ขั้นตอนวิธีพีลบหนึ่งของพอลลาร์ด

ขั้นตอนวิธีพีลบหนึ่งของพอลลาร์ด (แม่แบบ:Langx) เป็นขั้นตอนวิธีในการหาตัวประกอบของจำนวนเต็มโดยใช้แนวคิดทางทฤษฎีจำนวนเป็นพื้นฐาน ขั้นตอนวิธีดังกล่าว จอห์น พอลลาร์ด (John Pollard) นำเสนอขึ้นในปี 1974

แนวคิดพื้นฐาน

ขั้นตอนวิธีพีลบหนึ่งของพอลลาร์ดมีพื้นฐานอยู่บนทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ สำหรับจำนวนเต็ม a ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ p และสำหรับจำนวนเต็มบวก K แล้ว

$a^{K(p-1)}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

ถ้า x เป็นสมภาคกับ 1 มอดุโลด้วยตัวประกอบหนึ่งของ n เมื่อ n คือจำนวนเต็มที่ต้องการหาตัวประกอบ แล้วตัวประกอบนั้น ๆ ย่อมต้องหารตัวหารร่วมมากของ x - 1 และ n ได้ลงตัว ในการเลือกเต็มบวก K นั้นเพื่อนำไปหาร p - 1 นั้น มันจะให้ K เกิดผลคูณของเลขยกกำลังของจำนวนเฉพาะหลาย ๆ ตัว โดยมากแล้วมักจะเลือกจำนวนเฉพาะที่จะมาใช้เป็นตัวประกอบนั้นไม่ให้มีค่าเกินค่า ๆ หนึ่ง (ในที่นี้จะขอเรียกว่า B) เริ่มจากการสุ่มตัวเลข x มาหนึ่งตัว แล้วแทนค่าของ x ด้วย $x^{w}modn$ เมื่อ w แทนจำนวนเฉพาะที่ใช้เป็นเลขยกกำลัง ซึ่งขั้นตอนวิธีจะหาตัวประกอบของจำนวนเต็ม n ได้ก็ต่อเมื่อตัวหารร่วมมากของ x - 1 และ n ไม่เท่ากับ 1

ขั้นตอนวิธี และอัตราการเติบโต

ข้อมูลขาเข้า: จำนวนประกอบ n

ข้อมูลขาออก: ตัวประกอบของ n หรือข้อผิดพลาด (ในกรณีที่หาตัวประกอบไม่พบ)

1. เลือกขอบเขตบน B ของจำนวนเฉพาะที่จะนำมาใช้เป็นตัวประกอบของจำนวนเต็ม' K
2. $M\leftarrow \prod _{\text{primes}q\le B}{q}^{\lfloor {\log }_{q}B\rfloor }$
3. สุ่มเลือก a ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ p (ข้อสังเกต: อย่างไรก็ตาม สามารถกำหนดค่าของ a ได้เองเลย เนื่องจากการสุ่มเลือกในขั้นตอนนี้ยังไม่จำเป็นเท่าไรนัก)
4. $g\leftarrow \gcd (a^M-1,n)$ (โดยระหว่างการคำนวณ $a^M$ ให้ทำการมอดุโลด้วย n ควบคู่ไปด้วย)
5. ถ้า 1 < g < n นั่นคือพบตัวประกอบแล้ว ให้คืนค่า g
6. ถ้า g = 1 หรือ g = n ให้กลับไปเลือกค่า B ใหม่ที่มากกว่าเดิม แล้วย้อนกลับไปทำขั้นตอนที่ 2 อีกครั้ง หรือแสดงข้อผิดพลาดว่าหาไม่พบ

อัตราการเติบโตของขั้นตอนวิธีนี้คือ O(B × log B × log²n) โดยยิ่ง B มีค่ามาก ยิ่งทำให้ทำงานช้า แต่ทำให้โอกาสที่จะหาตัวประกอบพบนั้นเพิ่มมากขึ้น

ตัวอย่างการหาตัวประกอบ

ต้องการหาตัวประกอบของ n = 2987 โดยให้ a = 2 และ M = 7! (ในที่นี้จะขอเลือก M = 7 เพื่อความสะดวกในการแสดงตัวอย่างการคำนวณ) ด้วยขั้นตอนวิธีพีลบหนึ่งของพอลลาร์ด จึงต้องคำนวณหา $2^{7!}(\mathrm{mod}2987)$ ซึ่งคำนวณได้จาก

$(((((2^2{)}^3{)}^4{)}^5{)}^6{)}^7(\mathrm{mod}2987)$

ซึ่งจะได้ลำดับของการคำนวณ ดังนี้

$2^2\equiv 4(\mathrm{mod}2987)$

$4^3\equiv 64(\mathrm{mod}2987)$

$64^4\equiv 2224(\mathrm{mod}2987)$

$2224^5\equiv 1039(\mathrm{mod}2987)$

$1039^6\equiv 2227(\mathrm{mod}2987)$

$2227^7\equiv 755(\mathrm{mod}2987)$

จากนั้น นำค่า 755 ที่ได้ไปลบออกหนึ่ง แล้วคำนวณหาตัวหารร่วมมากระหว่าง 755 -1 กับ n จะได้ว่า

$\gcd (755-1,n)=\gcd (754,2987)=29$

นั่นคือ 29 เป็นตัวประกอบหนึ่งของ 2987 นั่นเอง

อ้างอิง

• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:MathWorld