ภาพนี้มีภาพในรูปแบบเวกเตอร์ (SVG) หากภาพ SVG ทำให้การแสดงผลดีกว่า หน้าที่ใช้ภาพนี้ควรเปลี่ยนไปใช้ภาพ SVG แทน File:Pm1234-Euler.png → File:Pm1234 Euler.svg สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับภาพเวกเตอร์ ดูที่ การเปลี่ยนไปใช้ภาพ SVG ในคอมมอนส์ นอกจากนี้สามารถดูเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ข้อมูลเกี่ยวกับการรองรับภาพ SVG สำหรับซอฟต์แวร์มีเดียวิกิ ได้ ในภาษาอื่นๆ Alemannisch ∙ العربية ∙ беларуская (тарашкевіца) ∙ български ∙ বাংলা ∙ català ∙ нохчийн ∙ čeština ∙ dansk ∙ Deutsch ∙ Ελληνικά ∙ English ∙ British English ∙ Esperanto ∙ español ∙ eesti ∙ euskara ∙ فارسی ∙ suomi ∙ français ∙ Frysk ∙ galego ∙ Alemannisch ∙ עברית ∙ हिन्दी ∙ hrvatski ∙ magyar ∙ հայերեն ∙ Bahasa Indonesia ∙ Ido ∙ italiano ∙ 日本語 ∙ ქართული ∙ 한국어 ∙ lietuvių ∙ македонски ∙ മലയാളം ∙ Bahasa Melayu ∙ မြန်မာဘာသာ ∙ norsk bokmål ∙ Plattdüütsch ∙ Nederlands ∙ norsk nynorsk ∙ norsk ∙ occitan ∙ polski ∙ prūsiskan ∙ português ∙ português do Brasil ∙ română ∙ русский ∙ sicilianu ∙ Scots ∙ slovenčina ∙ slovenščina ∙ српски / srpski ∙ svenska ∙ தமிழ் ∙ ไทย ∙ Türkçe ∙ татарча / tatarça ∙ українська ∙ vèneto ∙ Tiếng Việt ∙ 中文 ∙ 中文（中国大陆） ∙ 中文（简体） ∙ 中文（繁體） ∙ 中文（马来西亚） ∙ 中文（新加坡） ∙ 中文（臺灣） ∙ +/−

 

Euler summation of 1 − 2 + 3 − 4 + · · · to 1/2-1/4.

The original series 1 − 2 + 3 − 4 + · · · is depicted at the top of the diagram; the Euler transformed series 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · · is depicted at the bottom of the diagram. The conclusion is that the Euler sum of 1 − 2 + 3 − 4 + · · · is 1/2-1/4 = 1/4.

Only the first four terms of the series are shown. A white disk represents +1; a reddish disk represents −1. The units are grouped on top of each other as they occur within the terms of the series.

Let a = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · be the original formal series. Let S be the shift operator on formal series,

${\displaystyle S(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots )=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots .}$

Let T be the average between S and the identity operator:

${\displaystyle T={\frac {1+S}{2}},\quad T(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots )=\left({\frac {a_{0}+a_{1}}{2}},{\frac {a_{1}+a_{2}}{2}},{\frac {a_{2}+a_{3}}{2}},\cdots \right).}$

Then given a series a, if it converges, then its sum is the same as the sum of the series

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+Ta.}$

The Euler summation procedure has many descriptions, but for the present purposes it can be described as a repetition of the above "process". To be precise, the nth term of the Euler transformed series is

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(T^{n}a)_{0}.}$

See eq. (20.3) of Korevaar, Jacob (พ.ศ. 2547) Tauberian Theory: A Century of Developments, Springer, pp. 326 ISBN 3-540-21058-X

To compute this transform in place, one pulls half of each term into the next term, then fixes the first term, then repeats.

The part of the diagram with the four green stripes indicates taking half of every term in the original series a and pulling it into the next term. Most of the units cancel, leaving the series

${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+\cdots .}$

The first term of this series is fixed, leaving

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+Ta.}$

The process repeated upon the remaining terms, leaving 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · ·. Now two terms are fixed, and the remaining terms are all zero, so all further applications of T do not change the series, and they are not depicted. In the visual language, subsequent green stripes pull on nothingness.

The result is the Euler transformed series, 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · ·. It is convergent, having only two nonzero terms, and its sum is 1/2 − 1/4. The diagram does not distinguish between the finite series and its sum. As a number, 1/2 − 1/4 = 1/4.

The above is done to illustrate how Euler summation works on the series. In practice, one exploits auxiliary quantities, and the computation is much easier; see for example Image:Pm1234-Euler1755.png. An extended description of Euler's procedure on 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, including reversing its alternation and taking iterated forward differences, is at w:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·#Euler and Borel.

ข้าพเจ้า ในฐานะผู้ถือลิขสิทธิ์ของภาพหรือสื่อนี้ อนุญาตให้ใช้ภาพหรือสื่อนี้ภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้

อนุญาตให้คัดลอก แจกจ่ายและ/หรือดัดแปรเอกสารนี้ภายใต้เงื่อนไขของสัญญาอนุญาตเอกสารเสรีของกนู รุ่น 1.2 หรือรุ่นใด ๆ นับจากนี้ที่ออกโดยมูลนิธิซอฟต์แวร์เสรี โดยไม่มีส่วนใดห้ามแก้ไข ไม่มีข้อความปกหน้าและปกหลัง สำเนาของสัญญาอนุญาตรวมอยู่ในส่วนชื่อ สัญญาอนุญาตเอกสารเสรีของกนูhttp://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue

	ไฟล์นี้อยู่ภายใต้สัญญาอนุญาต ครีเอทีฟคอมมอนส์ แบบแสดงที่มา-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ต้นฉบับ
	คุณสามารถ: ที่จะแบ่งปัน – ที่จะทำสำเนา แจกจ่าย และส่งงานดังกล่าวต่อไป ที่จะเรียบเรียงใหม่ – ที่จะดัดแปลงงานดังกล่าว ภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้: แสดงที่มา – คุณต้องให้เกียรติเจ้าของงานอย่างเหมาะสม โดยเพิ่มลิงก์ไปยังสัญญาอนุญาต และระบุหากมีการเปลี่ยนแปลง คุณอาจทำเช่นนี้ได้ในรูปแบบใดก็ได้ตามควร แต่ต้องไม่ใช่ในลักษณะที่แนะว่าผู้ให้อนุญาตสนับสนุนคุณหรือการใช้งานของคุณ อนุญาตแบบเดียวกัน – หากคุณดัดแปลง เปลี่ยนรูป หรือต่อเติมงานนี้ คุณต้องใช้สัญญาอนุญาตแบบเดียวกันหรือแบบที่เหมือนกับสัญญาอนุญาตที่ใช้กับงานนี้เท่านั้น
	ป้ายแสดงสถานะลิขสิทธิ์นี้ถูกเพิ่มเพื่อให้เป็นไปตามการเปลี่ยนแปลงสัญญาอนุญาตของมูลนิธิวิกิมีเดีย จาก GFDL ไปยัง GFDL ควบคู่กับ CC-BY-SA 3.0http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/CC BY-SA 3.0Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0truetrue

ไฟล์นี้อยู่ภายใต้สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์ รุ่นแสดงที่มา-อนุญาตแบบเดียวกัน 2.5 ทั่วไป, 2.0 ทั่วไป และ 1.0 ทั่วไป

คุณสามารถ:

• ที่จะแบ่งปัน – ที่จะทำสำเนา แจกจ่าย และส่งงานดังกล่าวต่อไป
• ที่จะเรียบเรียงใหม่ – ที่จะดัดแปลงงานดังกล่าว

ภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้:

• แสดงที่มา – คุณต้องให้เกียรติเจ้าของงานอย่างเหมาะสม โดยเพิ่มลิงก์ไปยังสัญญาอนุญาต และระบุหากมีการเปลี่ยนแปลง คุณอาจทำเช่นนี้ได้ในรูปแบบใดก็ได้ตามควร แต่ต้องไม่ใช่ในลักษณะที่แนะว่าผู้ให้อนุญาตสนับสนุนคุณหรือการใช้งานของคุณ
• อนุญาตแบบเดียวกัน – หากคุณดัดแปลง เปลี่ยนรูป หรือต่อเติมงานนี้ คุณต้องใช้สัญญาอนุญาตแบบเดียวกันหรือแบบที่เหมือนกับสัญญาอนุญาตที่ใช้กับงานนี้เท่านั้น

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5CC BY-SA 2.5 Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 truetrue

คุณสามารถเลือกสัญญาอนุญาตดังกล่าวตามต้องการ