เมเชอร์ภายนอก

เมเชอร์ภายนอก (แม่แบบ:Langx) เป็นฟังก์ชันที่สำคัญในทฤษฎีเมเชอร์ พัฒนาโดยการาเตโอโดรี ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก การนิยามฟังก์ชันเมเชอร์ทางคณิตศาสตร์ในแรกเริ่มมีจุดประสงค์ดังนี้

1. ฟังก์ชันเมเชอร์ สามารถนำไปวัดได้บนทุก สับเซตใน เส้นจำนวนจริง
2. เมเชอร์ความยาวบนช่วงเปิด หรือปิด ควรจะมีค่าไม่ขัด ความยาวที่ใช้กันมานานแล้ว กล่าวคือ ความยาวของ [a,b] และ (a,b) เท่ากับ b-a
3. ฟังก์ชันเมเชอร์ ควรมีคุณสมบัติ ไม่แปรผันต่อการเลื่อนไถล (translational invariance) ยกตัวอย่างเช่น ความยาวของช่วง [a,b] คือ b-a ถ้าเราเลื่อนช่วงนี้ออกไปเท่ากับ c เป็น [a+c, b+c] ความยาวก็ควรจะเป็น b-a เท่าเดิม
4. ฟังก์ชันเมเชอร์ ควรจะมีคุณสมบัติ สภาพการบวกเชิงนับได้ (countably additivity)

${\mu }^{*}\left(\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_j\right)\le \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{*}(A_j)$

อย่างไรก็ตามสามารถพิสูจน์ได้ว่า ไม่มีฟังก์ชันใด ที่จะมีคุณสมบัติครบทั้ง 4 ข้อดังกล่าวได้ จึงจำเป็นต้องผ่อนปรนบางเงื่อนไขออกไป (ดู วิตาลีเซต และ ปริทัศน์ของบานาค-ทาร์สกี) ฟังก์ชันเมเชอร์ที่เป็นมาตรฐานในปัจจุบันเกิดจากการผ่อนปรนเงื่อนไขในข้อที่หนึ่ง อย่างไรก็ตามการสร้าง ฟังก์ชันเมเชอร์ มักสร้างจาก เมเชอร์ภายนอก ซึ่งเกิดจากการผ่อนปรนเงื่อนไขในข้อที่ 4 และนำไปต่อยอดกลายเป็น ฟังก์ชันเมเชอร์ตามที่ต้องการ โดยการต่อยอดสามารถทำได้เสมอ ซึ่งพิสูจน์ได้จากทฤษฎีบทของการาเตโอโดรี

นิยามทางคณิตศาสตร์

เมเชอร์ภายนอกบนเซต $X$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย ${\mu }^{*}:2^X\to [0,\mathrm{\infty }]$ และมีคุณสมบัติ 3 ขัอดังต่อไปนี้.

1. เซตว่างมีเมเชอร์ภายนอกเท่ากับ 0.

${\mu }^{*}(\varnothing )=0$

2. Monotonicity

$A\subseteq B\Rightarrow {\mu }^{*}\le {\mu }^{*}$

3. มีคุณสมบัติ กึ่งสภาพการบวกเชิงนับได้ (sub-countable additivity) : กำหนดลำดับ {A_j} โดยทุก ๆ A_j เป็นสับเซตของ X (หมายเหตุ: ไม่มีเงื่อนไขของ การไม่มีส่วนร่วมแบบเป็นคู่ ๆ แต่อย่างใด)

${\mu }^{*}\left(\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_j\right)\le \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{*}(A_j)$

อ้างอิง

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
• M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953