หลายสิ่งอันดับ

หลายสิ่งอันดับ หรือ ทูเพิล (แม่แบบ:Langx) เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง โดย $n$-สิ่งอันดับ เป็นลำดับของสิ่ง $n$ สิ่ง (เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ) โดยที่อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ คุณสมบัติดังกล่าวนี้เองทำให้หลายสิ่งอันดับแตกต่างจากเซต การเขียนหลายสิ่งอันดับมักเขียนระบุสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้น คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค และครอบด้วยเครื่องหมายวงเล็บ เช่น $(2,7,4,1,7)$ เป็นห้าสิ่งลำดับ ซึ่งแตกต่างจากห้าสิ่งอันดับ $(7,7,1,2,4)$ หากหลายสิ่งอันดับนั้นมีสองสิ่ง จะมีชื่อเรียกเฉพาะว่าคู่อันดับ

ในคณิตศาสตร์ หลายสิ่งอันดับสามารถนำไปใช้อธิบายวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดอื่น ๆ ได้ เช่นเวกเตอร์ ส่วนในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน หลายสิ่งอันดับเป็นชนิดของตัวแปรที่มีความสำคัญ นอกจากนี้แล้วยังพบการใช้หลายสิ่งอันดับในศาสตร์อื่น ๆ เช่น ภาษาศาสตร์ และปรัชญา

คุณสมบัติ

โดยทั่วไปแล้ว จะกำหนดให้ $n$-สิ่งอันดับเท่ากัน ก็ต่อเมื่อสิ่งที่อยู่ในตำแหน่งตรงกันนั้นเท่ากันทั้งหมด นั่นคือ

$(a_1,a_2,\dots ,a_n)=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$ ก็ต่อเมื่อ $a_1=b_1,a_2=b_2,\dots ,a_n=b_n.$

คุณสมบัติดังกล่าวทำให้หลายสิ่งอันดับมีความแตกต่างจากเซต ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้

1. หลายสิ่งอันดับอาจมีแต่ละสิ่งเป็นจำนวนมากกว่าหนึ่งก็ได้ และจำนวนของสิ่งที่แตกต่างกันทำให้หลายสิ่งอันดับเปลี่ยนไป เช่น หลายสิ่งอันดับ $(1,2,2,3)\ne (1,2,3)$ แต่เซต $\{1,2,2,3\}=\{1,2,3\}$
2. อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ เช่น หลายสิ่งอันดับ $(1,2,3)\ne (3,2,1)$ แต่เซต $\{1,2,3\}=\{3,2,1\}$
3. หลายสิ่งอันดับจะมีจำนวนสิ่งไม่เป็นอนันต์ ส่วนเซตนั้นจะมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์หรือไม่ก็ได้

นิยาม

หลายสิ่งอันดับนั้นสามารถกำหนดนิยามได้หลายแบบโดยที่ยังสอดคล้องกับคุณสมบัติที่ต้องการข้างต้น ดังต่อไปนี้

นิยามด้วยฟังก์ชัน

ในเชิงทฤษฎีเซต อาจนิยาม $n$-สิ่งอันดับเป็นฟังก์ชัน F ที่มีโดเมนเป็นเซต X ของตำแหน่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ และโคโดเมนเป็นเซต Y ของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ นั่นคือ นิยามให้ $n$-สิ่งอันดับ คือ

$(a_1,a_2,\dots ,a_n)\equiv (X,Y,F)$

เมื่อ

$\begin{array}{cc}X& =\{1,2,\dots ,n\}\\ Y& =\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}\\ F& =\{(1,a_1),(2,a_2),\dots ,(n,a_n)\}\\ \end{array}$

หรืออาจเขียนในรูปลำลองได้เป็น

$(a_1,a_2,\dots ,a_n):=(F(1),F(2),\dots ,F(n))$

นิยามด้วยคู่ลำดับซ้อน

ในเชิงทฤษฎีเซตสามารถนิยาม $n$-สิ่งอันดับได้อีกวิธีหนึ่ง นั่นคือ การใช้คู่อันดับซ้อน วิธีการนี้สมมติว่ามีการกำหนดนิยามคู่อันดับไว้เรียบร้อยแล้ว จากนั้นนำมาขยายเป็นนิยามของ $n$-สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดดังนี้

1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง $\mathrm{\varnothing }$
2. $n$-สิ่งอันดับ เมื่อ $n>0$ นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็นสิ่งสิ่งแรก และสมาชิกตัวหลังเป็น $(n-1)$-สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ

   $(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)=(a_1,(a_2,a_3,\dots ,a_n))$

เมื่อใช้นิยามนี้แบบเวียนเกิดจะได้ว่า

$(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)=(a_1,(a_2,(a_3,(\dots ,(a_n,\mathrm{\varnothing })\dots ))))$

ตัวอย่างเช่น

$\begin{array}{cc}(1,2,3)& =(1,(2,(3,\mathrm{\varnothing })))\\ (1,2,3,4)& =(1,(2,(3,(4,\mathrm{\varnothing }))))\\ \end{array}$

หรืออาจกำหนดนิยามในทิศทางตรงข้ามก็ได้ ดังนี้

1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง $\mathrm{\varnothing }$
2. $n$-สิ่งอันดับ เมื่อ $n>0$ นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหลังเป็นสิ่งสิ่งสุดท้าย และสมาชิกตัวหน้าเป็น $(n-1)$-สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ

   $(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)=((a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{n-1}),a_n)$

เมื่อใช้นิยามแบบเวียนเกิดจะได้ว่า

$(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)=((\dots (((\mathrm{\varnothing },a_1),a_2),a_3),\dots ),a_n)$

ตัวอย่างเช่น

$\begin{array}{cc}(1,2,3)& =(((\mathrm{\varnothing },1),2),3)\\ (1,2,3,4)& =((((\mathrm{\varnothing },1),2),3),4)\\ \end{array}$

นิยามด้วยเซตซ้อน

เมื่อนำนิยามข้างต้นมาประกอบกับ นิยามคู่อันดับของคูระทาวสกี จะได้นิยามของ $n$-สิ่งอันดับ ที่เป็นนิยามในรูปทฤษฎีเซตแท้ ดังนี้

1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง $\mathrm{\varnothing }$
2. กำหนดให้ $x$ เป็น $n$-สิ่งอันดับ $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ และกำหนดให้ $x\to b\equiv (a_1,a_2,\dots ,a_n,b)$ จะได้ว่า $x\to b\equiv \{\{x\},\{x,b\}\}$ (เรียกว่า $x$ เชื่อมกับ $b$)

ตัวอย่างเช่น

$\begin{array}{ccccc}()& & & =& \mathrm{\varnothing }\\ & & & & \\ (1)& =& ()\to 1& =& \{\{()\},\{(),1\}\}\\ & & & =& \{\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },1\}\}\\ & & & & \\ (1,2)& =& (1)\to 2& =& \{\{(1)\},\{(1),2\}\}\\ & & & =& \{\{\{\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },1\}\}\},\\ & & & & \{\{\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },1\}\},2\}\}\\ & & & & \\ (1,2,3)& =& (1,2)\to 3& =& \{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}\\ & & & =& \{\{\{\{\{\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },1\}\}\},\\ & & & & \{\{\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },1\}\},2\}\}\},\\ & & & & \{\{\{\{\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },1\}\}\},\\ & & & & \{\{\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },1\}\},2\}\},3\}\}\end{array}$

อ้างอิง

• แม่แบบ:Citation
• Keith Devlin, The Joy of Sets. Springer Verlag, 2nd ed., 1993, ISBN 0-387-94094-4, pp. 7–8
• Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy, Foundations of set theory, Elsevier Studies in Logic Vol. 67, Edition 2, revised, 1973, ISBN 0-7204-2270-1, p. 33
• Gaisi Takeuti, W. M. Zaring, Introduction to Axiomatic Set Theory, Springer GTM 1, 1971, ISBN 978-0-387-90024-7, p. 14
• George J. Tourlakis, Lecture Notes in Logic and Set Theory. Volume 2: Set theory, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-75374-6, pp. 182–193