การแปลง Z ขั้นสูง

การแปลง Z ขั้นสูง (แม่แบบ:Langx) เป็นการแปลง Z ที่ได้ผนวกผลของการหน่วง (delay) ที่ไม่ได้เป็นพหุคูณของอัตราการชักตัวอย่าง (sampling rate) บนโดเมนเวลาของสัญญาณ การแปลง Z ขั้นสูงถูกประยุกต์ใช้กันอย่างมากในการประมวลผลสัญญาณ (signal processing) และการควบคุมดิจิทัล (digital control) ตัวอย่างเช่น การสร้างแบบจำลองการประมวลผลสัญญาณที่รวมผลของการหน่วงเชิงเวลาแบบแม่นยำ เป็นต้น

การแปลง Z ขั้นสูง ถูกเสนอโดย จูรี่ (Eliahu Ibraham Jury) นักทฤษฎีระบบควบคุมผู้ได้รับรางวัล Richard E. Bellman Control Heritage Award ประจำปี ค.ศ. 1993

นิยาม

การแปลง Z ขั้นสูง มีนิยามดังต่อไปนี้

$F(z,m)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f(kT+m)z^{-k}$

โดยที่

• T คาบของการชักตัวอย่าง (sampling period)
• m พารามิเตอร์การหน่วง (delay parameter) โดยที่ $m\in [0,T)$

คุณสมบัติ

ภาวะเชิงเส้น

$𝒵\{\sum _{k=1}^n{c}_k{f}_k(t)\}=\sum _{k=1}^n{c}_{k}F(z,m)$

การเลือนเชิงเวลา

$𝒵\{u(t-nT)f(t-nT)\}=z^{-n}F(z,m)$

การหน่วง

$𝒵\{f(t)e^{-at}\}=e^{-am}F(e^{aT}z,m)$

การคูณเชิงเวลา

$𝒵\{t^{y}f(t)\}={(-Tz\frac{d}{dz}+m)}^{y}F(z,m)$

ทฤษฎีค่าสุดท้าย

$\underset{k=\mathrm{\infty }}{\lim }f(kT+m)=\underset{z=1}{\lim }(1-z^{-1})F(z,m)$

หมายเหตุ: ในกรณีที่ พารามิเตอร์การหน่วง m เป็นคงคงที่ ในกรณีนี้คุณสมบัติของการแปลง Z แบบปรกติกับการแปลง Z ขั้นสูงจะเหมือนกันทั้งหมด

ตารางการแปลง Z ขั้นสูงของฟังก์ชันต่าง ๆ

f(t)	F(z,m)
1(t)	$\frac{z}{z-1}$
t	$\frac{mT}{z-1}+\frac{T}{(z-1{)}^2}$
e-at	$\frac{e^{-amT}}{z-e^{-aT}}$
1 - e-at	$\frac{1}{z-1}+\frac{e^{-amT}}{z-e^{-aT}}$
sin ωt	$\frac{z\sin (m\omega T)+\sin [(1-m)\omega T]}{z^2-2z\cos \omega T+1}$

ตัวอย่าง

ในที่นี้เรากำหนดให้ $f(t)=\cos (\omega t)$

$\begin{array}{cc}F(z,m)=& 𝒵\{\cos \left(\omega (kT+m)\right)\}\\ =& 𝒵\{\cos (\omega kT)\cos (\omega m)-\sin (\omega kT)\sin (\omega m)\}\\ =& \cos (\omega m)𝒵\{\cos (\omega kT)\}-\sin (\omega m)𝒵\{\sin (\omega kT)\}\\ =& \cos (\omega m)\frac{z(z-\cos (\omega T))}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}-\sin (\omega m)\frac{z\sin (\omega T)}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}\\ =& \frac{z^2\cos (\omega m)-z\cos (\omega (T-m))}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}\end{array}$

ถ้า $m=0$ แล้ว $F(z,m)$ จะลดรูปกลายเป็นการแปลง Z แบบปรกติ

$F(z,0)=\frac{z^2-z\cos (\omega T)}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}$

ซึ่งก็ตรงกับผลการแปลงการแปลง Z แบบปรกติของ $f(t)$ นั้นเอง

เพิ่มเติม

• Z-transform

บรรณานุกรม

• Eliahu Ibraham Jury, Theory and Application of the Z-Transform Method, Krieger Pub Co, 1973. ISBN 0-88275-122-0.