เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (แม่แบบ:Langx) ของเมทริกซ์ A มิติ m×n ซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์ A ซึ่งเปลี่ยนสมาชิกทั้งหมดเป็นสังยุค เขียนแทนด้วยเมทริกซ์ A* หรือสามารถนิยามได้จาก

$(A^{*}{)}_{i,j}=\overline{A_{j,i}}$

เมื่อ 1 ≤ i ≤ n และ 1 ≤ j ≤ m และขีดเส้นตรงหมายถึงสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (อาทิ สังยุคของ a + bi คือ a − bi เป็นต้น)

นิยามดังกล่าวสามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังนี้

$A^{*}=(\bar{A}{)}^{\mathrm{T}}=\overline{A^{\mathrm{T}}}$

ซึ่ง $A^{\mathrm{T}}$ คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยน และ $\bar{A}$ คือเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นสังยุค

ชื่ออื่น ๆ ของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค เช่น เมทริกซ์สลับเปลี่ยนเอร์มีเชียน (Hermitian transpose) เมทริกซ์สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugate) ทรานสจูเกต (transjugate) หรือแม้แต่ เมทริกซ์ผูกพัน (adjoint matrix) ซึ่งคำสุดท้ายนี้อาจหมายถึงเมทริกซ์แอดจูเกต (adjugate matrix) ก็ได้ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ได้อีกหลายรูปแบบ เช่น

• $A^{*}$ หรือ $A^{\mathrm{H}}$ ใช้ในพีชคณิตเชิงเส้น
• $A^{†}$ ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัม
• $A^{+}$ ใช้ในตัวผกผันเทียมมัวร์-เพนโรส (Moore-Penrose pseudoinverse)

ตัวอย่าง

กำหนดให้เมทริกซ์ A

$A=\left[\begin{array}{cc}3+i& 5\\ 2-2i& i\end{array}\right]$

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A คือ

$A^{*}=\left[\begin{array}{cc}3-i& 2+2i\\ 5& -i\end{array}\right]$

คุณสมบัติ

• $(A+B{)}^{*}=A^{*}+B^{*}$ สำหรับเมทริกซ์ A และ B ใดๆ ที่มีมิติเท่ากัน
• $(rA{)}^{*}=r^{*}{A}^{*}$ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน r และเมทริกซ์ A ใด ๆ $r^{*}$ ในที่นี้หมายถึงสังยุคของ r
• $(AB{)}^{*}=B^{*}{A}^{*}$ สำหรับเมทริกซ์ A มิติ m×n และเมทริกซ์ B มิติ n×p (สามารถคูณกันได้)
• $(A^{*}{)}^{*}=A$ สำหรับเมทริกซ์ A ใด ๆ
• ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสแล้ว $\det (A^{*})=(\det A{)}^{*}$ และ $\mathrm{tr}(A^{*})=(\mathrm{tr}A{)}^{*}$ (ดูเพิ่มที่ดีเทอร์มิแนนต์และรอยเมทริกซ์)
• A* จะสามารถมีตัวผกผันได้ก็ต่อเมื่อ A มีตัวผกผัน ซึ่งในกรณีดังกล่าวเราจะได้ว่า $(A^{*}{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{*}$
• ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) ของเมทริกซ์ A* คือสังยุคของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A

ดูเพิ่ม

• เมทริกซ์เอร์มีเชียน (Hermitian matrix)
• เมทริกซ์เอร์มีเชียนเสมือน (skew-Hermitian matrix)
• เมทริกซ์ปรกติ (normal matrix)
• เมทริกซ์ยูนิแทรี (unitary matrix)

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:MathWorld
• แม่แบบ:Planetmath reference