ฟังก์ชันเมอบีอุส
ฟังก์ชันเมอบีอุส (แม่แบบ:Langx) คลาสสสิก แม่แบบ:Math เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณสำคัญในทฤษฎีจำนวนและคณิตศาสตร์เชิงการจัด นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ออกุส เฟอร์ดีนันด์ เมอบีอุสเป็นผู้ริเริ่มในปี 1832[1][2] เป็นกรรีพิเศษของวัตถุทั่วไปกว่าในคณิตศาสตร์เชิงการจัด
บทนิยาม
สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ แม่แบบ:Math นิยาม แม่แบบ:Math ว่าเป็นผลรวมของ [[Primitive nth root of unity|รากที่ แม่แบบ:Mvar ปฐมฐานของ 1]] มีค่าใน {แม่แบบ:Num/neg, แม่แบบ:Num, แม่แบบ:Num} ขึ้นอยู่กับการแยกตัวประกอบของ แม่แบบ:Math เป็นตัวประกอบเฉพาะ
- แม่แบบ:Math ถ้า แม่แบบ:Math เป็นจำนวนเต็มบวกสแควร์ฟรี (square-free) ที่มีจำนวนตัวประกอบเฉพาะคู่
- แม่แบบ:Math ถ้า แม่แบบ:Math เป็นจำนวนเต็มบวกสแควร์ฟรีที่มีจำนวนตัวประกอบเฉพาะคี่
- แม่แบบ:Math ถ้า แม่แบบ:Math มีตัวประกอบเฉพาะกำลังสอง
ฟังก์ชันเมอบีอุสสามารถแสดงอีกอย่างได้เป็น
โดยที่ แม่แบบ:Math เป็น โครเนกเกอร์เดลตา, แม่แบบ:Math เป็น ฟังก์ชันอูลวิลล์, แม่แบบ:Math เป็นจำนวนตัวหารเฉพาะไม่ซ้ำกันของ แม่แบบ:Math, และ แม่แบบ:Math เป็นจำนวนตัวประกอบเฉพาะของ แม่แบบ:Math, ที่นับด้วยภาวะรากซ้ำ
ค่าของ แม่แบบ:Math สำหรับจำนวนบวก 30 จำนวนแรก แม่แบบ:OEIS ได้แก่
| แม่แบบ:Math | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| แม่แบบ:Math | 1 | −1 | −1 | 0 | −1 | 1 | −1 | 0 | 0 | 1 |
| แม่แบบ:Math | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| แม่แบบ:Math | −1 | 0 | −1 | 1 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 |
| แม่แบบ:Math | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| แม่แบบ:Math | 1 | 1 | −1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | −1 | −1 |
50 ค่าแรกของฟังก์ชันลงจุดได้ด้านล่าง
อ้างอิง
- ↑ Hardy & Wright, Notes on ch. XVI: "... แม่แบบ:Math occurs implicitly in the works of Euler as early as 1748, but Möbius, in 1832, was the first to investigate its properties systematically."
- ↑ In the Disquisitiones Arithmeticae (1801) Carl Friedrich Gauss showed that the sum of the primitive roots (แม่แบบ:Math) is แม่แบบ:Math, (see #Properties and applications) but he didn't make further use of the function. In particular, he didn't use Möbius inversion in the Disquisitiones.