การแปลงลาปลัส

ในทางคณิตศาสตร์ การแปลงลาปลัส (แม่แบบ:Langx) คือการแปลงเชิงปริพันธ์ที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง แสดงอยู่ในรูป $ℒ\{f(t)\}$ การแปลงลาปลัสจะทำให้เกิดความเป็นเชิงเส้นของ f(t) ซึ่งค่า t เป็นอาร์กิวเมนต์จริง(t ≥ 0) จะแปลงไปอยู่ในรูปฟังก์ชัน F(s) โดย s เป็นอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน การแปลงนี้เป็นการทำฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่สำคัญมากในการใช้งานในทางปฏิบัติ คู่ฟังก์ชัน f(t) กับ F(s) นั้นจับคู่กันในตาราง การแปลงลาปลัสถูกใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่มันมีความสัมพันธ์และการดำเนินการของฟังกันดังเดิม f(t) น้นสอดคล้องกับความสัมพันธ์กับการดำเนินการในรูปของ F(s) การแปลงลาปลัสถูกประยุกต์ใช้ในงานสำคัญมากมายที่เป็นแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ สำหรับชื่อลาปลัสนี้มาจากชื่อของปีแยร์-ซีมง ลาปลัส ผู้ที่นำการแปลงนี้ไปใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น

การแปลงลาปลัสเกี่ยวข้องกับการแปลงฟูรีเย แต่ขณะที่การแปลงฟูรีเยนั้นใช้ในการแก้ฟังก์ชันหรือสัญญาณในโหมดของการสั่นสะเทือน

คุณสมบัติ

กำหนดให้ f(t) และ g(t) มีผลการแปลงลาปลัสเป็น F(s) และ G(s) ตามลำดับ:

$f(t)={ℒ}^{-1}\{F(s)\}$

$g(t)={ℒ}^{-1}\{G(s)\}$

ตารางต่อไปนี้เป็นตารางคุณสมบัติของการแปลงลาปลัสด้านเดียว (unilateral Laplace transform):

คุณสมบัติของการแปลงลาปลัสด้านเดียว

	โดเมนเวลา	โดเมน 's'	หมายเหตุ
ภาวะเชิงเส้น (Linearity)	$af(t)+bg(t)$	$aF(s)+bG(s)$	สามารถพิสูจน์ได้โดยคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของการหาปริพันธ์ (ปริพันธ์ผลบวกเท่ากับ ปริพันธ์ขององค์ประกอบย่อยของผลบวกนั้น)
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation)	$tf(t)$	$-F^{\prime }(s)$	$F^{\prime }$ เป็นอนุพันธ์อันดับแรกของ $F$.
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation)	$t^{n}f(t)$	$(-1{)}^n{F}^{(n)}(s)$	รูปแบบทั่วไปของอนุพันธ์อันดับ nth ของ F(s)
อนุพันธ์ (Differentiation)	$f^{\prime }(t)$	$sF(s)-f(0)$	สมมุติให้ ƒ เป็นฟังก์ชันที่อนุพันธ์ได้ (differentiable function)
อนุพันธ์อันดับสอง (Differentiation)	$f^{″}(t)$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$	สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธ์อันดับสอง
อนุพันธ์อันดับใดๆ (Differentiation)	$f^{(n)}(t)$	$s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$	สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธ์อันดับ n ใดๆ
ปริพันธ์เชิงความถี่ (Frequency integration)	$\frac{f(t)}{t}$	$\underset{s}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\sigma )d\sigma$
ปริพันธ์ Integration	$\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau =(u*f)(t)$	$\frac{1}{s}F(s)$	$u(t)$ คือ ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) และ $(u*f)(t)$ คือสังวัตนาการ (convolution) ของ $u(t)$ และ $f(t)$
การขยายเชิงเวลา (Time scaling)	$f(at)$	$\frac{1}{|a|}F\left(\frac{s}{a}\right)$
การเลื่อนเชิงความถี่ (Frequency shifting)	$e^{at}f(t)$	$F(s-a)$
การเลื่อนเชิงเวลา (Time shifting)	$f(t-a)u(t-a)$	$e^{-as}F(s)$	$u(t)$ คือ ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function)
การคูณ (Multiplication)	$f(t)g(t)$	$\frac{1}{2\pi i}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{c-iT}{\overset{c+iT}{\int }}F(\sigma )G(s-\sigma )d\sigma$	การหาปริพันธ์จะกระทำบนแกนแนวดิ่ง $Re(\sigma )=c$ ซึ่งอยู่ในขอบเขตการลู่เข้า (region of convergence) ของ F
สังวัตนาการ (Convolution)	$(f*g)(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$	$F(s)\cdot G(s)$	ในนิยามของการสังวัตนาการ เราสามรถกำหนดให้ ƒ(t) และ g(t) มีค่าเป็นศูนย์ได้ เมื่อ t < 0
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (Complex conjugation)	$f^{*}(t)$	$F^{*}(s^{*})$
สหสัมพันธ์ไขว้ (Cross-correlation)	$f(t)\star g(t)$	$F^{*}(-s^{*})\cdot G(s)$
ฟังก์ชันคาบ (Periodic Function)	$f(t)$	$\frac{1}{1-e^{-Ts}}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$	$f(t)$ เป็น ฟังก์ชันคาบ ของคาบ $T$ กล่าวคือ $f(t)=f(t+T),\mathrm{\forall }t\ge 0$ เป็นการรวมการของคุณสมบัติการเลื่อนเชิงเวลาและคุณสมบัติของลำดับเรขาคณิต

เชิงอรรถ

• อาจพบเห็นการสะกดชื่อการแปลงลาปลัสอย่างอื่นเช่น การแปลงลาปลาส, การแปลงลาปลาซ, การแปลงลาพลาส, การแปลงลาพลาซ หรือใช้คำนำหน้าว่า ผลการแปลง–, การแปลงรูป–

อ้างอิง

• แม่แบบ:Citation.
• แม่แบบ:Citation.