สมการจรวดซีออลคอฟสกี

แม่แบบ:ลิงก์ไปภาษาอื่น สมการจรวดของซีออลคอฟสกี (แม่แบบ:Langx) หรือ สมการจรวดอุดมคติ (แม่แบบ:Langx) อธิบายถึงการเคลื่อนที่ของยานพาหนะที่เป็นไปตามหลักการพื้นฐานของจรวด: จรวดเป็นอุปกรณ์ที่สามารถประยุกต์ความเร่งของตัวมันเอง (แรงขับดัน) โดยการขับไล่ส่วนหนึ่งของมวลของมันด้วยความเร็วที่สูงออกมาและทำให้เกิดการเคลื่อนที่ไปได้เนื่องมาจากกฏการอนุรักษ์โมเมนตัม สมการนี้มีความเกี่ยวข้องสัมพันธ์กันโดยค่าเดลต้า-วี (การเปลี่ยนแปลงสูงสุดของความเร็วของจรวดถ้าไม่มีแรงภายนอกอื่น ๆ มากระทำ) กับประสิทธิภาพความเร็วไอเสียและมวลเมื่อเริ่มต้นและครั้งสุดท้ายของจรวด (หรือจะเป็นเครื่องยนต์แห่งแรงปฏิกิริยาอื่น ๆ ก็ตามแต่)

สมการคือ:

$\mathrm{\Delta }v=v_{\text{e}}\ln \frac{m_0}{m_1}$

เมื่อ:

$m_0$ คือ มวลรวมตอนเริ่มต้น, รวมทั้งมวลของเชื้อเพลิงจรวด,

$m_1$ คือ มวลรวมตอนสุดท้าย,

$v_{\text{e}}$ คือ ประสิทธิภาพความเร็วไอเสีย ($v_{\text{e}}=I_{\text{sp}}\cdot g_0$ เมื่อ $I_{\text{sp}}$ คือ แรงดลจำเพาะ มีค่าตามช่วงเวลา, $g_0$ คือ ค่าความเร่งโน้มถ่วงมาตรฐาน),

$\mathrm{\Delta }v$ คือ เดลต้า-v - การเปลี่ยนแปลงสูงสุดของอัตราเร็วของยานพาหนะ, (เมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำ),:$\ln$ หมายถึงฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ,

หน่วยที่ใช้สำหรับมวลหรือความเร็วนั้นไม่สำคัญตราบเท่าที่พวกมันยังมีความสอดคล้องกัน

สมการถูกตั้งตามชื่อของคอนสแตนติน ซีออลคอฟสกี ซึ่งเป็นผู้ที่คิดขึ้นมาและผลงานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในปี 1903

ประวัติ

สมการนี้มีที่มาอย่างอิสระโดย คอนสแตนติน ซีออลคอฟสกี (Konstantin Tsiolkovsky) ในช่วงปลายของศตวรรษที่ 19 และเป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางในนามภายใต้ชื่อของเขาหรือเป็น 'สมการจรวดในอุดมคติ' อย่างไรก็ดีหนังสือเล่มเล็ก ๆ ที่เพิ่งค้นพบเมื่อไม่นานมานี้คือ "ตำราเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจรวด" (A Treatise on the Motion of Rockets) โดยวิลเลียม มัวร์ (William Moore) ได้แสดงให้เห็นว่าแหล่งที่มาของสมการนี้ที่รู้จักกันเป็นครั้งแรกในข้อเท็จจริงคือมาจากโรงเรียนนายร้อยทหารบกแห่งวัลลิช (Royal Military Academy at Woolwich) ในประเทศอังกฤษในปี 1813, และได้ถูกนำมาใช้สำหรับการวิจัยอาวุธ

ที่มา

พิจารณาระบบดังต่อไปนี้:

ในแหล่งที่มาดังต่อไปนี้ คำว่า "จรวด" จะถูกนำไปใช้ในความหมายว่า "จรวดและเชื้อเพลิงจรวดที่ยังไม่ถูกเผาไหม้ทั้งหมด"

กฎข้อที่สองของนิวตันของการเคลื่อนที่เกี่ยวข้องกับแรงภายนอก ($F_i$) ไปสู่การเปลี่ยนแปลงในโมเมนตัมเชิงเส้นของระบบดังต่อไปนี้:

$\sum F_i=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{P_2-P_1}{\mathrm{\Delta }t}$

เมื่อ $P_1$ คือ โมเมนตัมของจรวดที่เวลา t=0:

$P_1=\left(m+\mathrm{\Delta }m\right)V$

และ $P_2$ คือ โมเมนตัมของจรวดและโมเมนตัมของมวลไอเสียที่เวลา $t=\mathrm{\Delta }t$:

$P_2=m(V+\mathrm{\Delta }V)+\mathrm{\Delta }m{V}_e$

และเมื่อเทียบกับผู้สังเกต:

$V$ คือ ความเร็วของจรวดที่เวลา t=0

$V+\mathrm{\Delta }V$ คือ ความเร็วของจรวดที่เวลา $t=\mathrm{\Delta }t$

$V_e$ คือ ความเร็วของมวลที่เพิ่มขึ้นให้กับไอเสีย (และมวลที่สูญเสียไปของจรวด) ในระหว่างช่วงเวลา $\mathrm{\Delta }t$

$m+\mathrm{\Delta }m$ คือ มวลของจรวดที่เวลา t=0

$m$ คือ มวลของจรวดที่เวลา $t=\mathrm{\Delta }t$

ความเร็วของไอเสีย $V_e$ อยู่ในกรอบของผู้สังเกตการณ์ที่สัมพันธ์กับความเร็วของไอเสีย $v_e$ ในกรอบของจรวดโดย (เนื่องจากความเร็วของไอเสียเป็นไปในทิศทางที่เป็นลบ)

$V_e=V-v_e$

ดังนั้น จะได้

$P_2-P_1=m\mathrm{\Delta }V-v_e\mathrm{\Delta }m$

และ, โดยใช้ $dm=-\mathrm{\Delta }m$, เนื่องจากขณะดันออก เป็นบวก $\mathrm{\Delta }m$ จึงส่งผลให้เกิดการลดลงของมวล,

$\sum F_i=m\frac{dV}{dt}+v_e\frac{dm}{dt}$

ถ้าไม่มีแรงภายนอกแล้ว $\sum F_i=0$ และ

$m\frac{dV}{dt}=-v_e\frac{dm}{dt}$

สมมติว่า $v_e$ เป็นค่าคงที่, นี่อาจจะทำการอินทิเกรทให้ได้ผลเป็น:

$\mathrm{\Delta }V=v_e\ln \frac{m_0}{m_1}$

หรือสมมูลกับ

$m_1=m_0{e}^{-\mathrm{\Delta }V/v_e}$      หรือ      $m_0=m_1{e}^{\mathrm{\Delta }V/v_e}$      หรือ      $m_0-m_1=m_1(e^{\mathrm{\Delta }V/v_e}-1)$

เมื่อ $m_0$ คือ มวลรวมเริ่มต้นรวมทั้งเชื้อเพลิงจรวด, $m_1$ คือ มวลรวมสุดท้าย และ $v_e$ คือ ความเร็วของไอเสียจรวดส่วนที่เกี่ยวกับจรวด (แรงดลจำเพาะ, หรือหากวัดในเวลาจะคูณด้วยอัตราเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก)

ค่า $m_0-m_1$ เป็นมวลรวมของเชื้อเพลิงจรวดที่ถูกใช้, และด้วยเหตุนี้:

$M_f=1-\frac{m_1}{m_0}=1-e^{-\mathrm{\Delta }V/v_{\text{e}}}$

เมื่อ $M_f$ เป็นเศษส่วนมวลของเชื้อเพลิงจรวด (ส่วนหนึ่งของมวลรวมเริ่มต้นที่ใช้เป็นมวลปฏิกิริยา)

(เดลต้า v) คือการอินทิเกรทในช่วงเวลาของขนาดของความเร่งที่ผลิตโดยใช้เครื่องยนต์จรวด (สิ่งที่จะเป็นความเร่งที่เกิดขึ้นจริงถ้าแรงจากภายนอกไม่มี) ในพื้นที่ว่าง (หรือ อวกาศอิสระ), สำหรับกรณีของความเร่งในทิศทางของความเร็ว, นี้คือการเพิ่มขึ้นของความเร็ว ในกรณีที่มีความเร่งในทิศทางตรงข้าม (ชะลอความเร็วลง) มันคือการลดลงของอัตราเร็ว แน่นอนว่าแรงโน้มถ่วงและแรงฉุดก็คือตัวทำให้เกิดความเร่งต่อจรวด, และสามารถเพิ่มหรือลดลงได้ในการเพื่อที่จะเปลี่ยนแปลงความเร็วของมันโดยการได้รับประสบการณ์จากการควบคุมอากาศยานลำนั้น ๆ นั่นเอง ดังนั้น เดลต้า-v มักจะไม่ได้มีการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นจริงในอัตราเร็วหรือความเร็วของอากาศยาน

ถ้าทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษถูกนำมาพิจารณา, สมการดังต่อไปนี้จะสามารถได้มาจากการเคลื่อนที่แบบจรวดเชิงสัมพัทธ (relativistic rocket), ด้วย $\mathrm{\Delta }v$ อีกครั้งโดยถูกกำหนดให้เป็นความเร็วสุดท้ายของจรวด (หลังจากการเผาไหม้เชื้อเพลิงออกไปหมดและมีการลดลงของมวลส่วนที่เหลือ $m_1$) ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเมื่อจรวดเริ่มต้นเคลื่อนที่ที่จุดหยุดนิ่ง (ที่มีมวลส่วนที่เหลือรวมทั้งเชื้อเพลิงที่เป็น $m_0$ ในตอนเริ่มต้น) และ $c$ ถูกกำหนดให้เป็นค่าสำหรับอัตราเร็วของแสงในสูญญากาศ:

$\frac{m_0}{m_1}={\left[\frac{1+\frac{\mathrm{\Delta }v}{c}}{1-\frac{\mathrm{\Delta }v}{c}}\right]}^{\frac{c}{2v_e}}$

การเขียน $\frac{m_0}{m_1}$ ให้เป็น $R$, ด้วยพีชคณิตเล็ก ๆ น้อย ๆ แบบนี้จะช่วยทำให้สมการนี้ได้รับการปรับปรุงใหม่เป็น

$\frac{\mathrm{\Delta }v}{c}=\frac{R^{\frac{2v_e}{c}}-1}{R^{\frac{2v_e}{c}}+1}$

จากนั้นใช้เอกลักษณ์ $R^{\frac{2v_e}{c}}=\exp [\frac{2v_e}{c}\ln R]$ (ในที่นี่ "exp" หมายถึงฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (exponential function); ดูเพิ่มเติม ลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าเช่นเดียวกับ "ยกกำลัง" ของเอกลักษณ์ของเอกลักษณ์ลอการิทึม (Logarithmic identities) และเอกลักษณ์ $\tanh x=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$ (ดู ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก (Hyperbolic function)) นี้จะเทียบเท่ากับ

$\mathrm{\Delta }v=c\cdot \tanh (\frac{v_e}{c}\ln \frac{m_0}{m_1})$

ดูเพิ่ม

• Delta-v
• Delta-v budget
• Oberth effect
• Specific impulse
• Spacecraft propulsion
• Mass ratio
• Working mass
• Relativistic rocket
• Reversibility of orbits
• Variable-mass systems