ระบบพิกัดทรงกลม

ระบบพิกัดทรงกลมที่ใช้ θ แทนมุมทิศ และ φ แทนมุมเชิงขั้ว โดยมีแกน z เป็นแกนอ้างอิง และแกน x เป็นทิศอ้างอิง

ระบบพิกัดทรงกลม (แม่แบบ:Langx) เป็นระบบพิกัดสามมิติที่กำหนดตำแหน่งของจุดโดยใช้ ระยะทาง จากจุดกำเนิด มุมเชิงขั้ว ที่วัดจากแกนอ้างอิง และ มุมทิศ ที่วัดจากทิศอ้างอิงของภาพฉายบนระนาบที่ตั้งฉากกับแกน

ในบางที่ ใช้พิกัด มุมยก หรือ ละติจูด แทนมุมเชิงขั้ว

ระบบพิกัดทรงกลมใช้ได้ในหลายแขนงที่นอกเหนือจากคณิตศาสตร์ เช่น ระบบพิกัดภูมิศาสตร์และระบบพิกัดทรงกลมฟ้า

แนวคิดของพิกัดทรงกลมเป็นการขยายระบบพิกัดเชิงขั้วมาใช้ในสามมิติ (ซึ่งทำได้สองวิธี อีกวิธีคือ ระบบพิกัดทรงกระบอก) สามารถขยายออกไปบนปริภูมิในมิติที่สูงขึ้น ได้เป็นพิกัดไฮเพอร์สเฟียร์

นิยาม

จุด P ใด ๆ ในระบบพิกัดทรงกลมแสดงโดยสามสิ่งอันดับ ได้แก่

• รัศมี คือระยะห่างของ P จากจุดกำเนิด O
• มุมเชิงขั้ว คือมุมระหว่างแกนอ้างอิงกับเส้นตรง OP หรืออาจใช้ มุมยก คือมุมที่วัดจากระนาบอ้างอิงขึ้นมาหาเส้นตรง OP ซึ่งเท่ากับ 90 องศาลบด้วยมุมเชิงขั้ว
• มุมทิศ คือมุมที่คิดเครื่องหมาย ระหว่างทิศอ้างอิงและภาพฉายของ OP บนระนาบอ้างอิง

ตามปกติรัศมีจะแทนด้วย r หรือบางครั้ง ρ ส่วนพิกัดมุมทั้งสองมีการใช้สัญกรณ์ต่างกันไป โดยในวิชาคณิตศาสตร์มักใช้ φ แทนมุมทิศและ θ แทนมุมเชิงขั้ว (ซึ่งจะกลับกันกับในระบบพิกัดเชิงขั้วหรือทรงกระบอก) ส่วนในวิชาฟิสิกส์มักใช้ θ แทนมุมทิศและ φ แทนมุมเชิงขั้ว สัญกรณ์แบบฟิสิกส์นี้เป็นมาตรฐานที่แนะนำโดย ISO

ในการใช้ระบบพิกัดทรงกลมที่ r, θ, φ เป็นรัศมี มุมเชิงขั้ว และมุมทิศตามลำดับ เพื่อให้ทุกจุดมีพิกัดแบบเดียว จะต้องจำกัดขอบเขตของพิกัด โดยปกติมักให้ r ≥ 0, 0° ≤ θ ≤ 180° และ 0° ≤ φ < 360°

การแปลงระหว่างระบบพิกัด

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

แกน z ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนถือเป็นแกนอ้างอิงของระบบพิกัดทรงกลม และแกน x ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน แสดงทิศอ้างอิงของระบบพิกัดทรงกลม ได้เป็นสูตรแปลงระบบพิกัดทรงกลม (สัญกรณ์แบบฟิสิกส์) ว่า

$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \theta & =\arccos \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\arccos \frac{z}{r}\\ \phi & =\arctan \frac{y}{x}\end{array}$

และ

$\begin{array}{cc}x& =r\sin \theta \cos \phi \\ y& =r\sin \theta \sin \phi \\ z& =r\cos \theta \end{array}$

ระบบพิกัดทรงกระบอก

การแปลงระหว่างระบบพิกัดทรงกระบอก (รัศมี แม่แบบ:Mvar, มุมทิศ แม่แบบ:Mvar, ความสูง แม่แบบ:Mvar) กับระบบพิกัดทรงกลม (รัศมี แม่แบบ:Mvar, มุมเชิงขั้ว แม่แบบ:Mvar, มุมทิศ แม่แบบ:Mvar) มีสูตรว่า

$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{{\rho }^2+z^2}\\ \theta & =\arctan \frac{\rho }{z}=\arccos \frac{z}{\sqrt{{\rho }^2+z^2}}\\ \phi & =\phi \end{array}$

และ

$\begin{array}{cc}\rho & =r\sin \theta \\ \phi & =\phi \\ z& =r\cos \theta \end{array}$