พหุนามฟีโบนัชชี

พหุนามฟีโบนัชชี (แม่แบบ:Langx) คือลำดับพหุนาม (polynomial sequence) ซึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปแบบทั่วไปของจำนวนฟีโบนัชชี (Fibonacci number) และพหุนามที่สร้างจากรูปแบบเดียวกันนี้แต่ด้วยจำนวนลูคัส (Lucas number) นั้นเรียกว่าพหุนามลูคัส (Lucas polynomial)

นิยาม

พหุนามฟีโบนัชชีนิยามโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) :

$F_n(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n=0\\ 1,& \text{if }n=1\\ x{F}_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),& \text{if }n\ge 2\end{array}$

โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามฟีโบนัชชีคือ:

$F_0(x)=0$

$F_1(x)=1$

$F_2(x)=x$

$F_3(x)=x^2+1$

$F_4(x)=x^3+2x$

$F_5(x)=x^4+3x^2+1$

$F_6(x)=x^5+4x^3+3x$

พหุนามลูคัสก็ได้นำความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกันกับพหุนามฟีโบนัชชีเพียงแต่ได้เริ่มต้นด้วยค่าที่แตกต่างกันออกไปดังที่แสดงต่อไปนี้ :

$L_n(x)=\{\begin{array}{cc}2,& \text{if }n=0\\ x,& \text{if }n=1\\ x{L}_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),& \text{if }n\ge 2.\end{array}$

โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามลูคัสคือ:

$L_0(x)=2$

$L_1(x)=x$

$L_2(x)=x^2+2$

$L_3(x)=x^3+3x$

$L_4(x)=x^4+4x^2+2$

$L_5(x)=x^5+5x^3+5x$

$L_6(x)=x^6+6x^4+9x^2+2.$

เราสามารถได้จำนานฟีโบนัชชีและจำนวนลูคัสจากการแทนค่าให้ $x=1$ จำนวนเพล (Pell number) ก็สามารถได้จากการคำนวณพจน์ $F_n$ ที่ $x=2$ โดยที่ ดีกรีของ $F_n$ คือ $n-1$ และดีกรีของ $L_n$ คือ $n$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดสามัญ (ordinary generating function) สำหรับลำดับคือ :

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{F}_n(x)t^n=\frac{t}{1-xt-t^2}.$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{L}_n(x)t^n=\frac{2-xt}{1-xt-t^2}.$

พหุนามดังกล่าวทั้งสองสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของลำดับลูคัส (Lucas sequence)

$F_n(x)=U_n(x,-1),$

$L_n(x)=V_n(x,-1).$

เอกลักษณ์

แม่แบบ:Main เนื่องจากพหุนามฟีโบนัชชีนั้นเป็นกรณีย่อยของลำดับลูคัส ดังนั้นพหุนามฟีโบนัชชีจึงมีเอกลักษณ์เหมือนลำดับลูคัสดังต่อไปนี้

ในขั้นแรกเรากำหนดนิยามให้แก่ดัชนีที่เป็นลบก่อน (negative indice) ในกรณีคือ $-n$ โดยนิยามว่า

$F_{-n}(x)=(-1{)}^{n-1}{F}_n(x),L_{-n}(x)=(-1{)}^n{L}_n(x).$

และมีเอกลักษณ์อื่นอีกที่ตามมา:

$F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_n(x)+F_m(x)F_{n-1}(x)$

$L_{m+n}(x)=L_m(x)L_n(x)-(-1{)}^n{L}_{m-n}(x)$

$F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_n(x{)}^2=(-1{)}^n$

$F_{2n}(x)=F_n(x)L_n(x).$

โดยที่รูปแบบปิด (Closed form expression) ของ $F_n(x)$ จะคล้ายกับสูตรของบิเน็ท (Binet's formula) :

$F_n(x)=\frac{\alpha (x{)}^n-\beta (x{)}^n}{\alpha (x)-\beta (x)},L_n(x)=\alpha (x{)}^n+\beta (x{)}^n,$

เมื่อ

$\alpha (x)=\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2},\beta (x)=\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{2}$

เป็นผลตอบ $t$ ที่ได้จากสมการ

$t^2-xt-1=0.$

มุมมองจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด

ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนัชชีสามารถหากได้จากสามเหลี่ยมปาสกาล ตามเส้นทแยงสีแดงดังรูป และผลบวกของค่าค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าวคือจำนวนฟีโบนัชชีนั้นเอง

ถ้าให้ F (n, k) คือค่าสัมประสิทธิ์ x^k ใน F_n (x) เราจะเขียน $F_n(x)$ ใหม่ได้ว่า

$F_n(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^k,$

นั้นก็คือว่า F (n, k) คือจำนวนวิธีที่สีเหลี่ยมขนาด (n−1) × 1 จะถูกเติมเต็มได้โดยสี่เหลี่ยมขนาด 2 × 1 และสี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 และโดยมีเงื่อนไขว่าให้ใช้สี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 จำนวน k อันเท่านั้น ซึ่งนั้นก็หมายความว่า ประพจน์ที่กล่าวมาก่อนหน้านี้สมมูลกันกับการที่มองว่า F (n, k) เป็นจำนวนวิธีในการเขียน n−1 ในรูปของการประกอบของการบวก (Composition) ที่เกี่ยวข้องกับการบวกกันระหว่างเลข 1 และ 2 โดยที่กำหนดว่าเลข 1 นั้นจะต้องถูกใช้ในการประกอบการบวกเพียงแค่ k ครั้งเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น กรณี F (6, 3) = 4 เราจะเห็นได้ว่า 6-1 = 5 สามารถเขียนโดยใช้เลข 2 และ 1 ได้ใน F (6, 3) = 4 วิธี นั้นคือ 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1 (จำนวนครั้งที่การประกอบการบวกที่มีเพียง 1 และ 2 ถูกนำมาใช้ประกอบการบวก และภายใต้เงื่อนไขที่ว่า 1 ถูกนำมาใช้ 3 ตัว นั้นมี 4 วิธี) หรือกล่าวในอีกทางหนึ่งว่า F (n, k) นั้นก็คือ สัมประสิทธิ์ทวินาม (binomial coefficient) ที่มีความสัมพันธ์ดังนี้

$F(n,k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{n+k-1}{2}}{k})$

เมื่อ n และ k คือ ภาวะคู่หรือคี่ที่อยู่ตรงข้ามกัน (opposite parity) และนั้นนำไปสู่การใช้สามเหลี่ยมปาสกาล ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนัชชีดังที่แสดงในรูปด้านซ้ายมือ

อ้างอิง

• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:SpringerEOM
• แม่แบบ:SpringerEOM
• แม่แบบ:MathWorld

ดูเพิ่ม

• แม่แบบ:Cite journal
• แม่แบบ:Cite journal
• แม่แบบ:Cite journal
• แม่แบบ:Cite journal
• แม่แบบ:Cite journal

แหล่งข้อมูลอื่น

• Triangle of coefficients of polynomials defined by Binet form P (n, x) = (U^n-L^n) /d, where U= (x+d) /2, L= (x-d) /2, d= (4 + x^2) ^ (1/2).
• Triangle of numbers {C (n-k, k), n >= 0, 0<=k<=n/2 or triangle of coefficients of (one version of) Fibonacci polynomials.