การแจกแจงปรกติหลายตัวแปร

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร (แม่แบบ:Langx) เป็นการขยายวางนัยทั่วไปจากการแจกแจงแบบปรกติ (ตัวแปรเดียว) ไปเป็นหลายมิติ (หลายตัวแปร) เวกเตอร์สุ่มที่มีการแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร คือ ทุก ๆ ผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของส่วนประกอบของเวกเตอร์มีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร มักใช้อธิบาย เซตของตัวแปรสุ่มหลาย ๆ ตัวที่มีความสัมพันธ์กัน โดยที่แต่ค่าของตัวแปรจะมีค่าเกาะกลุ่มอยู่ใกล้ ๆ กับค่ามัชฌิม

สัญลักษณ์เครื่องหมายและการใช้พารามิเตอร์

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร ของเวกเตอร์สุ่ม k มิติ (k-dimensional random vector) แม่แบบ:Nowrap สามารถเขียนได้ดังนี้:

$X\sim 𝒩(\mu ,\mathrm{\Sigma }),$

หรือสามารถระบุจำนวนมิติของตัวแปรได้ดังนี้

$X\sim {𝒩}_k(\mu ,\mathrm{\Sigma }).$

โดยเวกเตอร์ค่ามัชฌิมที่มี k มิติ คือ

$\mu =[\mathrm{E}[X_1],\mathrm{E}[X_2],\dots ,\mathrm{E}[Xk]]$

และ เมตริกซ์ของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (covariance matrix) ขนาด k x k คือ

$\mathrm{\Sigma }=[\mathrm{Cov}[Xi,Xj]{]}_{i=1,2,\dots ,k;j=1,2,\dots ,k}$

คำนิยาม

เวกเตอร์สุ่ม แม่แบบ:Nowrap จะมีการแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปรได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไข ดังนี้:

• ทุก ๆ ผลรวมเชิงเส้น Y = a₁X₁ + … + a_kX_k มีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ นั่นคือ สำหรับเวกเตอร์ค่าคงที่ใด ๆ แม่แบบ:Nowrap, ตัวแปรสุ่ม แม่แบบ:Nowrap จะมีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ
• เวกเตอร์สุ่ม Z (ขนาด ℓ มิติ) ที่สมาชิกของ Z เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปรกติ, เวกเตอร์ μ (ขนาด k มิติ), และ เมทริกซ์ A (ขนาด k×ℓ) มีอยู่จริง โดยที่ แม่แบบ:Nowrap
• เวกเตอร์ μ (ขนาด k มิติ) และ เมทริกซ์ Σ (ขนาด k×k) ที่สมมาตรและเป็น nonnegative-definite มีอยู่จริง โดยที่ characteristic function ของ X คือ

  ${\phi }_X(u)=\exp (i{u}^{\prime }\mu -\frac{1}{2}{u}^{\prime }\mathrm{\Sigma }u)$

• ในกรณีที่ เมตริกซ์ของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว Σ ไม่อยู่ในภาวะเอกฐาน (nonsigular) จะมีเวกเตอร์ μ (ขนาด k) และ เมตริกซ์ Σ (ขนาด k×k) ที่สมมาตรและเป็น positive-definite อยู่จริง โดยที่ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) ของ X จะเขียนได้ ดังนี้: $f_X(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^{k/2}|\mathrm{\Sigma }{|}^{1/2}}\exp (-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^{\prime }{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(x-\mu ))$ โดย |Σ| เป็น ดีเทอร์มิแนนต์ ของ Σ

บทความที่เกี่ยวข้อง

• การแจกแจงแบบปรกติ