กฎของฮุก

กฎของฮุก: แรงแปรผันตรงกับระยะยืด

กฎของฮุก (แม่แบบ:Langx) เป็นกฎทางฟิสิกส์ที่กล่าวว่าแรง $F$ ที่ต้องใช้ในการยืดหรือหดสปริงเป็นระยะทาง $x$ นั้นจะแปรผันตรงกับระยะทางนั้น หรือ $F_s=kx$ โดย $k$ คือค่าคงที่ของสปริงหรือความเหนียวของสปริง และ $x$ นั้นมีขนาดเล็กเทียบกับความยาวของสปริง กฎนี่ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษในศตวรรษที่ 17 ชื่อว่า รอเบิร์ต ฮุก กฎของฮุกนั้นสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้ในสถานการณ์อื่นที่มีการเปลี่ยนรูปร่างของวัตถุยืดหยุ่น เช่น เมื่อมีลมพัดตึกสูงหรือเมื่อดีดสายกีตาร์

กฎของฮุกนั้นเป็นเพียงการประมาณ ในความเป็นจริงนั้นวัตถุจะเสียสภาพเมื่อถูกยืดหรือหดถึงจุด ๆหนึ่ง นอกจากนี้วัสดุหลายประเภทนั้นยังเบี่ยงเบนไปจากกฎของฮุกเมื่อระยะยืดมีค่ามากระดับหนึ่ง อย่างไรก็ตามกฎของฮุกก็มีความแม่นยำในของแข็งหลายชนิด ตราบใดที่แรงและการยืดหดของมันไม่มากจนเกินไป ด้วยเหตุนี้เองกฎของฮุกจึงถูกใช้ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมหลายแขนง และเป็นพิ้นฐานของศาสตร์ต่าง ๆ เช่น วิทยาแผ่นดินไหว กลศาสตร์โมเลกุล สวนศาสตร์ รวมถึงเป็นหลักการทำงานของอุปกรณ์เช่น ตาช่างสปริง มาโนมิเตอร์ นาฬิกากล

ในทฤษฎีความยืดหยุ่นกฎของฮุกกล่าวว่า ความเครียดของวัสดุยืดหยุ่นนั้นแปรผันตรงกับความเค้นที่กระทำต่อวัสดุนั้น อย่างไรก็ตามความเค้นและความเครียดนั้นมีหลายองค์ประกอบ ค่าคงที่ของการแปรผันนั้นจะไม่ใช่แค่ตัวเลขตัวเดียว แต่เป็นปริมาณเทนเซอน์สามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์ โดยทั่วไปกฎของฮุกสามารถใช้ในการหาความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียดได้ ตัวอย่างเช่น แท่งยาวที่มีขนาดพื่นที่หน้าตัดคงที่นั้นจะประพฤติตัวเหมือนสปริงที่มีค่าคงที่ แม่แบบ:Mvar แปรผันตรงกับพื้นที่หน้าตัดและแปรผกผันกับความยาวของมัน

นิยาม

พิจารณาสปริงที่ยึดติดกับกำแพงไว้ด้านหนึ่ง ส่วนอีกด้านหนึ่งถูกดึงด้วยแรงขนาด $F$ เมื่อถึงภาวะสมดุลสปริงจะไม่เปลี่ยนขนาดอีกต่อไป ถ้าที่จุดนี้สปริงจะยืดจากความยาวธรรมชาติของสปริง (เมื่อไม่ถูกยืด) ไปเป็นระยะทาง $x$ กฎของฮุกกล่าวว่า

$F=kx$

หรือ

$x=\frac{F}{k}$

โดย $k$ คือ จำนวนจริงที่เป็นค่าคงที่เฉพาะตัวของสปริงนั้น ๆ ซึ่งสมการนี่ยังสามารถใช้ในกรณีที่สปริงถูกหดอีกด้วย โดย $F$ และ $x$ นั้นมีค่าติดลบ จากสมการนี้เราสามารถแสดงได้ว่ากราฟระหว่างแรงและระยะยืดจะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดและมีความชัน $k$

ในกฎของฮุกนั้น เรามักจะเรียก $F_s$ ว่าเป็นแรงดึงกลับของสปริงที่ทำเพื่อต้านการดึง ในกรณีนี้เราสามารถเขียนสมการ

$F_s=-kx$

เพราะทิศทางของแรงดึงกลับของสปริงนั้นจะตรงข้ามกับระยะทางเสมอ

หน่วยในการวัด

ในหน่วย SI ระยะทางมีหน่วยเป็นเมตร (m) และแรงมีหน่วยเป็นนิวตัน (N หรือ kg·m/s²) ดังนั้นค่าคงที่ของสปริง $k$ จึงมีหน่วยเป็นนิวตันต่อเมตร (N/m) หรือ กิโลกรัมต่อวินาทีกำลังสอง (kg/s²)

ที่มาของสูตร

ความเค้นของแท่งยาวสม่ำเสมอ

แท่งวัสดุยืดหยุ่นนั้นสามารถมองว่าเป็นสปริงได้ สำหรับแท่งยาว $L$ และพื้นที่หน้าตัด $A$ ความเค้น $\sigma$ นั้นจะแปรผันตรงกับความเครียด $ϵ$ โดยมีมอดูลัสของยัง $E$ เป็นค่าคงที่ของการแปรผัน

$\sigma =E\epsilon$

ซึ่งมอดูลัสของยังนั้นสามารถมองว่าเป็นค่าคงที่ได้ ความเครียด

$\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }L}{L}$

(ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของความยาวที่เปลี่ยนไป) และความเค้น

$\sigma =\frac{F}{A}$

จึงได้ว่า

$\epsilon =\frac{\sigma }{E}=\frac{F}{AE}$

และความยาวที่เปลี่ยนไปสามารถเขียนได้เป็น

$\mathrm{\Delta }L=\epsilon L=\frac{FL}{AE}$

ซึ่งตรงกับกฎของฮุก

$F=\epsilon L=\frac{AE}{L}\mathrm{\Delta }L=k\mathrm{\Delta }L$

พลังงานของสปริง

พลังงานศักย์ที่สะสมในสปริง แม่แบบ:Math มีค่าเท่ากับ

$U_{\mathrm{e}\mathrm{l}}(x)=\int Fdx=\int kxdx=\frac{1}{2}k{x}^2$

โดยที่

• $kx=Fatx$

ซึ่งมาจากการค่อย ๆ เพิ่มพลังงานที่ได้จากการหดสปริงทีละเล็กทีละน้อย ซึ่งทำได้โดยอินทิเกรตแรง (F) เทียบกับระยะทาง (x) พลังงานศักย์สปริงมีค่าเป็นบวกเสมอเพราะแรงภายนอกที่ต้องใช้ในการดึงสปริงนั้นมีทิศเดียวกับการกระจัดของสปริง

การสั่นแบบฮาร์มอนิก

มวลแขวนบนสปริงเป็นตัวยอย่างของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

มวลแขวนกับสปริงเป็นตัวอย่างคลาสสิกของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เมื่อมวลถูกดึงแล้วปล่อยระบบจะสั่นไปมารอบ ๆ จุดสมดุล ถ้าเราสมมติว่าไม่มีแรงเสียดทานและมวลของสปริง แอมพลิจูดของการสั่นจะคงที่ และความถี่ในการสั่นจะไม่ขึ้นกับแอมพลิจูดแต่จะขึ้นกับเพียงแค่ค่าคงที่ของสปริงและมวล:

$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$

การเคลื่อนที่แบบหมุน

ถ้ามวล $m$ ถูกแขวนกับสปริงที่มีค่าคงที่ $k$ และถูกเหวี่ยงให้หมุนเป็นวงกลม แรงคืนตัวของสปริง ($F_s$) จะทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง ($F_c$):

$F_{\mathrm{s}}=kx;F_{\mathrm{c}}=m{\omega }^{2}r$

ดังนั้น $F_{\mathrm{s}}=F_c$ และ $x=r$ ทำให้

$k=m{\omega }^2$

จากความสัมพันธ์ แม่แบบ:Math, ความถี่ในการหมุนจึงมีสูตรเดียวกับความถี่ในการสั่นของสปริง

$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$