ในการประมาณ[[การสร้างจัตุรัสพื้นที่เท่ารูปวงกลม|จัตุรัสพื้นที่เท่ารูปวงกลม]] (squaring the circle) ของ[[ศรีนิวาสะ รามานุชัน]]<ref>{{cite journal
 | last = Ramanujan | first = S. | author-link = ศรีนิวาสะ รามานุชัน
 | journal = Quarterly Journal of Mathematics
 | pages = 350–372
 | title = Modular equations and approximations to {{pi}}
 | url = http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram06.pdf
 | volume = 45
 | year = 1914
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20221109150241/http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram06.pdf
 |archive-date=9 พฤศจิกายน 2022
 |url-status=live
}}</ref> และการสร้าง[[รูปสิบเจ็ดเหลี่ยม]]ด้วย "mean proportional"<ref>{{cite book
  |first=T.P. |last=Stowell 
  |url=https://books.google.com/books?id=qVfxAAAAMAAJ 
  |orig-year=1818
  |chapter=Extract from Leybourn's Math. Repository
  |title=The Analyst
  |volume=3-4
  |publisher=Mills & Company
  |date=1876 
  |via= Google Books
}}</ref>

===อัตราส่วนลักษณะ===
[[ไฟล์:Dr. Kerns Powers, SMPTE derivation of 16-9 aspect ratio.svg|thumb|right|การเปรียบเทียบพื้นที่เท่าระหว่างอัตราส่วนลักษณะต่าง ๆ ที่เคินส์ พาวเวอส์ ใช้เพื่อหามาตรฐาน[[สมาคมวิศวกรภาพยนตร์และโทรทัศน์|เอสเอ็มพีทีอี]] [[อัตราส่วนลักษณะ 16:9|16:9]]<ref name="Cinemasource" /> สีแดงคือ {{colorbox|red}}{{nbsp}}TV 4:3/1.33 สีส้มคือ {{colorbox|orange}}{{nbsp}}1.66 สีน้ำเงินคือ {{colorbox|blue}}{{nbsp}}'''16:9/1.7{{overline|7}}''' สีเหลืองคือ {{colorbox|#aaaa00}}{{nbsp}}1.85 สีม่วงคือ {{colorbox|purple}}{{nbsp}}[[Panavision]]/2.2 และสีชมพูคือ {{colorbox|pink}}{{nbsp}}[[CinemaScope]]/2.35 ]]
มัชฌิมเรขาคณิตถูกใช้ในการเลือก[[อัตราส่วนลักษณะ]]ประนีประนอมในภาพยนตร์และภาพเคลื่อนไหว กล่าวคือหากมีอัตราส่วนลักษณะอยู่สองแบบ มัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองจะเป็นอัตราส่วนลักษณะที่ประนีประนอมระหว่างทั้งสองที่ทำให้บิดเบี้ยวหรือสูญเสียภาพไปเท่า ๆ กันในแง่หนึ่ง ในเชิงรูปธรรม รูปสี่เหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน (ที่จุดศูนย์กลางเดียวกันและมีด้านที่ขนานกัน) แต่มีอัตราส่วนลักษณะต่างกัน มี[[ส่วนร่วม]]กันเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีอัตราส่วนลักษณะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสอง และเปลือกนอกของมัน (รูปสี่เหลี่ยมขนาดเล็กที่สุดที่ครอบรูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูป) ก็มีอัตราส่วนลักษณะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองเช่นกัน

ในการหาสมดุลระหว่างอัตราส่วนลักษณะ [[CinemaScope]]{{nbsp}}2.35 กับ 4:3 มัชฌิมเรขาคณิตเท่ากับ <math display="inline">\sqrt{2.35 \times \frac{4}{3}} \approx 1.7701</math> 
[[สมาคมวิศวกรภาพยนตร์และโทรทัศน์|เอสเอ็มพีทีอี]] (SMPTE) จึงเลือกอัตราส่วนลักษณะ <math display="inline">16:9 = 1.77\overline{7}</math> เคินส์ พาวเวอส์ (Kerns Powers) ค้นพบอัตราส่วนลักษณะนี้ผ่านวิธีการ[[หลักฐานเชิงประสบการณ์|เชิงประจักษ์]] เขาตัดรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นพื้นที่เท่ากันและตัดออกให้มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับอัตราส่วนที่มีใช้อยู่แพร่หลายในขณะนั้น เมื่อนำมาซ้อนกันโดยวางจุดศูนย์กลางให้ตรงกัน เขาพบว่ารูปสี่เหลี่ยมอัตราส่วนลักษณะทั้งหมดใส่พอดีกับรูปสี่เหลี่ยมภายนอกที่มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับ 1.77:1 และทั้งหมดก็คลุมพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมภายในร่วมกันที่มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับ 1.77:1 เช่นกัน<ref name="Cinemasource">{{cite book 
  |url=http://www.cinemasource.com/articles/aspect_ratios.pdf#page=8 
  |title=TECHNICAL BULLETIN: Understanding Aspect Ratios 
  |chapter=The Father Of 16:9
  |page=8
  |website=The CinemaSource Press 
  |year=2001 
  |access-date=24 ตุลาคม 2009
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20090909132530/http://www.cinemasource.com/articles/aspect_ratios.pdf#page=8 
  |archive-date=9 กันยายน 2009
  |url-status=dead
}}</ref> 

เมื่อใช้เทคนิคหามัชฌิมเรขาคณิตแบบเดียวกันกับอัตราส่วนลักษณะ 16:9 และ 4:3 จะได้ผลลัพธ์โดยประมาณเท่ากับ[[อัตราส่วนลักษณะ 14:9]] (<math display="inline">1.55\overline{5}</math>...) ซึ่งในแบบเดียวกัน เป็นการประนีประนอมระหว่างอัตราส่วนทั้งสอง<ref>{{cite patent | title = Method of showing 16:9 pictures on 4:3 displays | country = US | number = 5956091 | gdate = 21 กันยายน 1999|inventor=DREWERY; JOHN OLIVER; DEVEREUX; VICTOR GERALD}}</ref>

=== ขนาดกระดาษ ===
มัชฌิมเรขาคณิตถูกใช้คำนวณขนาดกระดาษซีรีส์ B และ C กระดาษขนาด <math>B_n</math> มีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษขนาด <math>A_n</math> กับ <math>A_{n-1}</math> ตัวอย่างเช่น พื้นที่ของกระดาษ B1 เท่ากับ <math>\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm m^2</math> เพราะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษ A0 (<math>1\mathrm m^2</math>) กับของกระดาษ A1 (<math>\frac{1}{2}\mathrm m^2</math>) 

<math>\sqrt{1\mathrm m^2 \cdot \frac{1}{2}\mathrm m^2}=\sqrt{\frac{1}{2}\mathrm m^4}=\frac{1}{\sqrt 2}\mathrm m^2= \frac{\sqrt 2}{2}\mathrm m^2</math>

ขนาดกระดาษซีรีส์ C ใช้หลักการเดียวกัน โดยมีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของขนาดกระดาษซีรีส์ A และ B ตัวอย่างเช่น [[กระดาษ]] C4 มีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษ A4 และ B4

ข้อได้เปรียบของความสัมพันธ์แบบนี้คือกระดาษ A4 สามารถใส่ลงในซองกระดาษขนาด C4 ได้พอดี และกระดาษทั้งสองใส่ลงในซองกระดาษขนาด B4 ได้พอดี

===อื่น ๆ===
*''[[ความราบเชิงสเปกตรัม]]'' (Spectral flatness) ใน[[การประมวลผลสัญญาณ]]คือหน่วยวัดความแบนราบหรือความแหลมของสเปกตรัม มีนิยามเป็นอัตราส่วนระหว่างมัชฌิมเรขาคณิตกับมัชฌิมเลขคณิตของสเปกตรัมกำลัง
*''[[สารเคลือบกันแสงสะท้อน]]'' (Anti-reflective coatings) เป็นสารเคลือบที่ลดการสะท้อนระหว่างสื่อกลางสองประเภทที่มีดัชนีหักเหเท่ากับ <math>n_0</math> และ <math>n_2</math> โดยดัชนีหักเหที่ดีที่สุดของสารเคลือบกันแสงสะท้อน <math>n_1</math> จะเท่ากับมัชฌิมเรขาคณิต <math>n_1 = \sqrt{n_0 n_2}</math>
*ใน''การผสมสีเชิงลบ'' (Subtractive color mixing) [[ความสะท้อน|เส้นโค้งความสะท้อนเชิงสเปกตรัม]] (spectral reflectance curve) ของ[[การผสมสี|ส่วนผสมของสี]] (Color mixing) ที่มี[[ระดับอ่อน ระดับคล้ำ และน้ำหนักสี|ระดับอ่อน]] (Tint, shade and tone) [[ความทึบแสง]] (Opacity (optics)) และ[[ความเข้มข้น|ความเจือจาง]]เท่ากัน จะมีค่าโดยประมาณเท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของเส้นโค้งความสะท้อนของสีแต่ละสี โดยคำนวณที่แต่ละความยาวคลื่นใน[[สเปกตรัมแม่เหล็กไฟฟ้า|สเปกครัม]]ของสีเหล่านั้น<ref>{{cite web
  |url=http://handprint.com/HP/WCL/color3.html#mixprofile
  |title=Colormaking Attributes: Measuring Light & Color
  |at=Colorimetry
  |website=handprint.com
  |url-status=live
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20190714005046/http://handprint.com/HP/WCL/color3.html#colorimetry
  |archive-date=14 กรกฎาคม 2019
  |last=MacEvoy|first=Bruce
  |access-date=2 มกราคม 2020
}}</ref>
*''[[ตัวกรองมัชฌิมเรขาคณิต]]'' (geometric mean filter) ถูกใช้ใน[[การประมวลผลภาพดิจิทัล|การประมวลผลภาพ]]เพื่อกรองสิ่งรบกวนออกไป

==ดูเพิ่ม==
{{สถานีย่อย|คณิตศาสตร์}}
{{div col|colwidth=22em}}
*[[การสร้างจัตุรัสพื้นที่เท่า]] (Quadrature (mathematics))
*[[การแจกแจงล็อกปรกติ]] (Log-normal distribution)
*[[ค่าเฉลี่ยกำลังสอง]]
*[[ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเรขาคณิต]] (Geometric standard deviation)
*[[ทฤษฎีบทมัชฌิมเรขาคณิต]]
*[[การคูณ|ผลคูณ]]
*[[พิกัดเชิงไฮเพอร์โบลา]] (Hyperbolic coordinates)
*[[ภาวะความแปรปรวนเท่ากันและภาวะความแปรปรวนต่าง|ภาวะความแปรปรวนต่าง]] (Heteroscedasticity)
*[[มัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต]]
*[[มัชฌิมทั่วไป]]
*[[มัชฌิมฮาร์มอนิก]]
*[[มัชฌิมแบบเฮรอน]] (Heronian mean)
*[[มัชฌิมพีทาโกรัส]]
*[[มัชฌิมกึ่งเลขคณิต]] 
*[[มัชฌิมเรขาคณิตถ่วงน้ำหนัก]] (Weighted geometric mean)
*[[อสมการของมิวร์เฮด]] (Muirhead's inequality)
*[[อัตราผลตอบแทน]] (Rate of return)
{{div col end}}

==หมายเหตุ==
{{รายการหมายเหตุ}}

==อ้างอิง==
{{รายการอ้างอิง}}

==แหล่งข้อมูลอื่น==
*[http://www.sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm เว็บไซต์คำนวณมัชฌิมเรขาคณิตและเลขคณิต]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230208050432/http://www.sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm|date=2023-02-08}}
*[http://www.cut-the-knot.org/Generalization/means.shtml มัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต] (ภาษาอังกฤษ). {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230203112210/http://www.cut-the-knot.org/Generalization/means.shtml|date=2023-02-03}}
*[http://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/geomean.html ควรใช้มัชฌิมเรขาคณิตเมื่อใด] (ภาษาอังกฤษ). {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230203112204/http://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/geomean.html|date=2023-02-03}}
*[http://www.buzzardsbay.org/geomean.htm การคำนวณมัชฌิมเรขาคณิตด้วยข้อมูลชนิดต่าง ๆ] (ภาษาอังกฤษ). {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101112205429/http://www.buzzardsbay.org/geomean.htm |date=2010-11-12 }}
*[http://mathworld.wolfram.com/GeometricMean.html มัชฌิมเรขาคณิตที่เว็บไซต์ MathWorld] (ภาษาอังกฤษ). {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230305161948/https://mathworld.wolfram.com/GeometricMean.html |date=2023-03-05 }}
*[http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/GeometricMean.shtml ความหมายเชิงเรขาคณิตของมัชฌิมเรขาคณิต] (ภาษาอังกฤษ). {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230205145333/https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/GeometricMean.shtml |date=2023-02-05 }}
*[http://www.graftacs.com/geomean.php3 เครื่องคำนวณมัชฌิมเรขาคณิตสำหรับชุดข้อมูลขนาดใหญ่] ([[ภาษาพีเอชพี]])
*[https://www.census.gov/topics/public-sector/congressional-apportionment/about/computing.html การคำนวณการแบ่งสรรปันส่วนที่นั่งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรสหรัฐโดยใช้มัชฌิมเรขาคณิต] (ภาษาอังกฤษ). {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220926040016/https://www.census.gov/topics/public-sector/congressional-apportionment/about/computing.html |date=2022-09-26 }}
*[https://sites.google.com/site/nonnewtoniancalculus/ เว็บไซต์แคลคูลัสแบบนอนนิวโตเนียน] (ภาษาอังกฤษ). {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230213032713/https://sites.google.com/site/nonnewtoniancalculus/ |date=2023-02-13 }}
*[http://www.statisticshowto.com/geometric-mean-2/ นิยามและสูตรของมัชฌิมเรขาคณิต] (ภาษาอังกฤษ). {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230312072935/https://www.statisticshowto.com/geometric-mean/|date=2023-03-12 }}
* {{cite journal
  |first=David A. L. |last=Wilson |first2=Barry |last2=Martin 
  |url=https://www.jstor.org/stable/3621411 
  |title=The Distribution of the Geometric Mean
  |date=มีนาคม 2006
  |journal=The Mathematical Gazette 
  |volume=90|issue=517|pages=40-49
  |jstor=3621411 
  |language=en
}}  
* {{cite journal
  |first=Richard M. |last=Vogel
  |url=https://sites.tufts.edu/richardvogel/files/2020/04/Geometric-Mean-2020.pdf 
  |date=2020
  |title=The geometric mean?
  |journal=Communications in Statistics - Theory and Meth
  |volume=51|issue=1|pages=82-94
  |issn=1532-415X |doi=10.1080/03610926.2020.1743313
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20230203112209/https://sites.tufts.edu/richardvogel/files/2020/04/Geometric-Mean-2020.pdf
  |archive-date=3 กุมภาพันธ์ 2023
  |url-status=live
  |via=sites.tufts.edu 
  |language=en
}}

[[หมวดหมู่:มัชฌิม]]
[[หมวดหมู่:แคลคูลัสแบบนอนนิวโตเนียน]]