ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน

ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในสาขาคณิตวิเคราะห์ ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน (แม่แบบ:Langx) เป็นทฤษฎีบทที่ระบุเงื่อนไขที่เพียงพอที่ทำให้ฟังก์ชันสามารถหาอินเวอร์สได้บนย่านใกล้เคียงของจุดบางจุดในโดเมนของฟังก์ชัน เงื่อนไขดังกล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และไม่เท่ากับศูนย์ที่จุดนั้น

ทฤษฎีบทนี้สมมูลกับทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย

ทฤษฎีบทนี้ยังเป็นจริงสำหรับปริภูมิและฟังก์ชันจำนวนมาก อาทิ ในกรณีที่ $f$ เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์ หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค เป็นต้น

เนื้อความของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทข้างต้นมีหลายแบบสำหรับเงื่อนไขแตกต่างกัน ด้านล่างเป็นรูปแบบหนึ่ง

โดยใช้กฎลูกโซ่ จะได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันนั้นจะเท่ากับ $D(f^{-1})(x)=(Df(x){)}^{-1}$

ในกรณีที่ $n=1$ และ $f$ เป็นฟังก์ชันในชั้น $C^1$ (นั่นคือ $f$ หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง) จะได้ทฤษฎีบทในแคลคูลัสตัวแปรเดียวดังนี้

ตัวอย่าง

พิจารณาฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ $F:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ กำหนดโดย

$F(x,y)=\left[\begin{array}{c}{e}^x\cos y\\ e^x\sin y\end{array}\right]$

เมทริกซ์จาโคเบียนของ $F$ คือ

$J_F(x,y)=\left[\begin{array}{cc}{e}^x\cos y& -e^x\sin y\\ e^x\sin y& e^x\cos y\end{array}\right]$

โดยมีดีเทอร์มิแนนท์เท่ากับ

$\det J_F(x,y)=e^{2x}{\cos }^{2}y+e^{2x}{\sin }^{2}y=e^{2x}$

จะเห็นได้ว่าดีเทอร์มิแนนท์ $e^{2x}$ ไม่เป็นศูนย์ทุกที่ โดยใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันจึงยืนยันได้ว่า ทุก ๆ จุด $p\in {ℝ}^2$ จะมีย่านใกล้เคียงของ $p$ ที่ทำให้ $F$ หาอินเวอร์สได้ แต่ไม่ได้หมายความว่า $F$ จะหาอินเวอร์สได้บนโดเมนทั้งหมด ทั้งนี้เพราะว่า $F$ ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วยซ้ำ (เพราะ $F(x,y)=F(x,y+2\pi )$ ดังนั้น $F$ เป็นฟังก์ชันคาบ)

ตัวอย่างค้านเมื่อสละเงื่อนไขบางส่วน

ฟังก์ชัน $f(x)=x+2x^2\sin (\frac{1}{x})$ ถูกกำกับให้อยู่ในบริเวณปิดล้อมกำลังสองใกล้เส้นตรง$y=x$ ดังนั้น $f^{\prime }(0)=1$ อย่างไรก็ตามฟังก์ชันนี้มีจุดสูงสุด/ต่ำสุดเป็นจุดสะสมรอบ $x=0$ จึงทำให้ฟังก์ชันดังกล่าวไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งในบริเวณนั้น

ถ้าหากไม่มีเงื่อนไขที่ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันต้องต่อเนื่องแล้ว ทฤษฎีบทข้างต้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน $f:ℝ\to ℝ$ กำหนดโดย

$f(x)=x+2x^2\sin (\frac{1}{x})$ และ $f(0)=0$

มีอนุพันธ์ที่ไม่ต่อเนื่องดังนี้

$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{cc}1-2\cos (\frac{1}{x})+4x\sin (\frac{1}{x}),& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array}$ และมีจุดที่ทำให้ $f^{\prime }(x)=0$ ทุก ๆ ย่านใกล้เคียงของ 0

ที่จุดดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน $f$ ดังนั้น $f$ จึงไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และหาอินเวอร์สไม่ได้ทุกช่วงที่มี $x=0$

หรืออีกนัยหนึ่ง เส้นความชัน $f^{\prime }(0)=1$ ไม่ได้กำกับหรือบังคับจุดใกล้เคียง ซึ่งเส้นโค้งความชันที่จุดนั้น ๆ จะสั่น (oscillate) เป็นจำนวนอนันต์นับไม่ได้

วิธีการพิสูจน์

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันมีบทพิสูจน์ที่หลากหลาย บทพิสูจน์ส่วนใหญ่ใช้หลักการการส่งแบบหดตัว หรือที่รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทจุดตรึงบานาค และเนื่องจากทฤษฎีบทจุดตรึงนั้นสามารถขยายนัยทั่วไปไปยังกรณีมิติเป็นอนันต์ (ในปริภูมิบานาค) ได้ ทำให้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันขยายนัยทั่วไปไปยังมิติอนันต์ได้

บทพิสูจน์แบบหนึ่งใช้ทฤษฎีบทค่าขีดสุดสำหรับฟังก์ชันบนเซตกระชับ

อีกบทพิสูจน์หนึ่งใช้ขั้นตอนวิธีของนิวตัน ซึ่งสามารถให้ค่าประมาณขนาดย่านใกล้เคียงที่ฟังก์ชันนั้นหาอินเวอร์สได้

การขยายนัยทั่วไป

แมนิโฟลด์

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทอยู่ในรูป

ให้ $F:M\to N$ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ (ในชั้น $C^1$) หากดิฟเฟอเรนเชียลของ $F$

$d{F}_p:T_{p}M\to T_{F(p)}N$

เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่จุด $p$ ใน $M$ แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด $U$ ของ $p$ ที่ทำให้

$F{|}_U:U\to F(U)$

เป็นอนุพันธสัณฐาน สังเกตว่าทฤษฎีบทข้างต้นยืนยันว่าส่วนเชื่อมโยงใน $M$ และ $N$ ที่มี $p$ และ $F(p)$ เป็นสมาชิกจะมีมิติเท่ากัน นอกจากนี้ถ้าอนุพันธ์ของ $F$ เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานทุกจุด $p$ ใน $M$ แล้วการส่ง $F$ จะเป็นอนุพันธสัณฐานเฉพาะที่ (local diffeomorphism)

ปริภูมิบานาค

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถขยายไปยังการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค $X$ และ $Y$ ให้ $U$ เป็นย่านใกล้เคียงเปิดของจุดกำเนิดใน $X$ และ $F:U\to Y$ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และสมมติให้อนุพันธ์เฟรเช $d{F}_0:X\to Y$ ของ $F$ ที่จุด 0 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่มีขอบเขต แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด $V$ ของ $F(0)$ ใน $Y$ และฟังก์ชัน $G:V\to X$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ทำให้ $F(G(y))=y$ สำหรับทุก $y\in Y$

ยิ่งไปกว่านั้น $G(y)$ จะเป็นผลเฉลยเดียวที่เล็กเพียงพอสำหรับสมการ $F(x)=y$

แมนิโฟลด์บานาค

การวางนัยทั่วไปข้างต้นสามารถนำมารวมกันได้เป็นทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับแมนิโฟลด์บานาค

ทฤษฎีบทแรงค์คงที่

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันและทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายอาจมองได้ว่าเป็นกรณีเฉพาะหนึ่งของทฤษฎีบทแรงค์คงที่ ซึ่งกล่วว่าการส่งเรียบที่มีแรงค์คงตัวใกล้จุด ๆ หนึ่งจะสามารถเขียนในรูปแบบปรกติใกล้จุด ๆ นั้นได้ หรืออีกนัยหนึ่ง หาก $F:M\to N$ มีแรงค์คงตัวใกล้กับจุด $p\in M$ แล้วจะมีช่วงเปิด $U$ ของ $p$ และ $V$ ของ $F(p)$ และอนุพันธสัณฐาน $u:T_{p}M\to U$ และ $v:T_{F(p)}N\to V$ ที่ทำให้ $F(U)\subseteq V$ และอนุพันธ์ $d{F}_p:T_{p}M\to T_{F(p)}N$ มีค่าเท่ากับ $v^{-1}\circ F\circ u$ ซึ่งก็คือ $F$ ประพฤติตัวเหมือนเป็นอนุพันธ์ของมันเองใกล้ ๆ $p$ ความเป็น semicontinuous ของฟังก์ชันแรงค์ส่งผลให้มีเซตปิดหนาแน่นบนโดเมนของ $F$ ที่อนุพันธ์ดังกล่าวมีแรงค์คงตัว จึงทำให้ทฤษฎีบทแรงค์คงที่ใช้ได้กับจุดใด ๆ บนโดเมน

เมื่ออนุพันธ์ของ $F$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) ที่จุด $p$ แล้วจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) บนย่านใกล้เคียงบางย่านของ $p$ ด้วย ดังนั้นแรงค์ของ $F$ จะคงตัวบนย่านนั้น จึงสามารถใช้ทฤษฎีบทแรงค์คงตัวได้

ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

ถ้าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก $F$ นิยามบนเซตเปิดของ ${ℂ}^n$ ไปยัง ${ℂ}^n$ และเมทริกซ์จาโคเบียนของอนุพันธ์เชิงซ้อนหาอินเวอร์สได้ที่จุด $p$ แล้ว $F$ จะเป็นฟังก์ชันหาอินเวอร์สได้ในบางบริเวณรอบ ๆ จุด $p$ ทฤษฎีบทนี้เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันค่าจริง และสามารถฟิสูจน์ได้ว่าอินเวอร์สของฟังก์ชันต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

ฟังก์ชันพหุนาม

ถ้าข้อความคาดการณ์จาโคเบียนเป็นจริง ข้อความคาดการณ์ดังกล่าวจะเป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน ข้อความดังกล่าวกล่าวว่า ถ้าฟังก์ชันพหุนามค่าเวกเตอร์มีดีเทอร์มิแนนท์จาโคเบียนเป็นพหุนามที่หาอินเวอร์สได้ (ซึ่งก็คือเป็นพหุนามคงตัวที่ไม่เป็นพหุนามศูนย์) แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีอินเวอร์สที่เป็นฟังก์ชันพหุนามด้วย ปัจจุบันยังไม่ทราบว่าข้อความคาดการณ์ดังกล่าวเป็นจริงหรือเท็จแม้แต่ในกรณีที่มีตัวแปรสองตัว จึงเป็นปัญหาเปิดสำคัญในทฤษฎีของพหุนาม

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีบทจุดตรึงบานาค
• ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย
• ทฤษฎีบทแนช-โมเซอร์

อ่านเพิ่ม

• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite journal
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book