อสมการของเชบิเชฟ

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของเชบิเชฟ เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ให้ขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มตัวหนึ่งจะเบี่ยงเบนไปจากค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มนั้น อสมการของเชบิเชฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นนี้กับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มนั้น โดยมีใจความดังนี้

ให้ $X$ เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าคาดหมาย ${\mu }_X$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ${\sigma }_X$ แล้ว สำหรับจำนวนจริง $t$ ใด ๆ เราได้ว่า $\mathrm{Pr}[|X-{\mu }_X|\ge t{\sigma }_X]\le \frac{1}{t^2}$

โดยทั่วไปแล้วอสมการของเชบิเชฟจะให้ขอบเขตบนที่แน่นกว่าอสมการของมาร์คอฟ เนื่องจากอสมการของเชบิเชฟใช้ความรู้เกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม อสมการของเชบิเชฟถูกใช้ในการวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มหลาย ๆ ขั้นตอนวิธี เนื่องจากตัวแปรสุ่มในขั้นตอนวิธีนั้นมักเป็นตัวแปรสุ่มที่พบได้บ่อยและสามารถคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ไม่ยาก

การพิสูจน์

เนื่องจาก $|X-{\mu }_X|\ge t{\sigma }_X$ ก็ต่อเมื่อ $(X-{\mu }_X{)}^2\ge t^2{\sigma }_X^2$ เมื่อมอง $(X-{\mu }_X{)}^2$ เป็นตัวแปรสุ่มและใช้อสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า

$\mathrm{Pr}[(X-{\mu }_X{)}^2\ge t^2{\sigma }_X^2]\le \frac{\mathrm{E}[(X-{\mu }_X{)}^2]}{t^2{\sigma }_X^2}$

ค่า ${\sigma }_X^2$ คือความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $X$ ซึ่งโดยนิยามแล้วมีค่าเท่ากับค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม $(X-{\mu }_X{)}^2$ ด้วยเหตุนี้

$\mathrm{Pr}[|X-{\mu }_X|\ge t{\sigma }_X]=\mathrm{Pr}[(X-{\mu }_X{)}^2\ge t^2{\sigma }_X^2]\le \frac{\mathrm{E}[(X-{\mu }_X{)}^2]}{t^2\mathrm{E}[(X-{\mu }_X{)}^2]}=\frac{1}{t^2}$

ตามต้องการ แม่แบบ:โครงคณิตศาสตร์