บ่อศักย์แบบลึกจำกัด

บ่อศักย์แบบลึกจำกัด หรือ บ่อศักย์แบบความกว้างจำกัด เป็นแนวคิดจากกลศาสตร์ควอนตัม โดยเป็นส่วนขยายของบ่อศักย์แบบอนันต์ซึ่งเป็นอนุภาคที่ถูกกักขังอยู่ในกล่องแต่ในที่นี้เป็นแบบที่มีความลึกจำกัด และแตกต่างจากแบบลึกอนันต์ตรงที่มีโอกาสที่จะพบอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่อง การตีความแบบกลควอนตัมจะแตกต่างจากการตีความแบบคลาสสิก คือ ถ้าพลังงานทั้งหมดของอนุภาคน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง อนุภาคจะไม่สามารถพบอยู่ภายนอกกล่องได้ แต่ในการตีความแบบควอนตัม จะมีความน่าจะเป็นของอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่องที่ไม่เป็นศูนย์ ถึงแม้พลังงานของอนุภาคจะน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง 

อนุภาคในกล่อง 1 มิติ

สำหรับกรณี 1 มิติในแนวแกน x สามารถเขียนสมการชเรอชิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา ได้ดังนี้

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi =E\psi (1)$

เมื่อ $\hslash =\frac{h}{2\pi }$,

$h$ คือ ค่าคงที่ของพลังค์

$m$ คือ มวขของอนุภาค

$\psi$ คือ ฟังก์ชันคลื่นจินตภาพ (ที่ต้องการหา)

$V\left(x\right)$ คือ ฟังก์ชันของพลังงานศักย์ในแต่ละค่า x

$E$ คือ พลังงาน ซึ่งเป็นจำนวนจริง 

เมื่อพิจารณาอนุภาคมวล m เคลื่อนที่ในบ่อศักย์แบบลึกจำกัด จะเขียนเป็นฟังก์ชันของพลังงานศักย์ได้ดังนี้

$V(x)=\{\begin{array}{cc}{V}_0,& \text{if }x<-L/2\\ 0,& \text{if }-L/2<x<L/2\\ V_0& \text{if }x>L/2\end{array}$

ตามทฤษฎีของกลศาสตร์คลาสสิก อนุภาคจะถูกกักและสะท้อนกลับไปกลับมาระหว่างขอบเขต -L/2<x<L/2 เท่านั้น โดยที่อนุภาคจะมีค่าพลังงานเป็นค่าใด ๆ แต่ในกลศาสตร์ควอนตัม พลังงานของอนุภาคจะมีค่าได้เพียงบางค่าเท่านั้น และค่านั้นจะเป็นค่าเจาะลง (Eigen value) ของฟังก์ชันคลื่นที่เป็น Eigen function ที่สอดคล้องกันในแต่ละขอบเขตที่พิจารณา โดยฟังก์ชันคลื่นแต่ละขอบเขตจะแตกต่างกันตามขอบเขตของ x ขึ้นอยู่กับว่าอยู่ภายในหรือภายนอกของกล่อง แบ่งขอบเขตของกล่องเป็น 3 ส่วนและเขียนฟังก์ชันคลื่นได้ดังนี้

$\psi =\{\begin{array}{cc}{\psi }_1,& \text{if }x<-L/2\text{ (the region outside the box)};R_1\\ {\psi }_2,& \text{if }-L/2<x<L/2\text{ (the region inside the box)};R_2\\ {\psi }_3& \text{if }x>L/2\text{ (the region outside the box)};R_3\end{array}$

ขอบเขตภายในกล่อง

กรณีขอบเขตอยู่ภายในกล่อง (บริเวณที่ 2) จะได้ V(x) = 0 และเขียนสมการชเรอดิงเงอร์ได้เป็น

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2{\psi }_2}{d{x}^2}=E{\psi }_2.(2)$

เมื่อ $k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash },$

ได้คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ (2) เป็น $\frac{d^2{\psi }_2}{d{x}^2}=-k^2{\psi }_2.$

ขอบเขตภายนอกกล่อง

เมื่อพิจารณาบริเวณนอกกล่อง ซึ่งมี 2 บริเวณ คือ บริเวณที่ 1 และ 3 โดย V(x)= V₀ เขียนสมการชเรอดิงเงอร์ได้เป็น

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2{\psi }_1}{d{x}^2}=(E-V_o){\psi }_1(3)$

การพิจารณาแบ่งเป็น 2 กรณี คือ

1. เมื่ออนุภาคมีพลังงานมากกว่าพลังงานศักย์ (E>V₀) จะไม่ถูกกักไว้ในบ่อ แต่จะถูกกระเจิงออกไปโดยพลังงานศักย์ของบ่อ เรียกว่า การกระเจิง (The Scattering)
2. เมื่ออนุภาคมีพลังงานน้อยกว่าพลังงานศักย์ (E<V₀) จะถูกกักไว้ในบ่อศักย์ เรียกกรณีนี้ว่า สถานะจำกัดขอบเขต (Bound state)

ในกรณีนี้จะพิจารณา กรณีที่ 2 Bound state (E< V₀) ดังนั้นเขียนสมการใหม่ได้เป็น

$\frac{d^2{\psi }_1}{d{x}^2}={\alpha }^2{\psi }_1(4)$

เมื่อ $\alpha =\frac{\sqrt{2m(V_o-E)}}{\hslash }$

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ (4) คือ  ${\psi }_1=F{e}^{-\alpha x}+G{e}^{\alpha x}$

และคล้ายกันในบริเวณที่ 3 จะได้ ${\psi }_3=H{e}^{-\alpha x}+I{e}^{\alpha x}$

การหาฟังก์ชันคลื่นสำหรับกรณี bound state

โดยในส่วนก่อนหน้า เราหาฟังก์ชันคลื่นแต่ละบริเวณได้เป็น

${\psi }_1=F{e}^{-\alpha x}+G{e}^{\alpha x}$

${\psi }_2=A\sin (kx)+B\cos (kx)$

${\psi }_3=H{e}^{-\alpha x}+I{e}^{\alpha x}$

เมื่อพิจารณาที่ $x\to -\mathrm{\infty }$ จะเห็นว่าเทอม $F{e}^{-\alpha x}$ มีค่าไม่จำกัด

และเช่นเดียวกัน เมื่อพิจารณาที่ $x\to +\mathrm{\infty }$  เทอม $I{e}^{\alpha x}$ จะมีจำกัด

ซึ่งฟังก์ชันคลื่นจะต้องลู่เข้าสู่ศูนย์ นั่นคือต้องให้ F = I = 0 เขียนฟังก์ชันคลื่นใหม่ได้ว่า

${\psi }_1=G{e}^{\alpha x}$

and

${\psi }_3=H{e}^{-\alpha x}$

ในการคำนวณหา eigenvalue นั้น คำตอบของสมการชเรอดิงเงอร์หรือฟังก์ชันคลื่นทั้ง 3 บริเวณจะต้องมีความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์อันดับ 1 ที่บริเวณรอยต่อที่ x = -L/2 และ L/2 

ตามสมการ

${\psi }_1(-L/2)={\psi }_2(-L/2)$		${\psi }_2(L/2)={\psi }_3(L/2)$
$\frac{d{\psi }_1}{dx}(-L/2)=\frac{d{\psi }_2}{dx}(-L/2)$		$\frac{d{\psi }_2}{dx}(L/2)=\frac{d{\psi }_3}{dx}(L/2)$

คำตอบของสมการเหล่านี้จะเป็นจริงได้ 2 กรณี

1. กรณีสมมาตร (symmetric case) เมื่อ A = 0 และ G = H เป็นคำตอบฟังก์ชันคี่ (Odd function)
2. กรณีปฏิสมมาตร (antisymmetric case) เมื่อ B = 0 และ G = -H เป็นคำตอบฟังก์ชันคู่ (Even function)

ในกรณี เป็นแบบสมมาตร (ฟังก์ชันคี่) (A = 0, B $\ne$ 0) บริเวณรอยต่อที่ x = L/2 จะได้

$H{e}^{-\alpha L/2}=B\cos (kL/2)(5)$

$-\alpha H{e}^{-\alpha L/2}=-kB\sin (kL/2)(6)$

แก้สมการ โดย (6)/(5) จะได้

$\alpha =k\tan (kL/2)(7)$

และเช่นเดียวกันใน กรณีไม่สมมาตร (ฟังก์ชันคู่) จะได้

$\alpha =-k\cot (kL/2)(8)$

จากสมการ (7) และ (8) Eigenvalue ไม่สามารถหาค่าได้โดยตรง เนื่องจากทำได้ยาก ต้องหาค่าโดยใช้กราฟหรือตัวเลข