ขั้นตอนวิธีโฟรเบนีอุส

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง ขั้นตอนวิธีโฟรเบนิอุส (แม่แบบ:Langx) เป็นวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่อยู่ในรูปแบบ

$z^2{u}^{″}+p(z)z{u}^{\prime }+q(z)u=0$

หรือที่เราเรียกกันว่ารูปแบบที่ทำให้เกิดจุดเอกฐานปกติ(Regular Singular Point) ซึ่งรูปแบบที่หารสมการด้วย $z^2$ตลอดแล้วจะได้

$u^{″}+\frac{p(z)}{z}{u}^{\prime }+\frac{q(z)}{z^2}u=0$

รูปแบบนี้จะไม่มีผลเฉลยเป็นอนุกรมกำลังทั่วไป

วิธีการ

รูปแบบของผลเฉลยจะพบว่ามี $x^r$ค่าหนึ่งคูณเข้าไปในอนุกรมกำลังทำให้ $A_0$ไม่ได้เป็นสัมประสิทธิ์ของ $x^0$ รูปแบบอนุกรมเป็นดังนี้

$u(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^{k+r}$

เมื่อหาอนุพันธ์ของอนุกรมทั้งอันดับหนึ่งและอันดับสองจะได้

$u^{\prime }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+r)A_k{z}^{k+r-1}$

$u^{″}(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+r-1)(k+r)A_k{z}^{k+r-2}$

เมื่อแทนค่าแล้วจะได้

$z^2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+r-1)(k+r)A_k{z}^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+r)A_k{z}^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^{k+r}$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+r-1)(k+r)A_k{z}^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+r)A_k{z}^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^{k+r}$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+r-1)(k+r)A_k{z}^{k+r}+p(z)(k+r)A_k{z}^{k+r}+q(z)A_k{z}^{k+r}$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_k{z}^{k+r}$

$=(r(r-1)+p(0)r+q(0))A_0{z}^r+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_k{z}^{k+r}$

เมื่อจัดพจน์แล้วเราพบว่าทั้งอนุกรมนี้จะให้คำตอบเท่ากับศูนย์ทุกๆค่า $x$ ดังนั้นสัมประสิทธิ์แต่ละตัวของ $x^n$ จะต้องเป็นศูนย์ด้วย สำหรับส่วนที่เกินขึ้นมานอก $\sum$ เป็นส่วนที่ใช้หาค่า r โดยเฉพาะ โดยการแทนค่าเพื่อหาค่า r ที่ทำให้สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นศูนย์โดยที่ $A_0$ ไม่เท่ากับศูนย์ ส่วนใน$\sum$ จะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิดซึ่งใช้หา $A_n$ ต่อไป แม่แบบ:โครงคณิตศาสตร์