กำแพงศักย์

ในวิชากลศาสตร์ควอนตัม การเคลื่อนที่ของอนุภาคใน ศักย์กีดขวาง หรือ กำแพงศักย์ (The potential barrier) เป็นปัญหาพื้นฐานสำหรับอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์ แบบ 1 มิติที่สามารถอธิบายปรากฏการณ์ การทะลุผ่าน (Tunneling Effect) และการสะท้อนของคลื่นกล การพิจารณาการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์แบบศักย์กีดขวางนี้ ในเบื้องต้นจะใช้การแก้สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาพิจารณาอนุภาคที่เคลื่อนที่เข้าหากำแพงศักย์ดังรูปที่ 1

ไฟล์:Square potential.png

รูปที่ 1 แสดงกำแพงศักย์ V₀ ที่มีความกว้าง a

เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของอนุภาคเข้าหากำแพงศักย์มีโอกาสที่อนุภาคนี้จะเกิดการสะท้อนเมื่อเคลื่อนที่กระทบกับกำแพงศักย์หรือมีโอกาสที่อนุภาคบางส่วนจะทะลุผ่านกำแพงศักย์ไปได้โดยจะขึ้นอยู่กับ สัมประสิทธิ์การทะลุผ่าน (transmission coefficient) และ สัมประสิทธิ์การสะท้อน (reflection coefficient) ซึ่งคำนวณได้จากสมการชเรอดิงเงอร์

$H\psi (x)=[-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+V(x)]\psi (x)=E\psi (x)$

เมื่อ $H$ คือ Hamiltonian, $\hslash$ คือ Planck constant, $m$ คือ มวลของอนุภาค, $E$ คือ พลังงานของอนุภาค

การวิเคราะห์อนุภาคที่เคลื่อนที่ในกำแพงศักย์

ไฟล์:Finitepot.png

รูปที่ 2 แสดงความน่าจะเป็นของลักษณะพฤติกรรมของอนุภาคที่เคลื่อนที่ภายในกำแพงศักย์ในบริเวณต่าง ๆ

จากสมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา พิจารณาอนุภาคที่เคลื่อนที่ในศักย์กีดขวางดังรูปที่ 2 การเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์กีดขวางจะแบ่งการพิจารณาเป็น 3 บริเวณคือ ที่ x < 0, 0 < x < a และ x > a ซึ่งแต่ละบริเวณจะได้ฟังก์ชันคลื่นดังนี้

${\psi }_L(x)=A_r{e}^{i{k}_{0}x}+A_l{e}^{-i{k}_{0}x}x<0$

${\psi }_C(x)=B_r{e}^{i{k}_{1}x}+B_l{e}^{-i{k}_{1}x}0<x<a$

${\psi }_R(x)=C_r{e}^{i{k}_{0}x}+C_l{e}^{-i{k}_{0}x}x>a$

จากสมการข้างต้นเมื่อเราพิจารณาพลังงานของอนุภาคที่คลื่นในศักย์จะพบว่า เมื่อ

E < V₀

อนุภาคที่เคลื่อนที่ในศักย์กีดขวางจะมีสัมประสิทธิ์การทะลุผ่านเป็น

$T=|t{|}^2=\frac{1}{1+\frac{V_0^2{\sinh }^2(k_{1}a)}{4E(V_0-E)}}$ , $k_1=\sqrt{2m(V_0-E)/{\hslash }^2}$

จากสมการนี้แสดงให้เห็นว่ามีโอกาสเกิดเหตุการณ์ที่อนุภาคบางส่วนสามารถเคลื่อนที่ผ่านศักย์กีดขวางไปได้ซึ่งแตกต่างการอธิบายตามทฤษฎีแบบคลาสสิค เรียกปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นนี้ว่า การทะลุผ่าน (Tunneling Effect)

E > V₀

อนุภาคที่เคลื่อนที่ในศักย์กีดขวางจะมีสัมประสิทธิ์การทะลุผ่านเป็น

$T=|t{|}^2=\frac{1}{1+\frac{V_0^2{\sin }^2(k_{1}a)}{4E(E-V_0)}}$ , $k_1=\sqrt{2m(E-V_0)/{\hslash }^2}$

และในกรณีนี้ยังมีโอกาสที่อนุภาคที่เคลื่อนที่ในศักย์จะเกิดการสะท้อนกลับซึ่งแสดงตามสมการ

$R=|r{|}^2=1-T$

อ้างอิง

• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book