เพนดูลัมผกผัน

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันสามารถประยุกต์ใช้กับระบบควบคุมการทรงตัวของพาหนะอย่าง เซกเวย์ (Segway)ได้

เพนดูลัมผกผัน (แม่แบบ:Langx) เป็นปัญหาพื้นฐานที่ใช้ในการเรียนการสอนและในการสาธิตการประยุกต์ทฤษฎีระบบควบคุม เพนดูลัมผกผันเป็นระบบที่มีจุดสมดุลอยู่รอบแกนหมุนด้วยกันสองจุด ได้แก่จุดที่เพนดูลัมตั้งตรงอยู่ในแนวดิ่ง และจุดที่เพนดูลัมอยู่ทิ้งตัวลงในดิ่ง แต่จุดที่มีเสถียรภาพเมื่อไม่มีตัวควบคุมนั้นจะมีจุดเดียวคือ จุดที่แกนทิ้งตัวลงเท่านั้น ไม่ว่าเราจะปล่อยเพนดูลัมที่จุดใดก็ตาม เพนดูลัมจะตกลงสู่จุดนี้เสมอ การที่จะทำให้เพนดูลัมนี้สามารถตั้งตรงในแนวดิ่งได้นั้นขึ้นกับการใส่ตัวควบคุมที่เหมาะสมเข้าไปในระบบซึ่งมีได้หลากหลายวิธี และอีกทั้งยังสามารถออกแบบตัวควบคุมให้เป็นเชิงเส้น หรือแบบไม่เชิงเส้นก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความต้องการของผู้ออกแบบและความเหมะสม

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผัน

ในที่นี้เราจะหาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันโดยใช้กลศาสตร์แบบลากรางจ์ (Lagrange's equations) และตั้งสมมติฐานเพื่อความง่ายต่อความเข้าใจและยังคงไม่สูญเสียความเป็นรูปแบบทั่วไปว่าระบบเคลื่อนที่อยู่ในระนาบ 2 มิติ แกน $x-y$ ได้เท่านั้น โดยตัวแปรต่าง ๆ เราจะอ้างอิงตัวแปรเดียวกับที่ปรากฏในภาพ กล่าวคือ $\theta (t)$ คือ มุมที่แท่งเพนดูลัมทำกับแนวตั้งฉากกับพื้นโลก และให้แท่งเพนดูลัมมีความยาว $l$ ให้แรงจากภายนอกเป็น $F$ กระทำในทิศ $x$ ดังภาพ และแรงโน้มถ่วงของโลกกระทำในแนวแกน $y$ และกำหนดให้ $x(t)$ เป็นระยะของรถในแกน $x$ ที่แปรผันตามเวลา และสมการลากรางจ์ (Lagrangian) ของระบบเป็นดังต่อไปนี้ $L=T-V$ โดย $T$ คือพลังงานจลน์ของระบบ และ $V$ คือพลังงานศักย์ของระบบ

รูปภาพแสดงรูปแบบของเพนดุลัมผกผันและตัวแปรที่ใช้ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

$L=\frac{1}{2}M{v}_1^2+\frac{1}{2}m{v}_2^2-mg\ell \cos \theta$

โดย $v_1$ เป็นความเร็วของของตัวรถ $v_2$ เป็นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล $m$ ของมวลบนแท่งเพนดูลัม

ทั้งนี้ $v_1$ และ $v_2$ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ $x$ และ $\theta$ ดังต่อไปนี้

$v_1^2={\dot{x}}^2$

$v_2^2={\left(\frac{d}{dt}(x-\ell \sin \theta )\right)}^2+{\left(\frac{d}{dt}(\ell \cos \theta )\right)}^2$

ทำการลดรูป $v_2$ ได้ผลเป็น

$v_2^2={\dot{x}}^2-2\ell \dot{x}\dot{\theta }\cos \theta +{\ell }^2{\dot{\theta }}^2$

แทนสมการข้างต้นลงในสมการลากรางจ์ ได้ว่า:

$L=\frac{1}{2}(M+m){\dot{x}}^2-m\ell \dot{x}\dot{\theta }\cos \theta +\frac{1}{2}m{\ell }^2{\dot{\theta }}^2-mg\ell \cos \theta$

และสมการการเคลื่อนที่:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=F$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}-\frac{\partial L}{\partial \theta }=0$

แทนที่ $L$ ในสมการข้างต้นจะได้สมการที่อธิบายการเลือนที่ของเพนดูลัมแบบผกผันดังนี้

$(M+m)\ddot{x}-m\ell \ddot{\theta }\cos \theta +m\ell {\dot{\theta }}^2\sin \theta =F$

$\ell \ddot{\theta }-g\sin \theta =\ddot{x}\cos \theta$

จะเห็นได้ว่าสมการที่ได้เป็นสมการไม่เชิงเส้นซึ่งยากที่จะนำไปออกแบบตัวควบคุม ในทางปฏิบัติผู้ออกแบบจะนิยมแปรงสมการไม่เชิงเส้นให้เป็นสมการเชิงเส้นก่อน โดยสมมุติว่าแท่งเพนดุลัมแกว่งอยู่ในช่วงมุมเล็ก ๆ ซึ่งประมาณเป็น $0$ ได้ ($\theta \approx 0$) ทั้งนี้เพื่อความง่ายต่อการออกแบบตัวควบคุม และง่ายต่อการอธิบายพฤติกรรมของระบบ

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีระบบควบคุม
• Segway
• เพนดูลัมผกผันแบบฟูรุตะ (Furuta pendulum)

แหล่งข้อมูลอื่น

• สื่อการสอนเกี่ยวกับทฤษฎีระบบควบคุม มีตัวอย่างเป็นเพนดูลัมแบบผกผัน ของ มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน แม่แบบ:Webarchive
• Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition 5), Prentice Hall, 2010, ISBN 0136156738,9780136156734
• Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0
• Norman S. Nise, Control Systems Engineering (Edition 6), John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0470547561, 9780470547564
• เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)
• วิบูลย์ แสงวีระพันธุ์ศิริ, ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "การควบคุมระบบพลศาสตร์ (Control of Dynamic Systems)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2548 (ISBN 974-13-3393-5)