ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ

ค่า π(n) สำหรับจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 60

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ (แม่แบบ:Langx) มีค่าเท่ากับจำนวนของจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริง x หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะเป็นฟังก์ชันที่หาว่า x เป็นจำนวนเฉพาะลำดับที่เท่าไร เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ π(x)

ประวัติศาสตร์

หัวข้อที่เป็นที่สนใจอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนคืออัตราการเจริญเติบโต ของฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 18 คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ และโดยแม่แบบ:ไม่ตัด เสนอว่าข้อความคาดการณ์ว่า π(x) จะมีค่าใกล้เคียงกลับ

$\frac{x}{\log (x)}$

เมื่อฟังก์ชันลอการิทึมข้างต้นเป็นฟังก์ชันลอการิทึมฐานธรรมชาติ ในความหมายที่ว่า

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{x/\log (x)}=1$

ข้อความข้างต้นรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ (prime number theorem) โดยสมมูลกันกับ

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\pi (x)/\mathrm{li}(x)=1$

เมื่อ li(x) คือฟังก์ชันอินทิกรัลลอการิทึม ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะพิสูจน์ได้ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1896 โดย ฌัก อาดามาร์ และโดย ชาร์ล เดอ ลา วัลเล-ปูแซ็ง อย่างอิสระต่อกัน โดยใช้สมบัติของฟังก์ชันซีตาของรีมันที่ แบร์นฮาร์ท รีมัน เสนอขึ้นในปี ค.ศ. 1859 บทพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช้ฟังก์ชันซีตาหรือไม่ใช้การวิเคราะห์เชิงซ้อนมีขึ้นในราวปี ค.ศ. 1948 โดย อัตเลอ เซลแบรก์ และโดย พอล แอร์ดิช (โดยงานเกือบทั้งหมดเป็นอิสระต่อกัน)

ในปี ค.ศ. 1899 ชาร์ล เดอ ลา วัลเล-ปูแซ็ง ได้พิสูจน์ว่าแม่แบบ:Rp

$\pi (x)=\mathrm{li}(x)+O\left(x{e}^{-a\sqrt{\log x}}\right)\text{as }x\to \mathrm{\infty }$

สำหรับค่าคงที่บวก แม่แบบ:Mvar บางจำนวน โดยที่ แม่แบบ:Math คือ สัญกรณ์โอใหญ่

ตอนนี้ทราบค่าประมาณของ $\pi (x)$ ที่แม่นยำยิ่งขึ้นแล้ว ตัวอย่างเช่น ในปี ค.ศ. 2002 เควิน ฟอร์ด ได้พิสูจน์ว่า

$\pi (x)=\mathrm{li}(x)+O(x\exp (-0.2098(\log x{)}^{\frac{3}{5}}(\log \log x{)}^{-\frac{1}{5}}))$

จากการพิสูจน์ของ Mossinghoff และ Trudgian ขอบเขตบนชัดแจ้งสำหรับผลต่างระหว่างฟังก์ชัน $\pi (x)$ และ $\mathrm{li}(x)$ เป็นไปตามสมการ

$|\pi (x)-\mathrm{li}(x)|\le 0.2593\frac{x}{(\log x{)}^{3/4}}\exp (-\sqrt{\frac{\log x}{6.315}})$

สำหรับ $x\ge 229$

สำหรับค่าส่วนใหญ่ของ $x$ ที่เราสนใจ (เช่น เมื่อ $x$ ไม่มีค่ามากเกินไป) $\mathrm{li}(x)$ จะมีค่ามากกว่า $\pi (x)$ อย่างไรก็ตามฟังก์ชัน $\pi (x)-\mathrm{li}(x)$ เป็นที่ทราบกันว่ากลับค่าระหว่างบวกและลบเป็นอนันต์ครั้ง สำหรับการพิจารณาในเรื่องนี้ โปรดดูที่ จำนวนสกีว

รูปแบบแม่นตรง

สำหรับ $x>1$ ให้ ${\pi }_0(x)=\pi (x)-1/2$ เมื่อ $x$ เป็นจำนวนเฉพาะ มิฉะนั้นแล้ว ${\pi }_0(x)=\pi (x)$ บทพิสูจน์ของแบร์นฮาร์ท รีมันที่มีความสำคัญอย่างยิ่งคือการพิสูจน์ค่าสมมูลกับ ${\pi }_0(x)$

${\pi }_0(x)=\mathrm{R}(x)-\sum _{\rho }\mathrm{R}(x^{\rho })$

เมื่อ

$\mathrm{R}(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}\mathrm{li}(x^{1/n})$

โดยที่ แม่แบบ:Math คือ ฟังก์ชันเมอบิอุส, แม่แบบ:Math คือ ฟังก์ชันปริพันธ์ลอการิทึม, ρ เป็นดรรชีสำหรับทุกรากของฟังก์ชันซีตาของรีมัน และ แม่แบบ:Math ไม่ได้หาค่าจากการสร้าง branch cut แต่หาค่าจาก แม่แบบ:Math โดยที่ แม่แบบ:Math คือฟังก์ชันปริพันธ์เลขชี้กำลัง

ถ้าหากไม่พิจารณารากชัดแจ้งของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และพิจารณาผลรวมจากรากที่ไม่ชัดแจ้ง แล้ว ${\pi }_0(x)$ สามารถประมาณค่าได้โดย

${\pi }_0(x)\approx \mathrm{R}(x)-\sum _{\rho }\mathrm{R}(x^{\rho })-\frac{1}{\log x}+\frac{1}{\pi }\arctan \frac{\pi }{\log x}.$

สมมติฐานของรีมันน์เสนอว่าทุกรากที่ไม่ใช่รากชัดแจ้งจะสอดคล้องกับ แม่แบบ:Math

ตารางของ แม่แบบ:Pi(x), x / log x และ li(x)

ตารางแสดงฟังก์ชัน แม่แบบ:Pi(x), x / log x และ li(x) เปรียบเทียบที่ตัวแปร x ยกกำลัง 10 ดูเพิ่มเติม และ

x	แม่แบบ:Pi(x)	แม่แบบ:ไม่ตัด	แม่แบบ:ไม่ตัด	แม่แบบ:ไม่ตัด	แม่แบบ:ไม่ตัด
10	4	0	2	2.500	−8.57%
102	25	3	5	4.000	13.14%
103	168	23	10	5.952	13.83%
104	1,229	143	17	8.137	11.66%
105	9,592	906	38	10.425	9.45%
106	78,498	6,116	130	12.739	7.79%
107	664,579	44,158	339	15.047	6.64%
108	5,761,455	332,774	754	17.357	5.78%
109	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	5.10%
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	4.56%
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	4.13%
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	3.77%
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	3.47%
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	3.21%
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	2.99%
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	2.79%
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	38.116	2.63%
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	2.48%
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	42.725	2.34%
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	45.028	2.22%
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	2.11%
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	2.02%
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	1.93%
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	1.84%
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	1.77%
1026	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	1.70%
1027	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	1.64%
1028	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	63.456	1.58%
1029	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	65.759	1.52%