สัญกรณ์ลูกศรของคนูธ

ในทางคณิตศาสตร์ สัญกรณ์ลูกศรของคนูธ (อังกฤษ: Knuth's up-arrow notation) เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแสดงจำนวนที่มีค่ามาก ๆ คิดค้นโดย โดนัลด์ คนูธ เมื่อปี พ.ศ. 2519

นิยาม

การคูณ (multiplication) ของจำนวนนับสามารถนิยามโดยใช้การบวกได้ดังนี้

$\begin{array}{ccc}ab& =& \underbrace{a+a+\dots +a}\\ & & b\text{ copies of }a\end{array}$

เช่น

$\begin{array}{ccccc}3\times 2& =& \underbrace{3+3}& =& 6\\ & & 2\text{ copies of }3\end{array}$

การยกกำลัง (exponentiation) ก็สามารถนิยามโดยใช้การคูณได้ดังนี้

$\begin{array}{cc}a\uparrow b=a^b=& \underbrace{a\times a\times \dots \times a}\\ & b\text{ copies of }a\end{array}$

เช่น

$\begin{array}{cccc}3\uparrow 2=3^2=& \underbrace{3\times 3}& =& 9\\ & 2\text{ copies of }3\end{array}$

ซึ่งเป็นที่มาของการนิยามสัญลักษณ์ลูกศรสองตัว (tetration) ซึ่งนิยามโดย

$\begin{array}{ccccc}a\uparrow \uparrow b& ={}^{b}a=& \underbrace{a^{a^{{}^{.{}^{.{}^{.{}^a}}}}}}& =& \underbrace{a\uparrow a\uparrow \dots \uparrow a}\\ & & b\text{ copies of }a& & b\text{ copies of }a\end{array}$

เช่น

$\begin{array}{ccccccc}3\uparrow \uparrow 2& ={}^{2}3=& \underbrace{3^3}& =& \underbrace{3\uparrow 3}& =& 27\\ & & 2\text{ copies of }3& & 2\text{ copies of }3\end{array}$

ตัวอย่างของการเขียนสัญลักษณ์ลูกศรสองตัว ได้แก่

$3\uparrow \uparrow 2=3^3=27$

$3\uparrow \uparrow 3=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987$

$3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987}$

$3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^3}}}=3^{3^{7625597484987}}$

สัญลักษณ์ลูกศรสามตัว (pentation) นิยามโดย

$\begin{array}{cc}a\uparrow \uparrow \uparrow b=& \underbrace{a_{}\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow a}\\ & b\text{ copies of }a\end{array}$

สัญลักษณ์ลูกศรสี่ตัว (hexation) นิยามโดย

$\begin{array}{cc}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=& \underbrace{a_{}\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow \uparrow a}\\ & b\text{ copies of }a\end{array}$

และนิยามเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ นั่นคือ

$\begin{array}{c}a\underbrace{{\uparrow }_{}\uparrow \dots \uparrow }b=a\underbrace{\uparrow \dots \uparrow }a\underbrace{{\uparrow }_{}\dots \uparrow }a\dots a\underbrace{{\uparrow }_{}\dots \uparrow }a\\ n\underbrace{n_{}-1n-1n-1}\\ b\text{ copies of }a\end{array}$

เช่น

$3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987$

$\begin{array}{cc}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=& \underbrace{3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3}\\ & 3\uparrow 3\uparrow 3\text{ copies of }3\end{array}\begin{array}{cc}=& \underbrace{3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3}\\ & 7625597484987\text{ copies of }3\end{array}$