ค่าคาดหมาย

สำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็นแล้ว ค่าคาดหมาย (แม่แบบ:Langx) ของ ตัวแปรสุ่ม คือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (weighted average) ของทุก ๆ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม โดยในการคำนวณการถ่วงน้ำหนักจะใช้ค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง หรือใช้ค่าฟังก์ชันมวลของความน่าจะเป็น (probability mass function) สำหรับตัวแปรวิยุต หากกำหนดให้ $X$ เป็นตัวแปรสุ่ม จะแทนค่าคาดหมายของ $X$ ด้วย $\mathrm{E}(X)$ หรือ $𝔼(X)$ หรือบางครั้งแทนด้วย ${\mu }_x$

ค่าความคาดหมายนี้เมื่อพิจารณาจากกฎว่าด้วยจำนวนมาก ก็คือค่าลิมิตแบบ almost surely ของค่าเฉลี่ยที่ได้จากการสุ่มตัวอย่าง โดยที่จำนวนการสุ่มโตเข้าสู่ค่าอนันต์ หรือกล่าวอย่างไม่เป็นทางการว่า ค่าความคาดหมายคือค่าเฉลี่ยจากการสุ่มวัดที่ทำหลาย ๆ ครั้งมาก ๆ

นิยาม

ตัวแปรสุ่มวิยุต (discrete random variable), กรณีค่าจำกัด

สมมติ ตัวแปรสุ่ม $X$ มีโอกาสมีค่าเป็น $x_1$ ด้วยความน่าจะเป็น $p_1$, มีโอกาสมีค่าเป็น $x_2$ ด้วยความน่าจะเป็น $p_2$, ... , มีโอกาสมีค่าเป็น $x_k$ ด้วยความน่าจะเป็น $p_k$ ดังตาราง

ตัวแปรสุ่ม	ความน่าจะเป็น
$x_1$	$p_1$
$x_2$	$p_2$
$x_3$	$p_3$
...	...
$x_k$	$p_k$

ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม $X$ จะถูกนิยามได้เป็น

$\mathrm{E}[X]=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\dots +x_k{p}_k=\sum _{i=1}^k{p}_i{x}_i$

An illustration of the convergence of die roll sequence averages to the expected value of 3.5 as the number of rolls (trials) grows.

ตัวอย่างที่ 1. ให้ $X$ เป็นตัวแปรสุ่มแทนหน้าที่ออกจากการทอยลูกเต๋า ค่าที่เป็นไปได้ของ $X$ คือ 1, 2, 3, 4, 5, และ 6, โดยแต่ละค่ามีโอกาสออกได้เท่า ๆ กัน (แต่ละค่ามีความน่าจะเป็น แม่แบบ:Frac) ค่าคาดหมายของ $X$ คือ

$\mathrm{E}[X]=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=3.5.$

ดังนั้นถ้าเราทอยลูกเต๋า $n$ ครั้งและคำนวณค่าเฉลี่ย ของหน้าที่ออกแล้ว ค่าเฉลี่ยนี้จะลู่เข้าสู่ค่าคาดหมายเมื่อ $n$ ใหญ่ขึ้น

ตัวแปรสุ่มวิยุต (discrete random variable), กรณีค่าไม่จำกัด

สมมติ ตัวแปรสุ่ม $X$ มีโอกาสมีค่าเป็น $x_1$, $x_2$, ... ด้วยความน่าจะเป็น $p_1$, $p_2$, ... ตามลำดับ ค่าคาดหมายของ $X$ จะนิยามได้ว่า

$\mathrm{E}[X]=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i{p}_i,$

ถ้าค่าของอนุกรมนี้ไม่เป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์ จะเรียกว่า ค่าคาดหมายของ $X$ ไม่ปรากฏ ตัวอย่างเช่น สมมติ ตัวแปรสุ่ม $X$ มีโอกาสมีค่าเป็น 1, −2, 3, −4, ..., ด้วยความน่าจะเป็น แม่แบบ:เศษ, แม่แบบ:เศษ, แม่แบบ:เศษ, แม่แบบ:เศษ, ..., โดย แม่แบบ:Nowrap (ค่าของ c นี้มีแค่เพื่อทำให้ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดรวมเป็น 1) ค่าของอนุกรมจะเป็น

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i{p}_i=c(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots )$

ซึ่งลู่เข้าและลู่เข้าสู่ค่า แม่แบบ:Nowrap แต่อนุกรมนี้ไม่ได้เป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์ ดังนี้ค่าคาดหมายของ $X$ ในกรณีนี้จึงไม่มี

ตัวแปรต่อเนื่อง

เมื่อตัวแปรสุ่ม $X$ มีฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น $f(x)$ ค่าคาดหมายของ $X$ สามารถคำนวณได้จาก

$\mathrm{E}[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)\mathrm{d}x.$

คุณสมบัติค่าคาดหมาย

$\mathrm{E}(c)=c$

$\mathrm{E}(X+c)=\mathrm{E}(X)+c$

$\mathrm{E}(X+Y)=\mathrm{E}(X)+\mathrm{E}(Y)$

$\mathrm{E}(cX)=c\mathrm{E}(X)$

เมื่อ $c$ คือค่าคงที่, $X$ และ $Y$ เป็นตัวแปรสุ่มจากการแจกแจงใด ๆ