ปัญหาแฮปปี้เอ็นดิ้ง

ปัญหาแฮปปี้เอ็นดิ้ง เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ ตั้งชื่อโดยพอล แอร์ดิช หลังจากปัญหานี้ทำให้เกิดการแต่งงานของ George Szekeres และ Esther Klein มีดังนี้

สำหรับจุดห้าจุดใด ๆ ในระนาบ จะต้องมีจุดสี่จุดซึ่งทำให้เกิดสี่เหลี่ยมนูน

ปัญหาที่ใหญ่ขึ้น

แอร์ดิช และ Szekeres ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทดังนี้

สำหรับจำนวนเต็มบวก N ใดๆ มีเซตจำกัดของจุดบนระนาบที่มีจุด N จุดภายในเซตนั้น ซึ่งทำให้เกิดรูป N เหลี่ยมนูน

ให้ f(N) แทนค่า M ที่น้อยที่สุดที่ทำให้เซตของจุด M จุดใดๆ จะต้องมีจุด N จุดภายในเซตนั้น ซึ่งทำให้เกิดรูป N เหลี่ยมนูน

สำหรับ F(N) เมื่อ N เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ ยังไม่มีสูตรที่ใช้หา แอร์ดิชและ Szekeres ตั้งข้อคาดเดาไว้ว่า

f (N) = 1 + 2^{N - 2} for all N \geq 3

ในปี พ.ศ. 2504 แอร์ดิชและ Szekeres พิสูจน์ได้ว่า

f (N) \geq 1 + 2^{N - 2}

ขอบเขตบนของ f(N) เมื่อ $N \geq 5$ ที่ดีที่สุดเท่าที่ทราบในปัจจุบันคือ

f (N) \leq (\binom{2 N - 5}{N - 3}) + 1 = Θ (\frac{4^{N}}{\sqrt{N}})