ออกโทเนียน

ในคณิตศาสตร์ ออกโทเนียน (อังกฤษ:octonion) คือพีชคณิตบนฟีลด์การหารมาตรฐานที่อยู่เหนือจำนวนจริง มักจะใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ O ตัวพิมพ์ใหญ่หนา O นอกจากออกโทเนียนแล้วยังมีพีชคณิตบนฟีลด์การหารมาตรฐานอีกสามตัวเหนือจำนวนจริง จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และควอเทอร์เนียน ออกโทเนียนมีแปดมิติ เป็นสองเท่าของจำนวนมิติในควอเทอร์เนียน ออกโทเนียนไม่มีคุณสมบัติการสลับที่และคุณสมบัติการเปลี่ยนหมู่การคูณ แต่มีคุณสมบัติที่อ่อนแอกว่าคุณสมบัติการเปลี่ยนหมู่ นั่นคือคุณสมบัติการมีทางเลือก

ออกโทเนียนไม่เป็นที่รู้จักกันมากเหมือนกับควอเทอร์เนียนหรือจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งถูกศึกษาและใช้งานกันมากกว่า อย่างไรก็ตาม ออกโทเนียนยังมีคุณสมบัติที่น่าสนใจ และเกี่ยวข้องกับโครงสร้างผิดปกติในคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ออกโทเนียนยังมีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีสตริง ทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ และตรรกะควอนตัม

ออกโทเนียนถูกค้นพบในปี ค.ศ. 1843 โดยจอห์น ที. เกรฟส์ โดยได้รับแรงบันดาลใจมาจากการค้นพบควอเทอร์เนียนของเพื่อนของเขา เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน แต่การตีพิมพ์ผลสรุปของเขานั้นช้ากว่าบทความเกี่ยวกับออกโทเนียนของอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ ไปเล็กน้อยเท่านั้น โดยเคย์ลีย์ค้นพบออกโทเนียนเป็นอิสระจากเกรฟส์^[1] และบางครั้งก็เรียกออกโทเนียนว่า จำนวนเคย์ลีย์ หรือ พีชคณิตเคย์ลีย์ นอกจากนี้ แฮมิลตันยังได้เขียนประวัติศาสตร์ช่วงต้นของการค้นพบของเกรฟส์อีกด้วย^[2]

นิยาม

ออกโทเนียนอาจมองให้เป็นหน่วยจำนวนจริงแปดหน่วย ออกโทเนียนทุกตัวคือผลรวมเชิงเส้นของหน่วยออกโทเนียน นั่นคือ {e₀,e₁,e₂,e₃,e₄,e₅,e₆,e₇}, โดยที่ e₀ คือสเกลาร์หรือส่วนจริง อาจใช้จำนวนจริง 1 แทนได้ นั่นคือ ทุกออกโทเนียน x สามารถเขียนได้อยู่ในรูป

x=x₀e₀+x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃+x₄e₄+x₅e₅+x₆e₆+x₇e₇

การบวกลบออกโทเนียนสามารถทำได้โดยการบวกลบพจน์ที่สอดคล้องกันเหมือนควอเทอร์เนียน ในขณะที่การคูณยากกว่านั้น ผลคูณระหว่างออกโทเนียนสองจำนวนสามารถหาได้โดยการรวมผลคูณของทุก ๆ พจน์ ผลคูณของพจน์แต่ละคู่สามารถหาได้จากสูตรคูณของหน่วยออกโทเนียน เช่นตารางนี้เป็นต้น (ตารางนี้เขียนโดยอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ ค.ศ. 1845 และจอห์น ที. เกรฟส์ ค.ศ. 1843)^[3]

		$e_{j}$
	$e_{i} e_{j}$	$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$
$e_{i}$	$e_{0}$	$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$
	$e_{1}$	$e_{1}$	$- e_{0}$	$e_{3}$	$- e_{2}$	$e_{5}$	$- e_{4}$	$- e_{7}$	$e_{6}$
	$e_{2}$	$e_{2}$	$- e_{3}$	$- e_{0}$	$e_{1}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$- e_{4}$	$- e_{5}$
	$e_{3}$	$e_{3}$	$e_{2}$	$- e_{1}$	$- e_{0}$	$e_{7}$	$- e_{6}$	$e_{5}$	$- e_{4}$
	$e_{4}$	$e_{4}$	$- e_{5}$	$- e_{6}$	$- e_{7}$	$- e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$
	$e_{5}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$- e_{7}$	$e_{6}$	$- e_{1}$	$- e_{0}$	$- e_{3}$	$e_{2}$
	$e_{6}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$e_{4}$	$- e_{5}$	$- e_{2}$	$e_{3}$	$- e_{0}$	$- e_{1}$
	$e_{7}$	$e_{7}$	$- e_{6}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$- e_{3}$	$- e_{2}$	$e_{1}$	$- e_{0}$

ตารางนี้สามารถสรุปอย่างคร่าวๆ ได้ดังนี้

$e_{i} e_{j} = {\begin{matrix} e_{j}, & if i = 0 \\ e_{i}, & if j = 0 \\ - δ_{i j} e_{0} + ε_{i j k} e_{k}, & otherwise \end{matrix}$

สังยุค

สังยุคของออกโทเนียน x=x₀e₀+x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃+x₄e₄+x₅e₅+x₆e₆+x₇e₇

คือ x^*=x₀e₀-x₁e₁-x₂e₂-x₃e₃-x₄e₄-x₅e₅-x₆e₆-x₇e₇

ให้สังเกตว่าผลคูณของออกโทเนียนใดๆ กับสังยุคของจำนวนนั้น จะได้จำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

x^*x=x₀²+x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²+x₆²+x₇²

อ้างอิง

↑ . Appendix reprinted in The Collected Mathematical Papers, Johnson Reprint Co., New York, 1963, p. 127
↑ Hamilton (1848), "Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq.", Transactions of the Royal Irish Academy, 21: 338–341
↑ G Gentili, C Stoppato, DC Struppa and F Vlacci (2009), "Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable", in Irene Sabadini; M Shapiro; F Sommen, Hypercomplex analysis (Conference on quaternionic and Clifford analysis; proceedings ed.), Birkhäuser, p. 168, ISBN 978-3-7643-9892-7

[1] . Appendix reprinted in The Collected Mathematical Papers, Johnson Reprint Co., New York, 1963, p. 127

[2] Hamilton (1848), "Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq.", Transactions of the Royal Irish Academy, 21: 338–341

[3] G Gentili, C Stoppato, DC Struppa and F Vlacci (2009), "Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable", in Irene Sabadini; M Shapiro; F Sommen, Hypercomplex analysis (Conference on quaternionic and Clifford analysis; proceedings ed.), Birkhäuser, p. 168, ISBN 978-3-7643-9892-7

[1]

[2]

[3]

ออกโทเนียน

นิยาม

สังยุค

อ้างอิง

รายการนำทางไซต์

ค้นหา