เมทริกซ์แลกเปลี่ยน

เมทริกซ์แลกเปลี่ยน (แม่แบบ:Langx) คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่ประกอบด้วยสมาชิกบนเส้นทแยงมุมรองเป็น 1 และสมาชิกอื่นเป็น 0 หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เมทริกซ์แลกเปลี่ยนมีลักษณะคล้ายเมทริกซ์เอกลักษณ์ แต่การเรียงตัวของเลข 1 กลับทิศทางกัน (จากมุมล่างซ้ายไปยังมุมบนขวา ↗) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $J_n$ หรือเพียงแค่ $J$ (เจ) ตัวอย่างเมทริกซ์แลกเปลี่ยนเช่น

$J_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],J_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],J_3=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right],\cdots ,J_n=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 1& \cdots & 0\\ 1& 0& \cdots & 0\end{array}\right]$

นิยามทั่วไปของเมทริกซ์แลกเปลี่ยนประกอบด้วยนิยามดังนี้

$J_{i,j}=\{\begin{array}{cc}1,& j=n-i\\ 0,& j\ne n-i\end{array}$

ซึ่ง J เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n×n

คุณสมบัติ

• $J^{\mathrm{T}}=J$
• $J^n=I$ เมื่อ n เป็นจำนวนคู่ และ $J^n=J$ เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
  • ดังนั้นเมทริกซ์แลกเปลี่ยนจึงเป็นเมทริกซ์อาวัตนาการ (involutory matrix) ชนิดหนึ่ง เพราะว่า $J^{-1}=J$
• รอยเมทริกซ์ (trace) ของ J มีค่าเท่ากับ 0 เมื่อ n เป็นจำนวนคู่ และเป็น 1 เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
• เมทริกซ์ A ใด ๆ ที่ทำให้เงื่อนไข $AJ=JA$ เป็นจริง เมทริกซ์ A นั้นจะเป็นเมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลาง (centrosymmetric matrix)