ปัญหาบาเซิล

ปัญหาบาเซิล เป็นปัญหาทางคณิตวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน ปัญหานี้ถูกตั้งขึ้นครั้งแรกโดย ปิเอโตร เมนโกลี ในปี พ.ศ. 2187 และถูกแก้โดย เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ในปี พ.ศ. 2277 ปัญหานี้ได้ตั้งชื่อตามชื่อของเมืองบาเซิล บ้านเกิดของออยเลอร์

ปัญหาดังกล่าวเกี่ยวกับการหาผลรวมของอนุกรม

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}).$

ผลรวมของอนุกรมดังกล่าวมีค่าประมาณ 1.644934 ปัญหาบาเซิลถามถึงการหาค่าที่แม่นยำในรูปแบบปิดของผลรวมดังกล่าว ออยเลอร์ค้นพบว่าผลรวมดังกล่าวมีค่าเท่ากับ แม่แบบ:Sfrac และได้ประกาศการค้นพบในปี พ.ศ. 2277

วิธีการหาผลรวมของออยเลอร์

วิธีการของออยเลอร์ มาจากการพิจารณาคุณสมบัติบางประการของพหุนามจำกัด แลัวสมมุติว่าคุณสมบัติเหล่านี้ยังคงเป็นจริงในกรณีอนันต์ หรืออนุกรมกำลัง

ออยเลอร์เริ่มต้นด้วยการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ ของฟังก์ชันไซน์:

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$

ซึ่งออยเลอร์มองฝั่งขวาเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์เป็นอนันต์ แล้วใช้คุณสมบัติที่ว่าพหุนามใด ๆ สามารถเขียนเป็นผลคูณของตัวประกอบดีกรีหนึ่งได้ ซึ่งรากของฟังก์ชันไซน์อยู่ที่ $0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,...$ จึงได้เป็นผลคูณว่า

$x(x-\pi )(x+\pi )(x-2\pi )(x+2\pi )(x-3\pi )(x+3\pi )...=x(x^2-{\pi }^2)(x^2-2^2{\pi }^2)(x^2-3^2{\pi }^2)...$

หรือเขียนอีกแบบได้เป็น

$Ax(1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{2^2{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{3^2{\pi }^2})...$

ซึ่งจากสมบัติว่า $\frac{sinx}{x}\to 1$ เมื่อ $x\to 0$ แสดงว่า $A=1$ ดังนั้น

$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...=(1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{2^2{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{3^2{\pi }^2})...$

จับสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ ทั้งสองข้างมาเท่ากัน จะได้ว่า

$\begin{array}{cc}-\frac{1}{3!}& =-\frac{1}{{\pi }^2}-\frac{1}{2^2{\pi }^2}-\frac{1}{3^2{\pi }^2}-...\\ \frac{{\pi }^2}{6}& =1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...\end{array}$

สรุปได้ว่า $\frac{{\pi }^2}{6}$เป็นผลรวมของอนุกรม

แหล่งข้อมูลอื่น

• A013661 จาก The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences®