ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

ภาพประกอบสำหรับทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง: ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องนิยามบนช่วงปิด $[a,b]$ แล้วฟังก์ชันนี้จะส่งไปยังค่าทุกค่าที่อยู่ระหว่าง $f(a)$ และ $f(b)$

ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง (แม่แบบ:Langx) เป็นทฤษฎีบทในสาขาการวิเคราะห์เชิงจริง ซึ่งกล่าวว่า ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่หาค่าได้บนช่วงปิด $[a,b]$ แล้ว $f$ จะมีค่าได้ทุกค่าระหว่าง $f(a)$ และ $f(b)$

ทฤษฎีบทนี้ให้ภาพความเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องอย่างชัดเจน ฟังก์ชันต่อเนื่องในมุมมองทั่ว ๆ ไป คือฟังก์ชันที่กราฟไม่ขาดตอน ดังนั้นหากฟังก์ชันต่อเนื่องลากเชื่อมสองจุดใด ๆ แล้วเส้นกราฟต้องตัดเส้นแนวนอนที่ขวางระหว่างกลางสองจุดนั้นเสมอ

ความเชื่อมโยงกับความบริบูรณ์ของจำนวนจริง

ทฤษฎีบทนี้สมมูลกับความบริบูรณ์ของระบบจำนวนจริง และไม่เป็นจริงในฟีลด์ที่ไม่มีสมบัติความบริบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน $f(x)=x^2-2$ ที่นิยามบน $\mathbb{Q}$ สอดคล้องกับสมการ $f(0)=-2$ และ $f(2)=2$ แต่ไม่มีจำนวนตรรกยะ $x$ ใดที่สอดคล้องกับ $f(x)=0$ ทั้งนี้เพราะว่า $\sqrt{2}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

พิสูจน์

บทพิสูจน์นี้อาศัยความบริบูรณ์ของจำนวนจริง

มีบทพิสูจน์แบบอื่นที่อาศัยวิธีการผ่าครึ่ง (Bisection method) ซึ่งนำไปสู่ขั้นตอนวิธีการหารากโดยใช้วิธีการผ่าครึ่ง

หมายเหตุ: ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางสามารถพิสูจน์ได้ในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน ซึ่งใช้แนวความคิดเกี่ยวกับกณิกนันต์อย่างรัดกุม

บทแทรก

ทฤษฎีบทต่อนี้เป็นผลโดยทันทีจากทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

• ทฤษฎีบทของบ็อลท์ซาโน (Bolzano's theorem): ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องเปลี่ยนเครื่องหมายบนช่วงใด แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีรากในช่วงนั้น
• ภาพของฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงใด จะเป็นช่วงด้วย

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทจุดตรึงของเบราว์เออร์

ลิงก์เพิ่มเติม

• บทพิสูจน์ใน Mizar system: http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4