ความเครียด (กลศาสตร์)

ความเครียด (แม่แบบ:Langx) คือปริมาณการเปลี่ยนแปลงขนาดของวัตถุเทียบกับขนาดตั้งต้น

การเปลี่ยนแปลงรูปร่างของวัตถุสามารถเขียนได้ด้วยการเขียนตำแหน่งสุดท้ายของวัตถุ แม่แบบ:Math โดยที่ แม่แบบ:Math คือตำแหน่งตั้งต้นของวัตถุ การเขียนสมการแบบนี้จะไม่แยกระหว่างการเคลื่อนที่ของวัตถุ (การเปลี่ยนตำแหน่งและหมุน) และการเปลี่ยนรูปร่างและขนาดของวัตถุ

เราสามารถนิยามความเครียดได้จาก

$\mathit{\epsilon }\doteq \frac{\partial }{\partial 𝐗}(𝐱-𝐗)={𝑭}^{\prime }-𝑰$

โดยที่ แม่แบบ:Mvar คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้นความเครียดจึงไม่มีหน่วย และมักจะนิยมเขียนเป็นจุดทศนิยม เปอร์เซ็นต์ หรือ ร้อยละ ความเครียดบอกถึงการเปลี่ยนรูปร่างที่ตำแหน่งใด ๆ ในวัตถุจากการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด

ความเครียดเป็นปริมาณเทนเซอร์ ความเครียดสามารถแบ่งองค์ประกอบเป็นความ เครียดตั้งฉาก (normal strain) และ ความเครียดเฉือน (shear strain) เมื่อวัตถุถูกเปลี่ยนรูปร่าง ความเครียดตั้งฉาก บอกถึงอัตราส่วนการเปลี่ยนขนาดหรือความยาวของวัตถุ ในขณะที่ความเครียดเฉือนบอกถึงมุมที่วัตถุถูกเบือนจากทิศทางตั้งต้น โดยความเครียดทั้งสอบแบบนี้บอกถึงการเปลี่ยนรูปร่างในทิศตั้งฉากกัน

ถ้าความยาวของวัตถุเพิ่มขึ้น ความเครียดเฉือนตั้งฉากจะเรียกว่า ความเครียดดึง (tensile strain) ในทางกลับกันถ้าความยาวลดลง เราจะเรียกว่า ความเครียดอัด (compressive strain)

นอกเหนือจากนิยามที่กล่าวมายังมีการนิยามความเครียดหลายแบบ เช่น ความเครียดทางวิศวกรรม (engineering strain) ซึ่งมักจะใช้กับวัสดุที่ใช้ในเคลื่องกลและโครงสร้างทางวิศวกรรมซึ่งจะเปลี่ยนรูปร่างได้เพียงเล็กน้อย ในขณะที่วัสดุบางประเภท อาทิ อีลาสโตเมอร์และพอลิเมอร์สามารถเปลี่ยนรูปร่างได้เยอะ การใช้นิยามความเครียดทางวิศวกรรมนั้นอาจจะไม่เหมาะสมเมื่อวัตถุขยายขนาดมากกว่า 1% จึงต้องใช้นิยามแบบอื่น เช่น อัตราส่วนการยืด หรือ ความเครียดจริง

นิยามความเครียด

ความเครียดทางวิศวกรรม

ความเครียดทางวิศวกรรม (engineering strain หรือ Cauchy strain) คืออัตราส่วนระหว่างขนาดที่เปลี่ยนไปต่อขนาดตั้งต้น สำหรับวัตถุขนาดยาวตั้งต้น แม่แบบ:Math ที่เปลี่ยนความยาว แม่แบบ:Math สามารถเขียนได้ว่า

$e=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L}=\frac{l-L}{L}$

โดย แม่แบบ:Mvar คือความเครียดตั้งฉากทางวิศวกรรมและ แม่แบบ:Mvar คือความยาวสุดท้าย ถ้าความเครียดนี้เป็นบวกหมายความว่าความยาวเพิ่มขึ้น แต่ถ้าเป็นลบแสดงว่าความยาวลดลง

ส่วนความเครียดเฉือนทางวิศวกรรมนิยามจากค่า tan ของมุมเฉือน ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนระหว่างความยาวที่เปลี่ยนไปในทิศของแรงเฉือนต่อความยาวตั้งฉากกับแรงเฉือน

การคำนวณความเครียดทางวิศวกรรมนั้นคำนวณได้ง่าย แต่บอกได้ถึงการเปลี่ยนแปลงขนาดโดยรวมเท่านั้น ไม่สามารถบอกถึงว่าวัตถุถูกเปลี่ยนแปลงรูปร่างผ่านขั้นตอนอะไร

อัตราส่วนความยืด

อัตราส่วนความยืด (stretch ratio หรือ extension ratio) คือ ปริมาณที่บอกว่าวัตถุเปลี่ยนความยาวไปแค่ไหน ซึ่งนิยามจจากอัตราส่วนระหว่างความสุดท้าย แม่แบบ:Mvar ต่อความยาวตั้งต้น แม่แบบ:Math

$\lambda =\frac{l}{L}$

ซึ่งสัมพันธ์กับความเครียดทางวิศวกรรมโดย

$e=\frac{l-L}{L}=\lambda -1$

ถ้าความเครียดเป็นศูนย์ซึ่งแปลวาสวัตถุไม่เปลี่ยนความยาว อัตราการยืดจะเท่ากับ 1

อัตราส่วนความยืดนั้งมักถูกใช้ในการวิเคราะห์วัสดุที่เปลี่ยนรูปร่างขนาดใหญ่ เช่น อีลาสโตเมอร์หรือยาง ซึ่งสามารถเปลี่ยนขนาดได้ที่อัตราส่วน 3 หรือ 4 เท่า ก่อนที่มันจะเสียหาย ในทางตรงกันข้ามวัสดุทางวิศกรรม เช่น คอนกรีต หรือ เหล็กกล้า จะเสียหายที่อัตราส่วนที่ต่ำกว่ามาก

ความเครียดจริง

ความเครียดจริง (true strain or logarithmic strain) คำนวณจากการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงความยาวเล็กน้อย แม่แบบ:Math จากความยาว แม่แบบ:Math ซึ่งทำให้เกิดความเครียดตั้งฉาก

$\delta \epsilon =\frac{\delta l}{l}$

เนื่องจากความยาวนั้นเปลี่ยนเรื่อย ๆ ความเครียดโดยรวมจึงหาได้จาก

$\begin{array}{cc}\int \delta \epsilon & =\underset{L}{\overset{l}{\int }}\frac{\delta l}{l}\\ \epsilon & =\ln \left(\frac{l}{L}\right)=\ln (\lambda )\\ & =\ln (1+e)\\ & =e-\frac{e^2}{2}+\frac{e^3}{3}-\cdots \\ \end{array}$

โดย แม่แบบ:Mvar คือความเครียดทางวิศวกรรม ความเครียดจริงบอกถึงการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของวัตถุโดยนำขั้นตอนการเปลี่ยนขนาดมาพิจารณาด้วย

ส่วนความเครียดเฉือนจริงนั้นคำนวณได้จากมุม (ในหน่วยเรเดียน) ของวัตถุที่เปลี่ยนไปหลังจากการเปลี่ยนรูปร่าง

ความเครียดตั้งฉากและความเครียดเฉือน

อย่างที่กล่าวมาว่าความเครียดแบ่งเป็นสองแบบคือความเครียดตั้งฉากซึ้งตั้งฉากกับหน้าตัดของวัตถุและความเครียดเฉือนที่ขนานกับหน้าตัดของวัตถุ โดยนิยามเหล่านี้สอดคล้องกับความเค้นตั้งฉาก (normal stress) และความเค้นเฉือน (shear stress)

ความเครียดตั้งฉาก

สำหรับวัสดุที่สม่ำเสมอและมีพฤติกรรมตามกฎของฮุค ความเค้นตั้งฉากจะทำให้เกิดความเครียดตั้งฉาก

พิจารณา element สี่เหลี่ยมในสองมิติมีขนาด แม่แบบ:Math ซึ่งเมื่อถูกเปลี่ยนรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน การเปลี่ยนรูปร่างสามารถบรรยายโดยใช้สนามกระจัด (displacement field) จากรูปเราสามารถเขียนความยาวด้าน

$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(AB)=dx$

และ

$\begin{array}{cc}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(ab)& =\sqrt{{(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx)}^2+{\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}dx\right)}^2}\\ & =dx\sqrt{1+2\frac{\partial u_x}{\partial x}+{\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}\right)}^2}\\ \end{array}$

สำหรับการเปลี่ยนแปลงขนาดเล็ก พจน์ยกกำลังสองนั้นมีขนาดเล็กและสามารถละทิ้งได้ ดังนั้น

$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(ab)\approx dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx$

ความเครียดตั้งฉากในทิศ x ของสี่เหลี่ยมนั้นนิยามว่า

${\epsilon }_x=\frac{\text{extension}}{\text{original length}}=\frac{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(ab)-\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(AB)}{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(AB)}=\frac{\partial u_x}{\partial x}$

ในทิศ y และ ทิศ z ก็เขียนได้ในลักษณะเดียวกัน

${\epsilon }_y=\frac{\partial u_y}{\partial y},{\epsilon }_z=\frac{\partial u_z}{\partial z}$

ความเครียดเฉือน

แม่แบบ:Infobox Physical quantityความเครียดเฉือนทางวิศวกรรม (แม่แบบ:Math) นิยามจากมุมที่เปลี่ยนไประหว่างส่วนของเส้นตรง แม่แบบ:Overline และ แม่แบบ:Overline ดังนั้น

${\gamma }_{xy}=\alpha +\beta$

จากรูปเราสามารถคำนวณมุมได้

$\begin{array}{cc}\tan \alpha & =\frac{\frac{\partial u_y}{\partial x}dx}{dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx}=\frac{\frac{\partial u_y}{\partial x}}{1+\frac{\partial u_x}{\partial x}}\\ \tan \beta & =\frac{\frac{\partial u_x}{\partial y}dy}{dy+\frac{\partial u_y}{\partial y}dy}=\frac{\frac{\partial u_x}{\partial y}}{1+\frac{\partial u_y}{\partial y}}\end{array}$

สำหรับการเปลี่ยนแปลงขนาดเล็ก

$\frac{\partial u_x}{\partial x}\ll 1;\frac{\partial u_y}{\partial y}\ll 1$

สำหรับการเปลี่ยนมุมขนาดเล็ก (แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar ≪ 1) เราสามารถประมาณ แม่แบบ:Math, แม่แบบ:Math

$\alpha \approx \frac{\partial u_y}{\partial x};\beta \approx \frac{\partial u_x}{\partial y}$

ดังนั้น

${\gamma }_{xy}=\alpha +\beta =\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y}$

โดยการสลับสัญลักษณ์ แม่แบบ:Mvar กับ แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Math กับ แม่แบบ:Math ดังนั้น จึงเขียนได้อีกว่า แม่แบบ:Math

ในทางเดียวกัน สามารถคำนวณความเครียดเฉือนในระนาบ แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar ได้

${\gamma }_{yz}={\gamma }_{zy}=\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y},{\gamma }_{zx}={\gamma }_{xz}=\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z}$

เราสามารถเขียนความเครียดในรูปแบบเทนเซอร์ซึ่งจะรวมทั้งความเค้นตั้งฉากและเฉือนเข้าด้วยกัน

$\underset{\_}{\underset{\_}{\mathit{\epsilon }}}=\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{xx}& {\epsilon }_{xy}& {\epsilon }_{xz}\\ {\epsilon }_{yx}& {\epsilon }_{yy}& {\epsilon }_{yz}\\ {\epsilon }_{zx}& {\epsilon }_{zy}& {\epsilon }_{zz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{xx}& \frac{1}{2}{\gamma }_{xy}& \frac{1}{2}{\gamma }_{xz}\\ \frac{1}{2}{\gamma }_{yx}& {\epsilon }_{yy}& \frac{1}{2}{\gamma }_{yz}\\ \frac{1}{2}{\gamma }_{zx}& \frac{1}{2}{\gamma }_{zy}& {\epsilon }_{zz}\end{array}\right]$