เวกเตอร์สี่มิติ

แม่แบบ:ลิงก์ไปภาษาอื่น ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เวกเตอร์สี่มิติ (four-vector) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ของจำนวนจริงใน 4 มิติ ซึ่งปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวรู้จักกันในนาม ปริภูมิมิงคอฟสกี (Minkowski space)

ภายใต้การแปลงพิกัด (coordinate transformation) เช่น การหมุนใน 3 มิติ (spatial rotations) และ การบูสต์ (boosts) (การเปลี่ยนจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยเดิมไปสู่กรอบอ้างอิงเฉื่อยใหม่ที่มีความเร็วคงที่สัมพัทธ์กัน) องค์ประกอบ (components) ของเวกเตอร์สี่มิติจะมีการแปลงเช่นเดียวกับพิกัดอวกาศและเวลา $(t,x,y,z)$

เซ็ตของการหมุนและการบูสต์ดังกล่าว เรียกรวม ๆ ว่า การแปลงโลเร็นตซ์ (Lorentz transformations) ประกอบกันเป็น กรุ๊ปโลเร็นตซ์ (Lorentz group) และบรรยายโดยเมทริกซ์ $4\times 4$

คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สี่มิติ

จุดในปริภูมิมิงคอฟสกีถูกเรียกว่า เหตุการณ์ (event) และถูกบรรยายด้วย เวกเตอร์ระบุตำแหน่งสี่มิติ (position four-vector) กำหนดโดย

$𝗑:=\left(x^{\mu }\right)=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)$

สำหรับ $\mu =0,1,2,3$ เมื่อ $c$ เป็นอัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light)

ผลคูณภายใน (inner product) ของเวกเตอร์สี่มิติ $𝗑$ กับ $𝗒$ ถูกกำหนดโดย (ใช้ Einstein notation)

$𝗑\cdot 𝗒$	$\equiv x^{\mu }{\eta }_{\mu \nu }{y}^{\nu }=\left(\begin{array}{cccc}{x}^0& x^1& x^2& x^3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ y^1\\ y^2\\ y^3\end{array}\right)$
	$=-x^0{y}^0+x^1{y}^1+x^2{y}^2+x^3{y}^3$

เมื่อ $\eta$ เป็น เมตริกมิงคอฟสกี (Minkowski metric) บางครั้งก็เรียกผลคูณภายในนี้ว่า ผลคูณภายในมิงคอฟสกี (Minkowski inner product)

เวกเตอร์สี่มิติอาจถูกจำแนกออกเป็น 3 ประเภทคือ สเปซไลค์ (spacelike) ไทม์ไลค์ (timelike) และ นัล (lightlike หรือ null)

โดยเวกเตอร์สี่มิติแบบ สเปซไลค์ (spacelike 4-vector) ไทม์ไลค์ (timelike 4-vector) และ นัล (lightlike 4-vector หรือ null 4-vector) จะมีผลคูณภายในมากกว่าศูนย์, น้อยกว่าศูนย์ และเท่ากับศูนย์ ตามลำดับ

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาพลศาสตร์

$\frac{\mathrm{d}\tau }{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\gamma }$

เมื่อ $\gamma$ คือแฟกเตอร์แกมมา (gamma factor) ของทฤษฎีสัมพัทธภาพ บางทีก็เรียกว่าแฟกเตอร์โลเร็นตซ์ (Lorentz factor)

เวกเตอร์สี่มิติที่สำคัญ ๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ก็เช่น เวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ (four-velocity) ถูกกำหนดโดย:

$𝖴:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau }𝗑=\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}𝗑=(\gamma c,\gamma 𝐮)$

หรือ

$\left(U^{\mu }\right):=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau }\left(x^{\mu }\right)=\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(x^{\mu }\right)=(\gamma c,\gamma u^i)$

เมื่อ

$u^i=\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}$

สำหรับ $i=1,2,3$ สังเกตว่า

$𝖴\cdot 𝖴:=U^{\mu }{U}_{\mu }=-c^2$

เวกเตอร์ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration) ถูกกำหนดโดย:

$𝖠:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau }𝖴=\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{\tau }^2}𝗑=(\gamma \dot{\gamma }c,\gamma \dot{\gamma }𝐮+{\gamma }^2\dot{𝐮})$

หรือ

$\left(A^{\mu }\right):=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau }\left(U^{\mu }\right)=\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{\tau }^2}\left(x^{\mu }\right)=(\gamma \dot{\gamma }c,\gamma \dot{\gamma }{u}^i+{\gamma }^2{\dot{u}}^i)$

สังเกตว่าเวกเตอร์ความเร่งสี่มิติตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ คือ $𝖠\perp 𝖴$

$𝖠\cdot 𝖴:=A^{\mu }{U}_{\mu }=0$

เวกเตอร์โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum) ถูกกำหนดโดย

$𝖯:=m𝖴=(\gamma mc,\gamma m𝐮)=(\gamma mc,𝐩)$

หรือ

$\left(P^{\mu }\right):=m\left(U^{\mu }\right)=(\gamma mc,\gamma m{u}^i)=(\gamma mc,p^i)$

เมื่อ $m$ คือมวลของอนุภาค และ $𝐩=\gamma m𝐮$ คือโมเมนตัมของอนุภาค

เวกเตอร์แรงสี่มิติ (four-force) ถูกกำหนดโดย

$𝖥:=\frac{\mathrm{d}𝖯}{\mathrm{d}\tau }=m𝖠=(\gamma \dot{\gamma }mc,\gamma 𝐟)$

หรือ

$\left(F^{\mu }\right):=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau }\left(P^{\mu }\right)=m\left(A^{\mu }\right)=(\gamma \dot{\gamma }mc,\gamma 𝐟)$

เมื่อ

$𝐟\equiv m\dot{\gamma }𝐮+m\gamma \dot{𝐮}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\gamma m𝐮)=\frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}$

เป็นแรงที่กระทำต่ออนุภาค

Deriving E = mc²

เราสามารถเขียนสมการของพลังงานทั้งหมดของอนุภาคได้ดังต่อไปนี้ พลังงานจลน์ (K) ของอนุภาคนิยามในแบบคลาสิกได้ดังนี้

$\frac{dK}{dt}=𝐟\cdot 𝐮$

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetism) เช่น

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current) กำหนดโดย

$𝖩:=\left(J^{\mu }\right)=(\rho c,𝐣)$

ซึ่งสร้างจาก ความหนาแน่นกระแส (current density) $𝐣$ และ ความหนาแน่นประจุ (charge density) $\rho$

เวกเตอร์ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential) กำหนดโดย

$𝖠:=\left(A^{\mu }\right)=(\frac{\phi }{c},𝐀)$

ซึ่งสร้างจาก ศักย์เวกเตอร์ (vector potential) $𝐀$ และ ศักย์สเกลาร์ (scalar potential) $\phi$

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าระนาบ (plane electromagnetic wave) สามารถบรรยายได้โดย เวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) ดังนี้

$𝖭:=\left(N^{\mu }\right)=(\nu ,\nu \widehat{𝐧})$

เมื่อ $\nu$ เป็นความถี่ (frequency) ของคลื่น และ $\widehat{𝐧}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งชี้ในทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น สังเกตว่า

$𝖭\cdot 𝖭:=N^{\mu }{N}_{\mu }={\nu }^2(n^2-1)=0$

ดังนั้นเวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) จะมีนอร์มเป็นศูนย์เสมอ เรียกเวกเตอร์สี่มิติแบบนี้ว่า null vector

อ้างอิง

• Four-vector, วิกิพีเดีย ภาษาอังกฤษ
• Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edn.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5
• ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและเอกภพวิทยา แม่แบบ:Webarchive โดย ณฤทธิ์ ปิฎกรัชต์ แม่แบบ:Webarchive

ดูเพิ่ม

• ความเร็วสี่มิติ (four-velocity)
• ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration)
• โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum)
• แรงสี่มิติ (four-force)
• ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current)
• ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential)