รายการกฎการอนุมาน

หน้าวิกิพีเดียนี้ มีจุดประสงค์เพื่อรวบรวมรายการกฎการอนุมาน (แม่แบบ:Interlanguage link) ซึ่งเป็นกฎทางตรรกศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณสมการเชิงคณิตตรรกศาสตร์

กฎการอนุมาน

กฎการอนุมานเป็นกฎการแปลงทางสัณฐานวิทยา สามารถใช้เพื่อสรุปข้อสรุปจากหลักฐานเพื่อโต้เถียงกลับเชิงตรรกะได้ สามารถใช้ชุดของกฎเพื่ออนุมานข้อสรุปที่ถูกต้องจากหลักฐานเชิงตรรกศาสตร์ที่สมบูรณ์ได้ (ในขณะที่จะไม่สามารภอนุมานข้อสรุปถูกต้องได้ หากหลักฐานเชิงตรรกศาสตร์นั้นไม่ครบถ้วน) กฎที่สมบูรณ์ครบถ้วนไม่จำเป็นต้องรวมทุกกฎทั้งหมดที่มีในรายการต่อไปนี้ เนื่องจากกฎหลายข้อนั้นมีความซ้ำซ้อนและสามารถพิสูจน์ได้ด้วยกฎอื่น ๆ

กฎสำหรับแคลคูลัสเชิงประพจน์แบบคลาสสิก

รายการด้านล่างคือกฎการอนุมานสำหรับแคลคูลัสเชิงประพจน์ (propositional calculus) แบบคลาสสิก

กฎนิเสธ (Rules for negations)

แม่แบบ:Interlanguage link (หรือ Negation Introduction)

$\phi ⊢\psi$

$\phi ⊢\mathrm{\neg }\psi$

$\overline{\mathrm{\neg }\phi }$

Reductio ad absurdum (เกี่ยวข้องกับ แม่แบบ:Interlanguage link)

$\mathrm{\neg }\phi ⊢\psi$

$\mathrm{\neg }\phi ⊢\mathrm{\neg }\psi$

$\bar{\phi }$

แม่แบบ:Interlanguage link

$\phi$

$\mathrm{\neg }\phi$

$\bar{\psi }$

กฎนิเสธซ้อนนิเสธ (แม่แบบ:Interlanguage link)

$\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\phi$

$\bar{\phi }$

แม่แบบ:Interlanguage link

$\phi$

$\overline{\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\phi }$

กฎสำหรับหรือ (Rules for conditionals)

แม่แบบ:Interlanguage link (หรือ แม่แบบ:Interlanguage link)

$\phi ⊢\psi$

$\overline{\phi \to \psi }$

การแจ้งผลตามเหตุ (แม่แบบ:Interlanguage link หรือ Conditional Elimination)

$\phi \to \psi$

$\phi$

$\bar{\psi }$

การค้านผลตามเหตุ (แม่แบบ:Interlanguage link)

$\phi \to \psi$

$\mathrm{\neg }\psi$

$\overline{\mathrm{\neg }\phi }$

กฎสำหรับและ (Rules for conjunctions)

แม่แบบ:Interlanguage link (หรือ Conjunction Introduction)

$\phi$

$\psi$

$\overline{\phi \wedge \psi }$

การแจงผลร่วม (แม่แบบ:Interlanguage link หรือ Conjunction Elimination)

$\phi \wedge \psi$

$\bar{\phi }$

$\phi \wedge \psi$

$\bar{\psi }$

กฎสำหรับถ้า... แล้ว... (Rules for disjunctions)

การเติมผล (แม่แบบ:Interlanguage link หรือ Disjunction Introduction)

$\phi$

$\overline{\phi \vee \psi }$

$\psi$

$\overline{\phi \vee \psi }$

แม่แบบ:Interlanguage link (หรือ Proof by Cases หรือ Argument by Cases หรือ Disjunction elimination)

$\phi \to \chi$

$\psi \to \chi$

$\phi \vee \psi$

$\bar{\chi }$

ตรรกบทแบบคัดออก (แม่แบบ:Interlanguage link)

$\phi \vee \psi$

$\mathrm{\neg }\phi$

$\bar{\psi }$

$\phi \vee \psi$

$\mathrm{\neg }\psi$

$\bar{\phi }$

การเลือกผลตามเหตุ (แม่แบบ:Interlanguage link)

$\phi \to \chi$

$\psi \to \xi$

$\phi \vee \psi$

$\overline{\chi \vee \xi }$

กฎสำหรับก็ต่อเมื่อ (Rules for biconditionals)

แม่แบบ:Interlanguage link

$\phi \to \psi$

$\psi \to \phi$

$\overline{\phi \leftrightarrow \psi }$

แม่แบบ:Interlanguage link

$\phi \leftrightarrow \psi$

$\phi$

$\bar{\psi }$

$\phi \leftrightarrow \psi$

$\psi$

$\bar{\phi }$

$\phi \leftrightarrow \psi$

$\mathrm{\neg }\phi$

$\overline{\mathrm{\neg }\psi }$

$\phi \leftrightarrow \psi$

$\mathrm{\neg }\psi$

$\overline{\mathrm{\neg }\phi }$

$\phi \leftrightarrow \psi$

$\psi \vee \phi$

$\overline{\psi \wedge \phi }$

$\phi \leftrightarrow \psi$

$\mathrm{\neg }\psi \vee \mathrm{\neg }\phi$

$\overline{\mathrm{\neg }\psi \wedge \mathrm{\neg }\phi }$

ตารางกฎการอนุมาน

กฎด้านบนนั้นสามารถรวมกันไว้ได้ตามตารางนี้ ตารางคอลัมน์สัจนิรันดร์ (แม่แบบ:Interlanguage link) แสดงวิธีการแสดงกฎแต่ละข้อตามหลักคณิตตรรกศาสตร์แบบสัจนิรันดร์

Rules of inference	สัจนิรันดร์	ชื่อภาษาอังกฤษ	ชื่อภาษาไทย
$\begin{array}{c}p\\ p\to q\\ \therefore \bar{q}\\ \end{array}$	$(p\wedge (p\to q))\to q$	แม่แบบ:Interlanguage link	กฎการแจงผลตามเหตุ
$\begin{array}{c}\mathrm{\neg }q\\ p\to q\\ \therefore \overline{\mathrm{\neg }p}\\ \end{array}$	$(\mathrm{\neg }q\wedge (p\to q))\to \mathrm{\neg }p$	แม่แบบ:Interlanguage link	กฎการแจงผลค้านเหตุ
$\begin{array}{c}(p\vee q)\vee r\\ \therefore \overline{p\vee (q\vee r)}\\ \end{array}$	$((p\vee q)\vee r)\to (p\vee (q\vee r))$	Associative	กฎการเปลี่ยนหมู่
$\begin{array}{c}p\wedge q\\ \therefore \overline{q\wedge p}\\ \end{array}$	$(p\wedge q)\to (q\wedge p)$	Commutative
$\begin{array}{c}p\to q\\ q\to p\\ \therefore \overline{p\leftrightarrow q}\\ \end{array}$	$((p\to q)\wedge (q\to p))\to (p\leftrightarrow q)$	Law of biconditional propositions
$\begin{array}{c}(p\wedge q)\to r\\ \therefore \overline{p\to (q\to r)}\\ \end{array}$	$((p\wedge q)\to r)\to (p\to (q\to r))$	Exportation
$\begin{array}{c}p\to q\\ \therefore \overline{\mathrm{\neg }q\to \mathrm{\neg }p}\\ \end{array}$	$(p\to q)\to (\mathrm{\neg }q\to \mathrm{\neg }p)$	Transposition or contraposition law
$\begin{array}{c}p\to q\\ q\to r\\ \therefore \overline{p\to r}\\ \end{array}$	$((p\to q)\wedge (q\to r))\to (p\to r)$	Hypothetical syllogism	ตรรกบทแบบสมมติฐาน
$\begin{array}{c}p\to q\\ \therefore \overline{\mathrm{\neg }p\vee q}\\ \end{array}$	$(p\to q)\to (\mathrm{\neg }p\vee q)$	Material implication
$\begin{array}{c}(p\vee q)\wedge r\\ \therefore \overline{(p\wedge r)\vee (q\wedge r)}\\ \end{array}$	$((p\vee q)\wedge r)\to ((p\wedge r)\vee (q\wedge r))$	Distributive	กฎการแจกแจง
$\begin{array}{c}p\to q\\ \therefore \overline{p\to (p\wedge q)}\\ \end{array}$	$(p\to q)\to (p\to (p\wedge q))$	Absorption	กฎการซึมซับ
$\begin{array}{c}p\vee q\\ \mathrm{\neg }p\\ \therefore \bar{q}\\ \end{array}$	$((p\vee q)\wedge \mathrm{\neg }p)\to q$	Disjunctive syllogism	กฎตรรกบทแบบคัดออก
$\begin{array}{c}p\\ \therefore \overline{p\vee q}\\ \end{array}$	$p\to (p\vee q)$	Addition	กฎการเติมผล
$\begin{array}{c}p\wedge q\\ \therefore \bar{p}\\ \end{array}$	$(p\wedge q)\to p$	Simplification	กฎการแจงผลร่วม
$\begin{array}{c}p\\ q\\ \therefore \overline{p\wedge q}\\ \end{array}$	$((p)\wedge (q))\to (p\wedge q)$	Conjunction
$\begin{array}{c}p\\ \therefore \overline{\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }p}\\ \end{array}$	$p\to (\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }p)$	Double negation	นิเสธซ้อนนิเสธ
$\begin{array}{c}p\vee p\\ \therefore \bar{p}\\ \end{array}$	$(p\vee p)\to p$	Disjunctive simplification	การแจงผลร่วมแบบคัดออก
$\begin{array}{c}p\vee q\\ \mathrm{\neg }p\vee r\\ \therefore \overline{q\vee r}\\ \end{array}$	$((p\vee q)\wedge (\mathrm{\neg }p\vee r))\to (q\vee r)$	Resolution
$\begin{array}{c}p\to q\\ r\to q\\ p\vee r\\ \therefore \bar{q}\\ \end{array}$	$((p\to q)\wedge (r\to q)\wedge (p\vee r))\to q$	Disjunction Elimination

ดูเพิ่ม

• แม่แบบ:Interlanguage link

อ้างอิง

แม่แบบ:ตรรกศาสตร์