ผลคูณไขว้

ผลคูณไขว้ a × b มีทิศตรงข้ามกับ b × a

ผลคูณไขว้ หรือ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ ในทางคณิตศาสตร์ คือ การดำเนินการทวิภาคบนเวกเตอร์สองอันในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์อีกอันหนึ่งที่ตั้งฉากกับสองเวกเตอร์แรก ในขณะที่ผลคูณจุดของสองเวกเตอร์จะให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ผลคูณไขว้ไม่มีการนิยามบนมิติอื่นนอกจากสามมิติ และไม่มีคุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม เมื่อเทียบกับผลคูณจุด สิ่งที่เหมือนกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ของปริภูมิแบบยุคลิด แต่สิ่งที่ต่างกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับการกำหนดทิศทาง (orientation)

นิยาม

การหาทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ด้วยกฎมือขวา

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองอัน a และ b ในปริภูมิสามมิติ เขียนแทนด้วย a × b (อ่านว่า เอ ครอสส์ บี) คือเวกเตอร์ c ที่ตั้งฉากกับทั้ง a และ b โดยมีทิศทางตามกฎมือขวาและมีขนาดเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์สองอันนั้นครอบคลุม

ผลคูณไขว้สามารถคำนวณได้จากสูตร

$𝐚\times 𝐛=ab\sin \theta \widehat{𝐧}$

เมื่อ θ คือขนาดของมุม (ที่ไม่ใช่มุมป้าน) ระหว่าง a กับ b (0° ≤ θ ≤ 180°) a กับ b ในสูตรคือขนาดของเวกเตอร์ a และ b ตามลำดับ และ $\widehat{𝐧}$ คือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b ถ้าหากทั้งสองเวกเตอร์นั้นร่วมเส้นตรงกัน (คือมีมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น 0° หรือ 180°) ผลคูณไขว้จะได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ศูนย์ 0

ทิศทางของเวกเตอร์ $\widehat{𝐧}$ ถูกกำหนดโดยกฎมือขวา ซึ่งให้นิ้วชี้แทนทิศทางของเวกเตอร์ a และนิ้วกลางแทนทิศทางของเวกเตอร์ b ทิศทางของเวกเตอร์ $\widehat{𝐧}$ จะอยู่ที่นิ้วโป้ง (ดูรูปทางขวาประกอบ)

วิธีคำนวณผลคูณไขว้

สัญกรณ์พิกัด

กำหนดให้ i, j, k เป็นเวกเตอร์หน่วยในระบบพิกัดมุมฉาก ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันตามคุณสมบัติต่อไปนี้

$\begin{array}{ccc}𝐢\times 𝐣& =& 𝐤\\ 𝐣\times 𝐤& =& 𝐢\\ 𝐤\times 𝐢& =& 𝐣\end{array}$

โดยเวกเตอร์ a และ b สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบของ i, j, k ได้ดังนี้

$\begin{array}{cc}𝐚& =a_1𝐢+a_2𝐣+a_3𝐤=(a_1,a_2,a_3)\\ 𝐛& =b_1𝐢+b_2𝐣+b_3𝐤=(b_1,b_2,b_3)\\ \end{array}$

ผลคูณไขว้ a × b สามารถคำนวณได้จากสูตรนี้ โดยไม่ต้องพิจารณาขนาดของมุม

$𝐚\times 𝐛=(a_2{b}_3-a_3{b}_2)𝐢+(a_3{b}_1-a_1{b}_3)𝐣+(a_1{b}_2-a_2{b}_1)𝐤=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$

สัญกรณ์เมทริกซ์

สัญกรณ์พิกัดข้างต้นสามารถเขียนได้อีกอย่างหนึ่งเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดังนี้

$𝐚\times 𝐛=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=𝐢(a_2{b}_3)+𝐣(a_3{b}_1)+𝐤(a_1{b}_2)-𝐢(a_3{b}_2)-𝐣(a_1{b}_3)-𝐤(a_2{b}_1)$

ดูเพิ่ม

• ผลคูณจุด

แหล่งข้อมูลอื่น

• Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949 แม่แบบ:Webarchive (it is only possible in 7-D space)
• Real and Complex Products of Complex Numbers
• Vector Product Calculator แม่แบบ:Webarchive Online application to calculate the vector product of 3 element vectors
• An interactive tutorial แม่แบบ:Webarchive created at Syracuse University - (requires java)
• W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).
• Multiplication of Vectors